Автор работы: Пользователь скрыл имя, 11 Ноября 2014 в 17:32, задача
Задача 274. Построить на плоскости область решений системы линейных неравенств и геометрически найти наименьшее и наибольшее значение линейной функции. Решение - Если линейное уравнение Ax+By+C=0 задаёт прямую, то линейное неравенство определяет полуплоскость. Решить линейное неравенство – это значит найти полуплоскость, точки которой удовлетворяют данному неравенству (плюс саму прямую, если неравенство нестрогое). Решение выполним графически.
Задача 274
Построить на плоскости область решений системы линейных неравенств и геометрически найти наименьшее и наибольшее значение линейной функции
Решение
Если линейное уравнение Ax+By+C=0 задаёт прямую, то линейное неравенство определяет полуплоскость.
Решить линейное неравенство – это значит найти полуплоскость, точки которой удовлетворяют данному неравенству (плюс саму прямую, если неравенство нестрогое). Решение выполним графически.
Решить систему линейных неравенств – это значит найти множество точек плоскости, которые удовлетворяют каждому неравенству системы.
Система линейных неравенств может не иметь решений, то есть, быть несовместной.
В первую очередь, найдем область допустимых значений, т.е. точки x1 и x2, которые удовлетворяют системе ограничений.
Рассмотрим первое неравенство:
Построим прямую. Заменим знак неравенства на знак равенства:
Преобразуем уравнение следующим образом:
Каждый член уравнения разделим на 18:
Данное представление прямой называется уравнением прямой в отрезках и позволяет, очень легко, нарисовать данную прямую. На оси X1 рисуем точку с координатой 18. На оси X2 рисуем точку с координатой 2. Соединяем полученные точки и получаем необходимую прямую.
Знак неравенства меньше или равно, следовательно, нас интересуют точки лежащие ниже построенной нами прямой.
Аналогично построим полуплоскости для второго и третьего неравенства. Получим графическое решение.
Вернемся к нисходной функции f.
f = |
11 x1 |
+ 7 x2 |
Допустим значение функции f равно 1 (абсолютно произвольно выбранное число), тогда
1 = |
11 x1 |
+ 7 x2 |
Данное уравнение является уравнением прямой на плоскости. Из аналитической геометрии известно, что данная прямая перпендикулярна вектору, координатами которого являются коэффициенты функции, а именно вектору
= (11,7). | ||
ON |
Следовательно, с геометрической точки зрения, функция f изображается как множество прямых перпендикулярных вектору
= (11,7). | ||
ON |
Построим вектор
= (11,7) | ||
ON |
Диапазон перемещения прямой НЕ от точки в направлении от точки O к точке N.
Данный вектор расположен вне области решения системы неравенств, следовательно, в этой области нельзя определить минимальное значение функции.
Размещено на Allbest.ru