Геометрия Лобачевского

Содержание

 

Введение 3

Аксиоматика 4

Содержание геометрии Лобачевского 7

Заключение 8

Библиография 9

 

 

Введение

 

Николай Иванович Лобачевский родился 2 декабря 1792 г. в Нижнем Новгороде (ныне г. Горький). Он окончил гимназию при Казанском университете, а затем и Казанский университет, после чего был оставлен там преподавателем. С 1816 г. Н. И. Лобачевский — русский математик, учитель, профессор того же университета, автор трудов по неевклидовой геометрии с 1827 по 1846 г.— ректор университета. С 1846 по 1855 г.— помощник попечителя Казанского учебного округа. Лобачевский Н.И. преподавал геометрию, алгебру, математику, астрономию, физику, дифференциальное и интегральное исчисление. Основным трудом его жизни становится “Геометрия” (1823 г.). Н. И. Лобачевский скончался 24 февраля 1856 г.

На сегодняшний  день актуальность геометрии Лобачевского подчёркнута использованием в следующих сферах деятельности и науках:

• Физика космических лучей
• Физика релятивистского пространства скоростей
• Общая механика в т.н. “пространстве Лобачевского”
• Общая теория поверхностей и кривых

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аксиоматика

“Геометрия Лобачевского - геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского”

Собственно, Евклид так определяет параллельные прямые: две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общей точки.

Геометрия Лобачевского дает следующее определение: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят, по крайней мере, две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.

Более подробно разница между данными утверждениями показана на рис .1:

1. Геометрии Евклида.
2. Геометрии Римана.
3. Геометрии Лобачевского

 

Рис.1 Сравнение аксиом.

 

 

 

 

 

 

Чтобы объяснить  суть теории Лобачевского, нужно взять  круг на плоскости. Собственно, прямые, проходящие через круг, называются хордами. Множество данных хорд пересекает точку не лежащую на отдельно взятой прямой.

На рис.2 показаны различные плоскости, т.е. модели Кляйна и Пуанкаре, где подробнее показано суждение Лобачевского.

Рис. 2 Модели Кляйна и Пуанкаре

Модель Пуанкаре замечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами.

Возможно, также  представить данный круг в виде псевдосферы с изгибом (Рис. 3)

Рис. 3 Псевдосфера

 

 

Рис. 4 Параллельные логарифмические  функции

 

 

 

 Аксиома параллельности требует, чтобы через точку Р(рис.5) проходило более одной прямой, не пересекающей А 'А

 

Рис.5 Аксиома параллельности

 

Содержание геометрии Лобачевского

 

Лобачевский строил свою геометрию, отправляясь  от основных геометрических понятий  и своей аксиомы, и доказывал  теоремы геометрическим методом, подобно  тому, как это делается в геометрии  Евклида. Основой служила теория параллельных линий, так как именно здесь начинается отличие геометрии  Лобачевского от геометрии Евклида. Все теоремы, не зависящие от аксиомы  о параллельных, являются общими для  обеих геометрий; они образуют так  называемую абсолютную, к которой относятся, например, теоремы о равенстве треугольников. Вслед за теорией параллельных строились другие разделы, включая тригонометрию и начала аналитической и дифференциальной геометрии. Приведём (в современных обозначениях) несколько фактов геометрии Лобачевского, отличающих её от геометрии Евклида и установленных самим Лобачевским (Рис.6)

 

Рис.6 Угол параллельности

 

 

 

Заключение

 

На сегодняшний  день Геометрия Лобачевского находит  применение во многих сферах науки, в  основном в физике и математике. Также некоторыми учеными была развита  механика в ”Пространстве Лобачевского”, которая, на данный момент, не находит  применения в классической механике.

Геометрия Лобачевского, также называемая Гиперболической  Геометрией, внесла огромный вклад  в развитие вышеуказанных наук, данная работа служит огромным прыжком вперед не только для Российского общества, но и для общества в целом. Исследования Лобачевского получили широкое признание после его смерти. Оказалось, что работы Лобачевского по геометрии представляют собой новый этап в развитии естествознания. До Лобачевского евклидову геометрию считали единственно возможным учением о пространстве. Работы Лобачевского опровергли такой взгляд, привели к широким обобщениям в геометрии и их важнейшим приложениям в различных разделах математики, механики, физики и астрономии. Выше было отмечено, что с научной точки зрения систему аксиом и постулатов Евклида нельзя признать вполне удовлетворительной, так как у Евклида при изложении геометрии приходится в ряде случаев использовать утверждения, которые явно не высказаны и не доказаны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Библиография

 

Список Литературы:

• Большая Советская Энциклопедия. 1969 – 1978 гг.
• Прасолов В.В. Геометрия Лобачевского. МК НМУ М., 1995 г.
• Ефимов Н.В. Высшая геометрия. «Наука». М., 1971 г.
• Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Издательство Просвещение, 1998 г.
• Юшкевич А.П. История математики в России. «Наука». М., 1968 г.
• Гильберт Д. Основания геометрии. Издательство Гостехиздат, 1948 г.
• Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия Наука, М., 1990 г.
• Шафаревич И.Р., Ремизов А.О. Линейная алгебра и геометрия. Физматлит, М., 2009г.
• Делоне Б.Н. Элементарное доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского  Гостехиздат, М., 1956 г.
• Александров П.С., Что такое неэвклидова геометрия. УРСС, М., 2007
• БСЭ. 1969—1978 гг.
• Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии Факториал, М., 2000 г.

 

 

 

Интернет-ресурсы:

http://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрия_Лобачевского

http://slovari.yandex.ru/лобачевский/БСЭ/Лобачевского_геометрия