Графические способы решения технических задач в области механики и электротехники

Самарский Государственный Технический  Университет

 

Кафедра инженерной графики.

 

 

 

Реферат на тему

 

«Графические  способы решения технических задач в области механики и электротехники»

 

 

 

 

 

 

                                                                                         Выполнил студент:

                                                                                          1-ХТФ-2

                                                                                                Тригуб Л.В. 

                                                                                    Научный руководитель:

                                                                         Доцент, К.Т.Н. Короткова Л.В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Самара 2012

 

Цель работы

 

1. Изучить графические методы начертательной геометрии

(замена, вращение  и совмещение плоскостей проекций, плоскопараллельное перемещение);

2. Изучить основные правила решения задач с помощью графических методов; рассмотреть на примерах решения математических и технических задач практическое применение графических методов начертательной геометрии;

3. Сделать выводы о возможности практического применения графических методов при решении математических и технических задач( оценить временные затраты, точность полученного ответа, сложность построений).

 

 

 

Введение

 

Всякую науку  определяет ее метод- метод исследования и решения соответствующих задач. Начертательную геометрию как науку  также определяет ее метод. Этот метод  выделяет ее из ряда других ветвей геометрии. Метод начертательной геометрии  является графический метод исследования и решения геометрических задач. Этот метод заключается в том, что геометрические задачи, связанные  с пространственными формами  предметов окружающего нас мира, исследуются и решаются с помощью  чертежей определенным образом построенных  плоских графических изображений  предметов.

Как наука  начертательная геометрия оформилась в конце XIII века. Ее созданием мы обязаны видному французскому ученому, инженеру и политическому деятелю  Гаспару Монжу (1746-1818).

Монж- внук крестьянина и сын мелкого торговца провинциального города Бонн - уже на школьной скамье обнаружил выдающиеся математические способности, а в 22 года он уже был профессором математики. Биографы характеризуют Монжа как неутомимого ученого, педагога, инженера, энергичного общественного и крупного политического деятеля.

Главным научным  трудом Г. Монжа считается его "Начертательная геометрия", где изложены методы проецирования предметов на две взаимно перпендикулярны плоскости. В свое время предложенный Г. Монжем метод проецирования произвел настолько большой эффект своей простотой, доходчивостью и, главное, результативностью, что был причислен к перечню военных секретов, не подлежащих разглашению.

 

Монж был  одним из основателей Политехнической  школы в Париже и, кроме начертательной геометрии, сделал, важные открытия в  области дифференциальной геометрии  и теории дифференциальных уравнений.

 

В средней  школе методами проецирования широко пользуются на уроках черчения, математики и труда. Мы можем построить любой  предмет в двух и более проекциях, а ведь эти правила проецирования  впервые были изложены в книге  Монжа ''Начертательная геометрия".

 

Начертательной  геометрии Монж придавал большое  значение. В предисловии к своей  книге он писал, что нужно приучить пользоваться начертательной геометрией всех способных молодых людей как богатых, так и бедных. По мнению Монжа, начертательная геометрия имеет две главные цели.

 

Во-первых, она  является языком техники, учит изображать трехмерные формы на плоском листе  бумаги. Этот язык необходим не только "инженеру, создающему какой-либо проект, а также всем тем, кто должен руководить его осуществлением, и, наконец, мастерам, которые должны сами изготовлять  различные части".

 

Во-вторых, начертательная геометрия помогает оперировать  теорией как средством искания  истины. Она необходима всем рабочим, которые имеют дело с изменением формы заготовки при изготовлении предметов. Поэтому изучение начертательной геометрии как науки необходимо в учебных заведениях.

 

Начертательная  геометрия Монжа вышла в свет в 1798 году, ознаменовав рождение новой  науки, значение которой трудно переоценить. В настоящее время эта наука  прочно укрепилась во многих высших учебных  заведениях. Без нее немыслимо  образование инженера, архитектора, художника, преподавателей математики и черчения. Начертательная геометрия  изучается во всех технических и  художественных школах всего мира. А самое главное, в настоящее  время начертательная геометрия  имеет большое практическое применение во многих областях науки и техники. К примеру, в механике с помощью  начертательной геометрии решаются задачи пространственной статики и  кинематики, в технике - конструирования  и расчеты пространственных механизмов, в химии составляются химико-технологические  диаграммы состояния многокомпонентных  систем и т.д.

 

''Раньше  говорили: язык инженера - чертеж. Язык  нынешнего инженера - сочетание математики  с чертежом. Для него чертеж  -способ перехода от теоретических выводов к схемам и конструкциям. А источник теоретических выводов - исследование физики явлений и рабочих процессов аналитическими, математическими или графоаналитическими методами, в сочетании с экспериментами и исследованиями".

 

При решении  всякой технической задачи приходится производить различного рода расчеты. Они обычно заключаются в целом ряде сложных и утомительных математических выкладок и вычислений.

 

Так как основная задача техники - добиваться наивыгоднейшего результата с наименьшей затратой труда, времени и средств, то, естественно, техника выработала особые приемы и способы так  называемых "технических графических вычислений", облегчающих и  ускоряющих эти расчеты, иногда даже в ущерб их математической точности.

В этой связи расскажем об одном случае из биографии Г. Монжа.

 

Однажды ему поручили выполнить расчет профиля проектируемой крепости. Эта операция сопровождалась утомительными арифметическими вычислениями. Г. Монж заменил их графическими методами и быстро решил задачу. Начальник отказался принять эту работу, так как принципиально считал невозможным выполнить ее в такой короткий срок. Монж не без труда добился разрешения изложить свои объяснения, чем привел своих учителей в изумление. Но своей настойчивостью он добился признания своего способа расчета.

 

Графический метод расчета довольно часто  применяется в различных областях техники: при расчетах мостовых пролетов и ферм, пространственных механизмов, конструкций и т.д., вообще там, где  можно заменить сложный расчет по формулам более простым графическим. Чертеж, составленный по методу прямоугольных  проекций, является общепринятым языком в технике. По нему выполняют расчет и, если нужно, вносят коррективы.

 

Следует знать, что графическое решение так  же важно, как и аналитическое, что  оно в ряде случаев дает более  быстрый путь решения. Иногда это  единственный путь, а именно при  ограниченном круге математических познаний. Графическое решение задачи дает практически достаточно точный ответ на поставленный вопрос.

 

Правила решения задач.

 

При решении задач графическими методами начертательной геометрии  придерживаются следующих правил:

1. Фигуру располагают относительно плоскостей проекций, так, чтобы важные для решения задачи элементы определялись по чертежу наиболее просто.

2. Для определения истинной величины какого-либо отрезка или площади сечения используют способы вращения, совмещения или замены плоскостей проекций.

3. Если по условию задачи требуется определить величину поверхности или объема фигуры, то при помощи графического метода (после соответствующих измерений) получают исходные данные, которые используют, завершая задачу обычным путем.

4. Если по условию задачи требуется изобразить фигуру с размерами, неудобными для построения в истинную величину, то используют масштаб увеличения или уменьшения.

Задача №1. С наблюдательного пункта поступили сведения о самолете, летевшем в зону N. Известен курс и высота. Через определенный промежуток времени самолет будет находиться над скрытыми в пусковых шахтах ракетами типа " Земля- воздух".

Определить конечные точки (точки  входа и выхода) зоны обстрела самолета ракетами типа " Земля- воздух" с закрытых позиций (рис.1).

          (рис.1)

Решение: Эту задачу можно свести к определению точек пересечения прямой L с поверхностью конуса, где а-угол между очерковыми образующими (вершина конуса S). Условно будем считать, что самолет и ракета летят по прямой.

 

Для этого  прямую L заключаем в горизонтальную плоскость Р (на эпюре через прямую L1 проводим проекцию плоскости P1). В сечении конуса плоскостью Р получаем окружность радиуса R, которую проводим из точки S до пересечения с горизонтальной проекцией прямой L. Точки A и B (АВ, А₁ В₁) - искомые конечные точки (точки входа и выхода) зоны обстрела самолета. Зная курс, высоту и скорость самолета, нетрудно подсчитать время нахождения самолета в зоне обстрела.

 

Задача  №2. Определить зону одновременной видимости двух

спутников (рис.2).

(рис.2)

Решение:

 Если  предположить, что оба спутника (на эпюре обозначены точками А и В) вращаются вокруг Земли по одной орбитальной кривой, то величина зоны их одновременной видимости зависит от расстояния между ними.

 

Зона видимости  каждого спутника в отдельности  представляет собой окружность, полученную в месте касания конической поверхности (с вершинами в точках А и В) с поверхностью шара. Для определения этих зон пользуемся способом замены плоскостей. На дополнительные плоскости Р и U, расположенные параллельно соответствующим осям AO и BO конических поверхностей, проецируем шар и точки А и В. Затем из точек а_р и Ь_и проводим касательные к окружностям. Получаем проекции конических поверхностей и сфер. Отрезки, соединяющие точки касания, - это проекция окружностей, плоскости которых перпендикулярны соответственно к плоскостям P и U. На горизонтальных и фронтальной проекциях шара эти окружности изобразятся в виде эллипсов. Пересечение эллипсов, проекций зоны видимости каждого из спутников определит зону одновременной видимости обоих спутников.

    На эпюре эта зона заштрихована.

Задача №3. Определить угол наклона плоскости Р (дороги) относительно горизонтальной плоскости, учитывая, что он не должен превышать среднего значения уклонов, равного 21°, для автомобилей обычной проходимости (рис.3).

(рис.3)

 

Решение: При проектировании дорог учитывается наибольший угол подъема, который преодолевает автомобиль при различной

Равномерной скорости движения и при заданном коэффициенте

сопротивления качению. Коэффициент сопротивления  качению складывается в основном из следующих данных: характера дорожного покрытия (грунт, асфальт), сопротивления воздуха и веса автомобиля. Как определяется уклон дороги, вам известно из уроков черчения.

Угол наклона  плоскости Р относительно плоскости Н определяется значением линейного угла а. Он составлен линией наибольшего наклона (наибольшего ската) и ее проекцией на горизонтальную плоскость Н (рис. 3, а).

Линией наибольшего наклона (или наибольшего ската) называется, прямая, по которой скатывается шар, положенный на наклонную плоскость. Эта прямая всегда будет перпендикулярна к линии пересечения (к следу G_p) двух плоскостей: наклонной плоскости Ри горизонтальной Н.

      На эпюре проекции линии наибольшего наклона АВ строят так: на горизонтальной проекции из произвольной точки А, лежащей на следе G_p, проводят перпендикуляр ab, затем строят фронтальную проекцию A1 В1, отрезка АВ.

Для определения действительного значения угла а используются дополнительной плоскостью U, которую располагают параллельно отрезку АВ. На эпюре оси x1 параллельна АВ (или х1перпендикулярно G_p). При проецировании АВ на плоскость U координата Z точки B (т.е. высота точки относительно плоскости Н) остается постоянной. Откладываемой BuВ_Х1 =B’x1 ; точка А_u1 как проекция точка А, лежащей на плоскости Н, находится на оси x₁. Угол а на плоскости Представляет собой действительное значение угла наклона заданной плоскости Р к плоскости Н. Приложив измерительный инструмент, можно установить, соответствуют ли наклон данной плоскости среднему значению уклонов для автомобилей обычной проходимости.

Задача №4.

(рис.4)

Изобразить направление напряжённости  Магнитного поля в точке С при движении по проводнику электрического тока от А к В.

Указание. Напряженность действует  по касательной к магнитной силовой  линии (окружности) в точке С и направлена в соответствии с правилом буравчика (см. рисунок).

Так как проводник является прямолинейным, то магнитные силовые линии представляют собой окружности, радиусы которых  равны расстояниям от точек поля до оси проводника.

В соответствии с этим напряжённость  магнитного поля в точке С действует по касательной к окружности радиуса, равного расстоянию от точки С до оси проводника АВ. Направление напряжённости магнитного поля определяется по "правилу буравчика": если смотреть на проводник по направлению движения тока, то напряжённость направлена по часовой стрелке.

Для решения задачи переходим от системы плоскостей проекций П1П2 к системе П₂П_4, причём берём новую плоскость П₂ перпендикулярно АВ, для чего следует взять новую ось X₁₂ А₂В₂. В системе П₂П₄ горизонтальная проекция А₂₄В₂₄ обращается в точку, отстоящую от оси Х₂₄ на расстоянии А4А₂₄=В₄В_{2 4}=А1A₁₂=B1B₁₂. Проекция С₄ отстоит от оси Х₂₄ на расстоянии С₄С₂₄= С₁С₁₂. Поскольку прямая АВ в системе П₂П₄ перпендикулярна к П_4, окружность магнитной силовой линии, проходящая через точку С, параллельна плоскости П₄ и проектируется на эту плоскость без искажения. Радиус этой окружности равен С₄А₄. Напряжённость в точке С действует по касательной к окружности в этой точке, то есть по прямой, параллельной плоскости П₄, а потому вертикальная проекция этой касательной параллельна оси Х₂₄. (Об этом можно было судить сразу, поскольку АВ || П1 и окружность силовой линии, проходящей через точку С, находится в вертикально-проектирующей плоскости Р.) Проводя через С₄ прямую, перпендикулярную к С₄ А₄, берём на ней произвольную точку D₄ и получаем проекцию C₄D₄ искомого направления (в системе П2П₄). По этой проекции определяем проекции искомого направления в заданной системе П₁П₂— сначала вертикальную C₂D₂ || Х₂₄,. а затем и горизонтальную C1D1.