Параллелепипед. Тетраэдр. Угол между прямой и плоскостью: примеры задач и их решение

Многопрофильный колледж НовГУ 

«Медицинский  колледж»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

ПО ГЕОМТРИИ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила студентка 

Группы 22 мс

Баранова Е.И.

 

 

 

 

 

Великий Новгород

2012

Параллелепипед

Параллелепи́пед — призма, основанием которой служит параллелограмм, или многогранник, у которого шесть граней и каждая из них параллелограмм.

Различается несколько типов параллелепипедов:

• Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники;
• Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники;
• Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основания
• Куб — это прямоугольный параллелепипед с равными измерениями. Все шесть граней куба — равные квадраты.

Основные элементы

Две грани параллелепипеда, не имеющие  общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро — смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями.

Свойства

• Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
• Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
• Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
• Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

 

Задача № 1

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого  параллелепипеда равна 94. Найдите  третье ребро, выходящее из той же вершины.

 

Решение. 
Обозначим известные ребра за и , а неизвестное за . Площадь поверхности параллелепипеда выражается как

  .

Выразим :  , откуда неизвестное ребро

Ответ: 5.

 

Задача № 2

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

 

Решение. 
Обозначим известные ребра за и , а неизвестное за . Площадь поверхности параллелепипеда выражается как . Выразим :

,

откуда неизвестное ребро

,

Диагональ параллелепипеда находится  как 

.

Ответ: 3.

 

Задача № 3

Площадь грани прямоугольного параллелепипеда  равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.

 

Решение. 
Объем прямоугольного параллелепипеда равен , где – площадь грани, а — высота перпендикулярного к ней ребра. Имеем

.

Ответ: 48.

 

Задача № 4

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.

 

Решение. 
Длина диагонали параллелепипеда равна

.

Длина третьего ребра тогда  .

Получим, что объем параллелепипеда 

.

Ответ: 32.

 

Тетраэдр

Тетра́эдр — четырёхгранник — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.

Основные элементы

• Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, называется его медианой, опущенной из данной вершины.
• Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, называется его бимедианой, соединяющей данные рёбра.
• Отрезок, соединяющий вершину с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани, называется его высотой, опущенной из данной вершины.

Свойства тетраэдра

• Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.
• Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины. Эта точка делит бимедианы пополам.
• Плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся рёбер тетраэдра, делит его на две равные по объёму части.

Типы тетраэдров

Выделяют следующие специальные виды тетраэдров.

• Равногранный тетраэдр, у которого все грани — равные между собой треугольники.
• Ортоцентрический тетраэдр, у которого все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке.
• Прямоугольный тетраэдр, у которого все ребра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой.
• Правильный тетраэдр, у которого все грани — равносторонние треугольники.
• Каркасный тетраэдр — тетраэдр, отвечающий любому из следующих условий:
• существует сфера, касающаяся всех ребер,
• суммы длин скрещивающихся ребер равны,
• суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны,
• окружности, вписанные в грани, попарно касаются,
• все четырехугольники, получающиеся на развертке тетраэдра, — описанные,
• перпендикуляры, восставленные к граням из центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке.
• Соразмерный тетраэдр, бивысоты которого равны.
• Инцентрический тетраэдр, у которого отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке.

 

Задача № 1

В тетраэдре  медианы основания пересекаются в точке . Площадь треугольника равна 2; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка .

 

Решение. 
отрезок высотой треугольной пирамиды , ее объем выражается формулой

 

Таким образом,

Ответ: 9.

 

Задача № 2

В тетраэдре точка – середина ребра , – вершина. Известно, что =3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длину отрезка .

 

Решение. 
Найдем площадь грани :

 
Отрезок является медианой правильного треугольника , а значит, его высотой.

Тогда

Ответ: 10.

 

Задача № 3

В правильной треугольной пирамиде точка — середина ребра ,  — вершина. Известно, что , а . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

 

Решение. 
Отрезок является медианой правильного треугольника , а значит, и его высотой. Тогда

Ответ: 45.

Задача № 4

В правильной треугольной пирамиде   – середина ребра ,   – вершина. Известно, что =4, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 54. Найдите длину ребра

 

Решение. 
Найдем площадь грани :

Отрезок является медианой правильного треугольника , а значит, и его высотой. Тогда

Ответ: 9.

 

Угол между прямой и плоскостью

Прямая и плоскость пересекаются, если они имеют одну единственную общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости.

При этом прямая, которая пересекает плоскость, может быть перпендикулярна  к этой плоскости.

Прямая перпендикулярна  к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Проекцией точки  на плоскость называется либо сама точка , если точка лежит в плоскости, либо точка пересечения плоскости и прямой, перпендикулярной к плоскости и проходящей через точку, если точка не лежит в плоскости.

Проекцией прямой на плоскость называют множество проекций всех точек прямой на плоскость.

Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Определение угла между прямой и плоскостью позволяет  заключить, что угол между прямой и плоскостью представляет собой  угол между двумя пересекающимися прямыми: самой прямой и ее проекцией на плоскость. Следовательно, угол между прямой и плоскостью есть острый угол.

Угол  между перпендикулярными прямой и плоскостью считают равным 90^о, а угол между параллельными прямой и плоскостью либо не определяют вовсе, либо считают равным 0^о.

Поэтапно-вычислительный метод

Угол между прямой и плоскостью можно вычислить, если этот угол удается включить в прямоугольный треугольник в качестве одного из острых углов.

 

Задача № 1

В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найти угол между прямой и плоскостью .

 

Решение.

Пусть D – середина , тогда – перпендикуляр к плоскости , а D – проекция точки на эту плоскость (см. рис. 38).

Если  – искомый угол, то , где , , и поэтому . Отсюда .

Ответ: .

 

Векторно-координатный метод

Угол между прямой l и плоскостью можно вычислить по формуле

или в координатной форме

,

где – вектор нормали плоскости , – направляющий вектор прямой l;

· прямая l и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда

.

 

Задача № 2

В единичном кубе найти угол между прямой и плоскостью , проходящей через точки , Е и F, где точка Е – середина ребра , а точка F лежит на ребре , так, что .

 

 

 

 

 

 

Решение.

Введем прямоугольную  систему координат.

Тогда , , , , , , , . Пусть – вектор, перпендикулярный плоскости , – искомый угол. Тогда

.

Вектор  найдем из условий перпендикулярности этого вектора векторам и , т.е. из условий

 или 

Пусть , тогда , и , . Так как и

то 

.

Отсюда  .

Ответ: .

 

Векторный метод

 

Задача № 3

В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, найти угол между прямой DE, где E – середина апофемы SF грани ASB, и плоскостью ASC.

 

Решение. Так как прямая ОD перпендикулярна плоскости ASC, то вектор является вектором нормали плоскости ASC.

Пусть , , , где , , . Тогда

,

,

,

,

.

Подставляя полученные значения в  формулу  , имеем

.

Отсюда  , где искомый угол.

Ответ: .

Метод опорных задач

Угол между прямой l и плоскостью можно вычислить по формуле

,

где ,

 

Задача № 4

В единичном кубе найти угол между прямой и плоскостью .

 

Решение.

Так как  и точки и лежат на прямой , параллельной плоскости , то последовательно получаем

  .

Отсюда  .

Ответ: .

 

 

Задача № 5

Отрезок АВ пересекает плоскость. Найти  расстояние от середины отрезка до плоскости, если расстояния от точек А и В до плоскости 6 см и 10 см.

 

Решение.

Пусть отрезок пересекает плоскость  в точке D, середину отрезка обозначим  как M. Перпендикуляр отрезка, опущенный  на плоскость (и определяющий расстояние от середины отрезка до плоскости) пусть касается плоскости в точке M1. Точки A и B проецируются на плоскость соответственно в точках A1 и B1.