Платоновы тела

Иркутский государственный технический  университет

 

 

 

 

 

РЕФЕРАТ

тема: «Платоновы тела»

 

 

 

 

                 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил студент группы ЭЛ-10-1:

 Каменский А.

 

Проверила преподаватель начертательной геометрии:

Воронина Е.Ю.

Иркутск 2010

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

ВВЕДЕНИЕ                   3

 

      ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА – ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ          4

1.1. Пять правильных  многогранников              5

1.2. Доказательство существования  только 

       пяти  правильных многогранников              9

 

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ                11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Влияние знаменитого греческого мыслителя Платона, жившего                        с 428 по 348 г.г. до н.э., оказало огромное влияние на многие науки, в том числе и на геометрию. «Платоновыми телами» называют правильные многогранники. Они играли в учении Платона важную роль.   Тетраэдр символизировал огонь, куб – землю, октаэдр –  воздух, икосаэдр –  воду, а додекаэдр –  символизировал все мироздание – Вселенную,  его по латыни стали называть quinta essentia («пятая сущность»). Придумать правильный тетраэдр, куб, октаэдр, по-видимому, было не трудно, тем более что эти формы имеют природные кристаллы, например: куб - монокристалл поваренной соли, октаэдр  - монокристалл алюмокалиевых квасцов. Существует предположение, что форму додекаэдра древние греки получили, рассматривая кристаллы пирита. Имея же додекаэдр нетрудно построить и икосаэдр: его вершинами будут центры двенадцати граней додекаэдра.

В реферате я приведу описание Платоновых тел, доказательство того, что существует пять и только пять правильных многогранников, рассмотрю какие фигуры можно построить  на основе тел Платона.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ТЕЛА ПЛАТОНА  – ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

 

Многогранники - тела, ограниченные плоскими многоугольниками, они окружают нас повсюду: ведь самая популярная форма современного здания, радиоприемника, телевизора, шкафа – параллелепипед. Среди  разнообразных форм многогранников выделяют правильные многогранники.

ПРАВИЛЬНЫЙ  МНОГОГРАННИК - это выпуклый многогранник, все грани которого являются равными правильными многоугольниками и в каждой вершине сходится одинаковое количество таких многоугольников.    В правильном многограннике все ребра, все плоские углы и все двугранные углы равны между собой.

   Правильных многогранников пять: тетраэдр (четырёхгранник), составленный из четырёх правильных треугольников, куб или гексаэдр (шестигранник), составленный из шести квадратов, октаэдр (восьмигранник), составленный из восьми правильных треугольников, икосаэдр (двадцатигранник), составленный из двадцати правильных треугольников, и загадочный додекаэдр (двенадцатигранник), составленный из двенадцати правильных пятиугольников.

Интересен «закон взаимности»  для правильных многогранников. Если соединить отрезками центры соседних граней  правильного   многогранника, то эти отрезки станут рёбрами   другого   правильного многогранника: у куба - октаэдр, а у октаэдра - куб; у икосаэдра - додекаэдр, а у додекаэдра -икосаэдр; а у тетраэдра - снова тетраэдр.

  Правильные многогранники привлекают совершенством своих форм, полной симметричностью, что дало возможность венгерскому инженеру Эрне Рубику создать свой знаменитый «кубик Рубика», а затем и аналогичные головоломки из остальных  Платоновых  тел.

 

1.1. Пять правильных  многогранников

 

  Тетраэдр – правильный многогранник, поверхность которого состоит из четырех правильных треугольников. Имеет 4 вершины и 6 ребер. В каждой вершине сходится 3 ребра  (рис.1).

              

 

Рис. 1

 

Октаэдр – правильный многогранник, поверхность которого состоит из 8 правильных треугольников. Имеет 6 вершин, 12 ребер. В каждой вершине сходится по 4 ребра (рис.3).

             

Рис. 3

 

Додекаэдр – правильный многогранник, все грани которого являются правильными пятиугольниками. Имеет 12 граней, 20 вершин и 30 рёбер. (рис.4).

                                         

 

Рис. 4

 

Икосаэдр – правильный многогранник, поверхность которого состоит из 20 правильных треугольников. Имеет 12 вершин, 30 ребер. В каждой вершине сходится по 5 ребер (рис.5).

 

Рис. 5

Куб или правильный гексаэдр – правильный многогранник. Все грани квадраты. Имеет 6 граней, 8 вершин, 12 ребер. Существует лишь один тип правильного многогранника, грани которого являются квадратами (рис.2).

 

                      

 

Рис. 2

 

 

В эпоху Возрождения учёный Иоганн Кеплер называл куб "родителем" всех правильных многогранников. На основе куба он смог построить все другие виды правильных многогранников.

   Если провести в противоположных гранях куба скрещивающиеся диагонали, то их концы окажутся вершинами тетраэдра (рис. 7), а вершины октаэдра – это центры граней куба (рис. 6). Полученные многоугольники действительно правильные, так как их грани – правильные треугольники. Равенство же двугранных углов следует из того, что при повороте куба ребро многогранника можно перевести в любое другое.

   Для того чтобы построить икосаэдр, на каждой грани куба нужно построить отрезок так, чтобы он был параллелен двум сторонам своей грани и перпендикулярен таким же отрезкам на соседних гранях. Середина его должна совпадать с центром грани. Соединим концы этих отрезков между собой, и мы получим двадцатигранник, грани которого – треугольники, и при каждой вершине их пять.

  Правильный додекаэдр получается из куба построением «крыш» на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру. Так получаются из куба все остальные правильные многогранники.

Сам факт существования всего пяти действительно правильных многогранников удивителен - ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много!

 

                   

Рис. 6                                                                 Рис. 7

 

 

                                                                               

 

 

 

 

 

1.2. Доказательство  существования только пяти правильных  многогранников.

 

 Выясним, из каких многоугольников можно составить поверхность правильного многогранника. Т.к. многогранник должен иметь не менее трех граней и сумма плоских углов при вершине правильного многоугольника (грани многогранного угла) должна быть не больше 360 градусов, такими многоугольниками могут быть только правильный треугольник (угол при вершине 60 градусов), квадрат (90 градусов), правильный пятиугольник                 (108 градусов). Значит, только из этих видов правильных многоугольников может быть образована поверхность правильного многогранника.  

В тетраэдре в каждой  вершине сходятся три ребра, иными словами,  каждая вершина окружена тремя  треугольниками. Если развернуть эти треугольники  на плоскость, можно подсчитать, сколько градусов содержит полученный при этом  их общий угол. Поскольку внутренний угол равностороннего  треугольника  равен 60 градусам, три таких угла дадут  в сумме 3 x 60 = 180 градусов. Если мы приложим к нему ещё один равносторонний треугольник, то получим в сумме 240 градусов. Но в таком случае мы придём к развёртке вершины октаэдра. Добавление ещё одного треугольника даёт 300  градусов, и мы получаем развёртку вершины икосаэдра. Наконец,  добавление шестого треугольника даёт полный угол в 360 градусов – и  мы сразу убеждаемся, что  он не может соответствовать никакой вершине многогранника.

Перейдём к квадратам. Естественно, что наименьшее их число равно трём. Три по 90 градусов дают в сумме 270 градусов; так получается вершина куба. Добавляя ещё один квадрат, мы  приходим  к полному углу в 360 градусов. Следовательно, существует только один тип правильного многогранника, грани которого являются квадратами.

Для пятиугольников минимальное число граней – три  – даёт нам вершину додекаэдра; если же мы возьмём более трёх пентаграмм, то суммарный   угол даже превзойдёт 360 градусов.

Для шестиугольников  уже и минимальное их число – три – слишком велико: три раза по 120 градусов сразу 360 градусов. Поэтому правильного многогранника  с шестиугольными гранями не существует. Тем более не подходят  правильные многоугольники  с числом сторон, большим шести.

Таким образом, мы убеждаемся, что может существовать лишь пять правильных многогранников.

 

 

Название	Число вершин	Число ребер	Число ребер при вершине	Число граней	Число сторон грани	Сумма плоских углов  при вершине
Тетраэдр	4	6	3	4	3	180
Куб	8	12	3	6	4	270
Октаэдр	6	12	4	8	3	240
Додекаэдр	20	30	3	12	5	324
Икосаэдр	12	30	5	20	3	300

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ

 

 

1. Я познаю мир. Математика: энцикл./ авт.сост. А.П.Савин, В.В.Станцо, А.Ю.Котова. – М.: АСТ: Астрель: Люкс, 2005.

 

2. Веннинджер М. Модели многогранников. Пер. с англ. В.В.Фирсова. Под. Ред. И.М.Яглома, М., «Мир», 1974.

 

3. Платон: Биограф. повествования/ Сост., под ред. Н.Ф.Болдырева. – Челябинск: «Урал», 1995.

 

4. Математика: Школьная энциклопедия /Гл. ред. С.М. Никольский. - М.: Научное издательство «Большая Российская энциклопедия», 1996.

 

5. Математический энциклопедический словарь/ «Советская Энциклопедия», 1988г.

 

6. "Большая Энциклопедия Кирилла и Мефодия 2004"