Лекция по "Начертательной геометрии"

1. Методы и свойства проецирования.

Что проецируют- обьект проецирования;  На что проецируют – поверхность проецирования;  Как проецируют- способ(вид) проецирования.  

1.Проекции параллельных прямых параллельны. 
 

2. Плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется без искажения.        
    
    

3. проецирование точки есть точка

4,Проекция прямой есть прямая, или точка если прямая проходит через центр проекции.

5. объемные тела – плоские  фигуры

6. если точка принадлежит прямой, то ее проекция  принадлежит  проекции прямой.

3. Линия.  Прямая. Положение  прямых в пространстве. Частные положения прямой относительно плоскостей проекций.

Линия это множество положений  не прерывно движущейся в пространстве точки.

Прямая линия: Простейшей линией является прямая  которая получается  при  движении точки без изменения  направления движения . Прямая линия имеет длину , но не имеет толщины поэтому является одномерным объектом.

Положение  прямых в пространстве. Может занимать различное положение относительно плоскостей проекции: общей и частный:

-Прямая, наклоненная к плоскостям  проекций ,  и  под произвольными углами (отличными от и ) называется прямой общего положения.

- Прямой частного положения  (относительно плоскостей проекций) называют прямую параллельную или перпендикулярную одной из плоскостей проекций.

 

4, Взаимное положение  прямых. Теорема о проекциях прямого угла.

Прямые в пространстве по отношению друг к другу могут быть:

-Параллельными  - проекция параллельных прямых параллельна.

-Пересекающимися - Это прямые  линии имеющие общую точку. Если прямые в пространстве пересекаются то пересекаются и их одноименные проекции, при этом точки пересечения проекций прямых лежат на одной линии.

-Скрещивающимися - Это прямые не пересекающиеся  и не параллельны между собой. Они находятся в разных плоскостях однако одноименные проекции таких прямых  могут пересекаться, но точки их пересечения не лежат на одной лини связи.

 Теорема о проекциях  прямого угла.

Если одна сторона прямого угла параллельно плоскости проекции, а другая ей не перпендикулярна, то прямой угол проецируется на эту плоскость без искажений основываясь на этой теореме, можно просто, с минимальным количеством   графических построений решать на комплексном чертеже задачи на построения:

-прямых, перпендикулярных друг другу

-прямых, перпендикулярных плоскостях

-взаимно перпендикулярных плоскостей

 

5. Кривые линии. Плоские  и пространственные кривые.

Множество последовательных положений  некоторой точки, движущейся в пространстве может образовать кривую линию. Кривые линии могут быть: Закономерными и Незакономерными. Закономерные это линии закон образования которых известен.

Незакономерные это линии закон  образования которых не известен.

 

Кривые все точки которых принадлежат одной плоскости называются плоскими.

 

Пространственные кривые -  это  кривые линии все точки которых не принадлежат одной плоскости.

 

6. Плоскость. Положения  плоскости в пространстве. Частные   положения плоскости.

Плоские фигуры называют плоскостями. Совокупность элементов (точек, линий), задающих плоскость в пространстве, называется определителем плоскости.

Положения плоскости в  пространстве: если положения плоскости в пространстве определяется  любыми тремя точками, то она может быть задана проекциями:

-трех точек не лежащих на  одной прямой

-прямой и точки в этой прямой

-двух параллельных прямых

-двух пересекающихся прямых 

-пересекающихся линий уровня(в том числе и нулевых)

-любых плоских геометрических  фигур

Частные  положения плоскости.

Плоскость, перпендикулярная одной  из плоскостей проекции называется проецирующей. Таких плоскостей три:

-плоскость перпендикулярная  горизонтальной  плоскости проекций (П1), называется горизонтально-проецирующей.

-плоскость, перпендикулярна фронтальной  плоскости проекций (П2), называется фронтально-проецирующей.

-плоскость ,перпендикулярная профильной плоскости проекции( П3),  называется профильно-проецирующей. Элементы, которыми она задана в пространстве, с искажением их действительных величин.

 

Проецирующая плоскость  на перпендикулярную ей плоскость проекций всегда проецируется  в прямую линию, а на две  другие плоскости  проекций – в те геометрические элементы, которыми она задана в  пространстве, с искажением их действительных величин.

 

Частным случаем проецирующей плоскости  является  плоскость, параллельная какой – либо плоскости проекций. Эта плоскость называется плоскостью уровня.

Таких плоскости три:

- плоскость, параллельная горизонтальной  плоскости проекций (П 1), называется горизонтальной плоскостью уровня.

- плоскость, параллельная  фронтальной  плоскости проекций (П2), называется  фронтальной плоскостью уровню.

- плоскость, параллельная профильной  плоскости проекций  (П3),  называется  профильной плоскостью уровня.

 

Положение  плоскости уровня является  удобным  для определения  не только точек  и линий пересечения  заданных плоских фигур  с другими  геометрическими объектами, но и  для  определения  их  действительных  метрических характеристик ( длин,  углов, периметров, площадей и т.п.) поскольку  элементы этой плоскости  уровня всегда  проецируются на  параллельную ей плоскость  проекций  без искажений т.е в натуральную величину ( Н.В).

 

7. Прямая и точка в  плоскости. Главные линии плоскости.

 

Для построения любой прямой линии  необходимо иметь либо две точки , либо одну точку и направление ее перемещения.   Прямая линия принадлежит плоскости, если  она проходит через две точки, принадлежащие этой плоскости, или если она проходит через одну точку плоскости и параллельна какой – нибудь прямой, лежащий в этой плоскости. Точка  принадлежит плоскости, если она лежит на какой- нибудь примой  принадлежащий этой плоскости.

 

 

Главные линии плоскости.

Прямые, лежащие в заданной плоскости и параллельные какой либо плоскости проекций, а также прямые, перпендикулярные этим прямым, называются главными линиями плоскости.  Как известно, линии, параллельные  соответствующем плоскостям проекций – это горизонталь,  фронталь и профильная прямая.

Если  плоскость перпендикулярна  горизонтальной  плоскости проекций ( горизонтально – проецирующая), то фронталь в такой  плоскости  перпендикулярна горизонтальной плоскости  проекций . 

Если  плоскость перпендикулярна  фронтальной плоскости проекций ( фронтально – проецирующая), то горизонталь в такой плоскости перпендикулярна фронтальной плоскости проекций.

                            

 

 

 

8) Параллельность и перпендикулярность  двух плоскостей

Две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной  плоскости соответственно параллельны  двум пересекающимся прямым другой плоскости. Чтобы через  точку, не  принадлежащую заданной плоскости, провести плоскость, параллельную исходной плоскости, необходимо в последней выделить или провести любые две пересекающиеся прямые, а затем через заданную точку вне этой плоскости провести две пересекающиеся прямые, одноименные проекции которых должны быть параллельны соответственно одноименным проекциям выделенных в исходной плоскости прямых.

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости.  Чтобы задать плоскость, перпендикулярную к некоторой исходной плоскости, необходимо сначала построить прямую, перпендикулярную этой плоскости, затем к построенной прямой добавить любой из геометрических элементов, задающих плоскость в пространстве: либо другую прямую, параллельную первой или пересекающуюся ней: либо  точку вне ее: либо достроить к этому перпендикуляру треугольник или другую плоскую фигуру.

9. Поверхности. Классификация  поверхностей:

Поверхностью в начертательной геометрии рассматривается как  совокупность всех последовательных положений  некоторой  перемещающейся в пространстве линии.  Плоскость, как геометрический объект , можно рассматривать как часть поверхности. Движущуюся линию в процессе образования поверхности называют образующей, а линию по которой скользит образующая называют направляющей.

Поверхность может быть задана непрерывным  однопараметрическим множеством линий. Совокупность намеченных на поверхности  образующих и направляющих линий  называется линейным каркасом поверхности.

Поверхность может быть задана и  точечным каркасом. Точечным каркасом называется совокупность  точек  на поверхности, выбранных таким  образом ,что, ориентируясь по ним , можно достаточно полно представить форму поверхности

А) поверхности линейчатые и многогранники:

У линейчатых поверхностей в геометрическую часть определителя входят прямолинейная  образующая и некоторая направляющая. Через любую точку такой поверхности  можно провести промежуточную  прямолинейную  образующую.

Многогранники -замкнутая пространственная фигура, ограниченная плоскими многогранниками. Вершины и стороны многоугольников являются вершинами и ребрами многогранников. Если все вершины и ребра  многогранников  находятся по одну сторону плоскости любой его грани, то многогранник называется выпуклым.

Выделяют группу правильных многогранников, у которых все грани являются правильными  и конгруэнтными  многогранниками, а многогранные углы при вершинах – выпуклые и содержат одинаковое количество гранний.

Б) поверхности вращения

Среди криволинейных поверхностей особое распространение получили поверхности  вращения, геометрическую часть определителя таких поверхностей в общем виде можно представить некоторой  образующей и осью вращения

Каждая точка образующей при  вращении описывает окружность, плоскость  которой перпендикулярна оси  вращения. Такие окружности поверхности  вращения называются параллелями. Наибольшую из параллелей называют экватором. Экватор определяет горизонтальный очерк поверхности.

Кривые поверхности вращения, образующиеся в результате пересечения поверхности  плоскостями, проходящими через  ось вращения, называются меридианами. Все меридианы одной поверхности конгруэнтны. Фронтальный меридиан называют главным меридианом; он определяет фронтальный очерк поверхности вращения. Профильный меридиан определяет профильный очерк поверхности вращения.