Лекции по "Основы начертательной геометрии"

1.Геометрическое пространство – множество однородных элементов

Точка в пространстве изображает некий объект.

Геометрическое тело – множество всех принадлежащих ему точек связанное между собой и ограниченное определенным образом.

Отображение геометрического тела – это понятие, в соответствии с которым каждой точке 3хмерного пространства соответствует конкретная точка 2хмерного пространства на чертеже. Отображение геом. тел может быть выполнено на плоскость или др.поверхность.

Геометрические модели – модели, изображающие геом. форму изделий.

Каркасная модель – представляет форму деталей в виде конечного множества линий,лежащих на поверхности детали.

Поверхностная модель – отображает форму детали с помощью задания ограничивающих её поверхностей.(грани, ребра, вершины)

Объемные модели – в них в явной форме содержатся сведения о принадлежности элементов внутр-у или внеш-му по отношению к детали пространству.

 

2.Пространственную модель  координатных плоскостей удобнее определять в декартовой системе координат. Декартова система координат сост из 3х взаимно перпенд-ых плоскостей (π1- горизон-ая, π2-фронт-ая, π3-профильная). В начер.геом. часто примен-ся система Эпюр. (Эпюр-это чертеж, на котором простр-ая фиг изображена методом ортогональных проекций, т.е коплексный чертеж (π3 ┴ π1, π2 ))

Ортогональная система координат-это один из случаев метода 2х изображений.

Сущность ортогон.метода заключ-ся в том,что предмет проецируется на две взаимно перпендик-ые плоскости лучами, перпендикулрными(ортогональными) к этим плоскостям.

Проецирование- это процесс, в рез-тате которого получают изображеие, представляющие собой проекции на плоскости. (Процесс проецирования заключ-ся в проведении проецирующих лучей через заданные точки до встречи с плоскостью проекции)

Эпюр Монжа (комплексный чертеж)- проекционный чертеж, на котором плоскости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещенные определенным образом одна с другой.

 

3. Проецирование на 3 плоскостной  проекции производится на 3х плоскостях 

( причем π3 ┴ π1, π2 ) .Положение точки в пространстве в этом случае характеризуется ее широтой- расстоянием от нее до профильной плоскости проекций π3.(от точки до π2  -глубина до π1 –высота)

Расположение проекций точек на комплексном чертеже зависит от положения точки в пространстве трехмерного угла.

1)Точка расположена в пространстве.В  этом случае она имеет глубину,высоту,ширину.

2)Т.распол. на плоскости проекции π1 –она не им. высоты, π2 –не им.глубины. π3- не им широты.

3) Т.расп. на оси проекций:

 π2 / π1 –не им глубины и высоты

π2 / π3 –не им глубины и широты,

π1 / π3 – не им высоты и широты.

Точки общего положения-точки,у кот-ых ни одна из координат не равна нулю.

[ A  € 1четверти ( +xА, +yА, +zA );

B  € 2четв-ти ( xB, -yB, zB )

С  € 3четв-ти ( xC, -yC, -zC )

D  € 4четв-ти ( xD, yD, -zD )]

Точки частного положения- точки, у кот-ых одна две или три координаты равны 0.

 

4.1.Прямые общего положения- прямые         ни ║и ни  ┴ к плоскостям проекций.

2.Прямая частного положения- прямая

или ║или  ┴ к какой-либо плоскости проекций.

2.1 Прямая уровня-прямые ║ одной из плоскостей проекции (п.║-ая горизонтальной плоскости, наз-ют горизонталью (π1 ) и обозн. h.;

п.║-ая фронтальной плоскости проекций

(π2 ) наз-ют фронталью и обозначают f.)

п.║-ая профильной плоскости (π3 ) наз-ют профилью и обознач. р.)

2.2Проецирующие прямые-прямые ┴ какой-либо плоскости проекций.

а)Горизонтальная проецирующая прямая, ┴-ая π1

б)Фронтальная проецирующая прямая-прямая, ┴-ая π2

в)Профильной проецирующая- прямая , ┴-ая π3.

 

5. Определение натуральной величины способом прямоугольного треугольника:

Если отрезок расположен ║ какой-либо из плоскостей проекций, то на эту плоскость он проецируется в натуральную величину.

Если же отрезок представлен прямой общего положения, то на одной из плоскостей проекций нельзя определить его нат.величины.

Для определ-ия угла наклона прямой к горизонтальной плоскости (угла α), построения выполняют на базе горизонтальной проекции.

Для определ-ия угла наклона прямой к фронтальной плоскости (угла β), построение выполняют на базе фронтальной проекции

 

 

 

 

 

 

6.Прямые в пространстве:

1)пересекающиеся прямые-2прямые,лежащие в одной плоскости и пересекаются в собственной точке.Лежат на одноц линии связи.(Собственная точка- точка пересещения 2х прямых)

2)параллельные прямые прямые,лежащие в одной плоскости.ю и пересекаются в несобственной точке(т.∞ далеко удаленная ¢ этим прямым

3)скрещивающиеся прямые-прямые, не лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся.Проекции собственных точек не лежат на 1ой линии связи.

Метод конкурирующих точек закл-ся в определении взаимной видимости точек по координатам их несовпадающих проекций.

У горизонтально конкурирующих точек будет видима та, у которой больше высота.

У фронтально конкурирующих-та.ю у кот-ой больше глубина

У профильно конкурирующих-та, у кот-ой больше широта

Конкурирующие точки-точки, в отдельном случае,могут быть располодены так, что проекции их на какой-нить плоскости проекций совпадают.

 

7.Плоскость- частный случай поверхности, задается определителем.(совокупность условий, состоящий из набора геометрических элементов, задающих вид плоскости) Σ-плоскость, (Г,А)-опр-ль.

Σ (Г,А). Задание плоскости на чертеже:

а)3-мя точками,не лежащими на одной прямой Σ (А,В,С) т.А,В и С ¢ 1ой прямой.

б)прямой и точкой, не лежащей на одной прямой Σ (а,А) А € а.

в)двумя ║ прямыми Σ (а║в)

г)проекциями плоской фигуры(чаще Δ-ыми) Σ (А,В,С)

д)следом плоскости.

След плоскости-прямая пересечения заданной плоскости и плоскости проекций

 

 

 

 

 

 

 

Σ π1 –горизонтальный след плоскости;

Σ π2 –фронтальный.

 

В завис-ти от положения плоскости различаются:

1)Плоск-ти общ положения-плоскости ни ║и ни  ┴ к плоскостям проекций.

2)Пл.частного положения-плоскости  ║или ┴одной из плоскости проекции.

2.1)плоскости уровня-плоск-ти║плоскостям проекции.

Обозн-ся:Г-горизонтальная плоскость уровня ║π1 ; Ф-фронтальная плос-ть уровня ║π2 ;ψ- профильная плоскость уровня ║π3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

в)Для плоскости профильного уровня горизонтальные и фронтальные следы есть прямая.

2.2)Проецирующая плоскости-плоскости ┴-ные одной из плоскостей проекций.

а)Горизонтально проецирующие плоскости, когда Σ┴ π1 ;

б)Фронтально проецирующие плоскости,когда Σ┴ π2 ;

в)Профильно проецирующиеся плоскости,когда Σ┴ π3

Позиционные задачи-задачи, связанные с решением вопросов взаимного расположения геом.фигур на комплексном чертеже.

Прямая € плоскости, если 2точки этой прямой принадлежат плоскости.

Точка € плоскости, если она € в этой плоскости.

 

8.Плоскости в пространстве  могут быть ║-ыми или пересекаться.

  Параллельными будут  плоскости,если 1 из них задана пересекающимися прямыми,параллельными пересекающимися,задающим вторую плоскость.

 

9.Если плоскости пересекаются,то линия их пересечения-прямая. Плоскости, ┴-ные между собой, представляют случай их пересечения, когда угол между плоскостями=90º.

 

10.Если плоскость занимает частное положение(плоскость общ.положения),то одна проекция точки пересечения прямой с плоскостью определяется сразу в пересечении вырожденной проекции плоскости с соответствующей проекцией прямой

 

11.Если прямая пересекает плоскость в бесконечности, то имеет место параллельность прямоц с плоскостью.

 

12.Если прямая пересекает плоскость под прям углом, то на комплексном чертеже проекции этой прямой распологаются перпендикулярно проекциям соответствующих линий уровня плоскости.

Теория о проецировании прямого угла:Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то при ортогональном проецировании прямой угол проецируется на эту плоскость в прямой же угол.

 

13. Многогранник – пространственная фигура, ограниченная замкнутой поверхностью, сост из отсеков плоскостей, имеющих форму многогранников. Стороны многоугольников-ребра, плоскости многоугольников-грани. Виды: призма, пирамида, правильн многогран, звездачтых форм, архимедовы тела полуправильные однородны выпуклые многогранники.

Изображение многогран-в сводится к изображению ребер и вершин.

 

14. Пересеч многогран  плоск-ю

Геометрическая фигура, получающаяся в рез-е пересеч-я многогран плоск-ю назыв. сечением многогранника. Сечение представляет собой плоский многоугольник с внутренней областью. Ешл вершины являются точками пересечения ребер с заданной плосксотью, а стороны – линиями пересечения граней с плоскостью. Таким образом построение сечения многогранника плоскостью сводится к определению точек пересеч-ия прямой с плоскостью или к определению линий пересеч плоск-й.

 

15.Пересеч прямой с  многогран.

Прямая с многогран поверх может не иметь т. пересечений, может касатсяь в одной точнее и может пересекать в нескольких т.

Алгоритм опред-я точек пересеч:

1) Ч/з данную прямую проводим вспомогат плоск-ть. 2) Строим сечения заданной поверхности с вспомогат плоск 3) Опред-м искомые точки, как точки пересеч-я данной прямой с ломанной линией, ограничивающей контур сечения.

 

16. Кривые линии-непрерывная совокупность последовательных положений о движущейся точки а также  линия пересечения поверхностей.

Классиф-ия кривых:

1)Плоские кривые-все точки кривой  линии лежат в одной плоскости(окружность,эллипс.)

2)Пространственные кривые-кривая  не лежитвсеми своими точками  в плоскости(винтовые л.)

Образование кривых:

1)Закономерно,т.е уравнением (эллипс,параб)

2)Незакономерно(горизонтали на плане местности)

При ортогональном проецировании проекции линий, как рез-тат получают пересечение проецирующих цилиндров с плоскостями проекций(проекциями плоских и пространственных линий явл-ся линии плоские).На ортогональном чертеже кривые линии задаются проекциями.

 

17.Поверхность-множество последовательных положений линий,перемещающихяс в пространстве.

Образование поверхностей: в зависимости от формы образующей:

1)линейчатые.В них выделяют поверхности:развертывающие,совмещаемые всеми своими точками с плоскостью без разрывов и складок и неразвертывающиеся,которые нельзя совместить с плоскотью без разрывов и складок.

(Развертывающие пов-ти:многогранники,цилиндрические,конические,торсовые)

2)Нелинейчатые пов-ти могут быть с образующей постоянной формы (пов-ти вращения,трубчатые пов-ти) и с образующей переменной формы (каналовые,каркасные пов-ти)

Определитель пов-ти- совокупность условий,необходимых и достаточных для задания пов-ти в пространстве.

Точки и линии определяют пов-ть и линии очерка проекции.

Очерковые линии явл-ся на чертеже границами пов-ти и разделяют пов-ть на видимую и невидимую часть.

Точка принадлежит пов-ти в том случае,когда она находится на линии этой пов-ти.

 

18. Виды цилиндрических  сечений.

а)Плоскость парал. оси цилиндра пересекает его поверхность по образующим.

б) Плоскость перп-на. оси цилиндра пересекает поверхность по окружности.

в) Плоскость наклонная к оси цилиндра пересекает поверхность по эллипсу.

 

19. Виды конических сечений.

А) плоскость проходящая ч/з вершину конуса пересекает его поверхность по образующим

Б) Плоскость перп оси конуса перескает его поверхность по окружности

В) плоскость, пересекающая все образующие конуса, пересекает его поверхность по эллипсу.

Г) Плоскость, парал. одной из образующих конуса перескает его поверхность по параболе. В этом случае угол наклона секущей плоскости к оси конуса равен углу м/у образующей конуса и его осью. На фрональную плоскость проекции фигура сечения проец в виде отрезка совпадающего со следом-проекцией сек. плоскости. Горизонтальная и профильная  проекции сечения будут параболы, которые строятся по точкам.

Д) плоскость парал 2-м образующим конуса пересекает его поверхность по гиперболе.

 

20. Пересечение сферич  поверх

Сферич поверх всякой плоскостью персекается по окружности. Фронтальная проекция фигуры изображается отрезком, совпадающим со следом проекции секущей плосксоти. Горизонтальная проекция фигуры сечения будет эллипс, кот. строится по точкам.

 

21.Нахождение кривой  линии получ-й при пересеч-и  поверх-и плоскостью общ положения.

1) проведем несколько вспомогательных  плоск-й, пересекабщих данную кривую  поверхность и секущую плоскость. При этом вспомогалеьные плоск-и  выбирают так, чтобы они пересек-и  кривую поверх по более простым  для построеия линиям (прямым или окр)

2) построить линии по которым  вспомогательные плоскости перескают  данную поверхность и секущую  плоск-ть.

3) Найти точки, в кот построенные  линии пересек-я м/у собой.

3) Соединиь найденные точки в  правильной последовательности.

Пересечение прямой линии с канонич-й поверх

Пусть имеется и пряма, пересекающая канонич поверх. Тогда проведенная ч/з какие-нибудь точки А и В прямой а и вершину конуса S прямые AS и BS. Эти пересек-я прямые и определяют вспомогательную плоск-ть, которая пересечет коническую поверхность по некоторым образующим.

 

22. Взаимное пересечение  поверх.

1- Частный случай. Одна из перескающихся  поверхностей является проецирующей. Линия пересечения на одном  из видов совпадает с линией-проекцией  проецирующих поверхности.

2) Общий случай. Ни одна из пересекающихся поверхностей не является поврхностью проецирующей. Линия пересечения не определена ни одним из видов.

3) Особый случай. Линия пересеч-ия  распадается на две плоские  кривые.