Геометрия и искусство

Содержание

• История возникновения геометрии и её развитие в античный 
  период 3
• Применение теории пропорций в живописи и архитектуре 8
• Применение в искусстве некоторых замечательных кривых и их свойства 19
• Приложение 40
• Решение задач 41
• Используемая литература 45
• 1.История возникновения геометрии и её развитие в античный период
• Слово геометрия греческого происхождения и означает землемерие. О возникновении геометрии в часто цитируемом отрывке из сочинения древнегреческого историка Геродота(485-425 гг. до н. э.) говорится следующее: 
  «Этот царь [Сесострис], как передавали жрецы, также разделил землю между всеми жителями и дал каждому по квадратному участку равной величины. От этого царь стал получать доходы, повелел взимать ежегодно поземельную подать. Если река отрывала у кого-нибудь часть его участка, то владелец мог прийти и объявить царю о случившимся. А царь посылал людей удостовериться в этом и измерить, насколько уменьшился участок, для того чтобы владелец уплачивал подать соразмерно величине оставшегося надела. Мне думается, что при этом-то и было изобретено землемерное искусство и затем перенесено в Элладу».
• Такое объяснение причин возникновения геометрии достаточно правдоподобно, чтобы его можно было принять, тем более, что другими объяснениями её происхождения мы не располагаем.
• Практической геометрией занимались все древние народы. Чтобы построить хижину, вырыть пещеру, раскинуть шатер, необходимы основательные, хотя и интуитивные, познания в геометрии. Древние греки далеко превзошли пределы того, что было необходимо для установления правил практической геометрии.
• Геометрия впервые появляется на страницах книги Витрувия «Об архитектуре», когда автор приступает к рассмотрению господствующих ветров. Заботясь об удобствах и здоровье жителей города, он рекомендует выбирать направления улиц так, чтобы определенные ветры не могли дуть вдоль улиц. Витрувий перечисляет восемь главных ветров и шестнадцать второстепенных. Главные ветры называются: Септентрион, Аквилон, Солан, Эвр, Австр, Африк, Фавоний и Кавр. Каждый из них обладает присущими лишь ему отличительными особенностями и дует в определенное время дня. На рис. 1 изображены не только главные, но и второстепенные ветры.
• Планировку городских улиц Витрувий рекомендует начинать с отыскания линии север-юг. Для этого в центре будущего города на ровной площадке необходимо установить гномон, или указатель тени. Около пяти часов утра надлежит отметить точку, которой достигнет конец тени, и, придав циркулю раствор, равный длине отбрасываемой гномоном тени, описать окружность с центром, совпадающим с основанием тени. В полдень, когда тень гномона снова начнет расти, необходимо внимательно следить за ней и отметить точку, в которой тень снова коснется окружности. Разделив пополам угол между утренним и полуденным положением тени, мы получим направление прямой север-юг, проходящей через основание гномона.
• Следуя наставлениям Витрувия, разделим окружность на 16 частей и, приняв прямую север-юг за ось симметрии (разумеется, рекомендации Витрувия мы воспроизведем не дословно), разобьем круг на 8 равных секторов. Каждому из главных ветров соответствует ^{1/_{8 круга.}}
• Витрувий предполагает, что его читатели знают, как разделить угол пополам и, следовательно, при повторном делении получить четвертую, восьмую и, наконец, шестнадцатую часть исходного угла. Посмотрим, как Витрувий делает это.
• Возьмем окружность с центром в точке A (рис. 2). Прямая, проходящая через центр окружности, - диаметр окружности – делит ее пополам. Пусть точки E и F – концы диаметра. Поместив острие одной ножки циркуля в точку E и придав ему раствор, равный отрезку EF, проведем новую окружность. Затем, поместив острие одной ножки циркуля в точку F и придав ему раствор, равный отрезку EF, проведем третью окружность. Пусть P и Q – точки пересечения двух последних окружностей. Тогда прямая PQ проходит через центр исходной окружности и делит пополам каждую из полуокружностей, на которые диаметр EF разбивает исходную окружность. Условимся считать, что приведенное выше построение правильно.
• Предположим, что полуокружность, построенная на отрезке EF как на диаметре, с центром в точке А разделена пополам в точке R и требуется разделить пополам дугу RF. Выполним построение, аналогичное приведенному выше. Поместив острие одной ножки циркуля в точку R и придав ему раствор RF, опишем окружность. Затем поместим острие ножки циркуля в точку F и опишем окружность тем же радиусом RF. Прямая, проходящая через точки пересечения этих двух окружностей, делит пополам дугу RF. Если середину дуги RF обозначить T, то дуга TF составляет ^{1/_{8 исходной окружности с центром в точке А. Разделив дугу TF пополам, мы получим требуемую 1/16: если U – точка, делящая пополам дугу TF, то дуга UF так же, как и дуга UT, составляет 1/16 исходной окружности.}}
• Предположим теперь, что раствор циркуля можно фиксировать. Поместив острие одной ножки циркуля в точку U, а острие другой – в точку F, зафиксируем раствор, равный отрезку UF. Отложив затем по обе стороны от линии север-юг по ^{1/_{16 окружности, мы получим сектор, в котором дует ветер Австр (рис. 1).}}
• Поскольку мы заговорили о фиксации раствора нашего циркуля, следует заметить, что окружность данного радиуса AB с центром О можно построить и в том случае, если мы располагаем лишь «закрывающимся» циркулем, не позволяющим переносить отрезок заданной длины с одной части бумажного листа на другую. Древнегреческие геометры, по-видимому, пользовались циркулем без шарнирного соединения ножек, что не позволяло фиксировать его раствор. Стоило лишь оторвать такой циркуль от подноса с песком, на котором производились геометрические построения, как его ножки смыкались.
• Пусть O, A и B – заданные точки (рис. 3). Требуется построить окружность с центром О и радиусом АВ, не пользуясь при этом циркулем (или каким-нибудь другим инструментом), позволяющим переносить отрезок заданной длины. Прежде всего проведем окружность с центром О и радиусом ОА и другую окружность с центром А и радиусом АО. Предположим, что эти окружности пересекаются в точках D и E. Проведем затем окружности с центром D и радиусом DB и с центром Е и радиусом ЕВ, пересекающиеся в точке F. Наконец, проведём окружность с центром О и радиусом ОF. Это и есть та окружность, которую требовалось построить – с центром О и радиусом, равным отрезку АВ. Иначе говоря, АВ=ОF.
• Если провести окружность с центром А и радиусом АВ, то соображения симметрии в современном понимании позволяют доказать правильность приведенного выше построения, поскольку весь чертеж в целом симметричен относительно прямой DE.
• Мы упомянули о «закрывающемся» циркуле потому, что в «Началах» Евклида – великой книге по геометрии циркуль с фиксированным раствором никогда не используется для перенесения отрезков или дуг на окружности. Из доказанного нам следует, что современный циркуль не обладает никакими преимуществами перед циркулем Евклида.
• В своем сочинении Витрувий отводит много места (хотя и не так много, как Леонардо да Винчи в своих записных книжках) пропорциям человеческого тела. Эта тема вплетается в последующие рассуждения о симметрии. Витрувий считает, что симметрия возникает из пропорции – соответствия между размерами частей и целого и размерами некоторой части, выбранной за эталон, или модуль.
• Приведем те пропорции, о которых говорит в своем сочинении Витрувий. По его мнению, природа сотворила человеческое тело так, что лицо от подбородка до верхней границы лба и самых корней волос составляет ^{1/_{10 всей длины тела; такую же долю составляет длина ладони от запястья до кончика среднего пальца; голова от подбородка до макушки составляет 1/8 от верхней части груди вместе с шеей до корней волос – 1/16 и от середины груди до макушки – ¼ всей длины тела.}}
• Витрувий отмечает, что отдельные части человеческого тела с незапамятных времен служили основой производимых измерений. Очевидным примером мог бы служить фут (стопа). Некоторые из таких мер (пядь, палец, локоть) сегодня устарели.
• Витрувий часто ссылается на пифагорейцев, учеников и последователей Пифагора. Предполагает, что Пифагор жил с 572 по 490 г. до н. э., а пифагорейское братство процветало до 415 г. н. э. По утверждению Витрувия, Пифагор и его последователи считали наиболее удобным излагать свое учение в книгах по системе кубов. Они установили, что куб состоит из 216 строк и что каждое сочинение не должно превышать трех кубов. Если куб бросить на плоскость, то он встанет на одну из своих граней и будет устойчиво стоять подобно игральной кости на доске стола.
• Нетрудно видеть, что 216=6*6*6, но это разложение ничего не говорит о том, каким образом пифагорейцы связали названное число с кубом. Характерное для мышления пифагорейцев представление о том, что сущность Вселенной можно познать, изучая свойства геометрических тел, и ныне не следует считать отмершим.
• Известно, что Платон очень интересовался геометрией, и Витрувий приводит одну из его теорем – теорему об удвоении квадрата. Предположим, что задан квадрат со стороной в 10 футов и, следовательно, с площадью в 100 квадратных футов. Как построить квадрат площадью в 20 квадратных футов? Способ построения такого квадрата показан на рис. 5, а его правильность очевидна, поскольку новый квадрат состоит из четырех треугольников, каждый из которых конгруэнтен (равен) треугольнику, составляющему половину исходного квадрата.
• Витрувий замечает, что эту задачу нельзя решить арифметически и ссылается на открытие, вызвавшее кризис в развитии математической мысли Греции: если стороны квадрата имеют единичную длину, то длина его диагонали не представима в виде рационального числа, то есть в виде дроби p/q, где p и q – целые числа. По теореме Пифагора, квадрат, построенный на диагонали, равен сумме квадратов, построенных на единичных сторонах, поэтому (диагональ)^{2=2 и длина диагонали составляет  единиц. Весьма просто доказать, что число  не может быть рациональным, а других чисел греки в то время не знали.}
• В древнеримской и римской архитектуре встречались колонны трех типов: коринфские, ионические и дорические, и Витрувий подробно излагает их историю и детальное устройство. Рассмотрим метод приближенного построения спиралей, встречающихся в ионическом ордене. Этот метод предложен Дюрером в его труде по практической геометрии. Спираль при таком построении состоит из последовательности дуг окружностей (рис. 9). Точка P_{1 служит центром дуги в четверть окружности, точка P2 – центром следующей дуги, точка P3 – дуги, сопрягающейся с предыдущей, и так далее. Каждая дуга равна четверти окружности, а радиусы дуг могут убывать по любому закону.}
• 2.Применение теории пропорций в живописи и архитектуре
• В трактате «Германская геометрия» (1484 г.) изложен способ приближенного построения правильного пятиугольника при помощи заржавевшего циркуля, и поныне позволяющий достичь желаемого результата быстрее, чем другие используемые на практике методы построения.
• Пусть AB – фиксированный раствор циркуля. Проведем радиусом AB  две окружности с центрами в точках A и B. Пусть С и D – точки пересечения этих окружностей (рис. 18). Тогда, как известно, AB=AD=BD. Проведем далее окружность с центром в точке D радиусом DA. Эта окружность проходит через точку B и пересекает отрезок CD в точке E, а окружности с центрами А и В – в точках F и G. Проведем прямую FE, пересекающую окружность с центром В в точке Н, и прямую GE, пересекающую окружность с центром А в точке I. Точка K пересечения окружностей с центрами H и I дает недостающую пятую вершину правильного пятиугольника.
• Дюрер не обращает в данном случае внимание читателей на приближенный характер построения. В действительности же при помощи геометрии можно показать, что угол ABH равен не 108˚, а 108˚21’58’’, угол BAI равен углу ABH, каждый из углов BHK и AIK – чуть больше 107˚ и угол HKI – чуть больше 109˚. Столь малые отличия при черчении обнаружить практически невозможно.
• Дюрер приводит также теоретически точный способ построения правильного пятиугольника, заимствованный из великого сочинения Птолемея «Альмагест», посвященного астрономии.
• Пусть О – центр окружности (рис.19), А – точка на окружности и E – середина отрезка OA. Перпендикуляр к радиусу OA, восставленный в точке O, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на прямой AO отрезок EF=ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна длине отрезка DF. Кроме того, длина отрезка OF равна длине стороны вписанного в ту же окружность правильного десятиугольника, и если отрезок EG перпендикулярен радиусу OA, то по утверждению Дюрера его длину можно приближенно принять за длину вписанного в окружность правильного семиугольника.
• Средневековые способы построения правильных многоугольников носили приближенный характер, но были (и не могли не быть) простыми: предпочтение отдавалось способам построения, не требующим даже изменять раствор циркуля, поскольку циркуль не был снабжен устройством, позволяющим восстанавливать после изменения первоначальный раствор. Леонардо да Винчи также много писал о многоугольниках, но именно Дюрер, а не Леонардо передал средневековые способы построения потомкам. Дюрер, конечно, был знаком с «Началами» Евклида, но не привел в «Руководстве» предложенный Евклидом способ построения правильного пятиугольника, теоретически точный, как и все евклидовы построения. Евклид не пытается разделить заданную дугу окружности на три равные части, и Дюрер знал, хотя доказательство, носящее алгебраический характер, было найдено лишь в XIX в., что эта задача неразрешима. Гаусс был первым, кто выяснил, какие правильные многоугольники можно построить при помощи циркуля и линейки. Дюрер приводит в своем «Руководстве» приближенные построения, позволяющие осуществить трисекцию произвольной дуги окружности.
• Предложенное Евклидом построение правильного пятиугольника включает в себя деление отрезка прямой в среднем и крайнем отношении, названном впоследствии золотым сечением и привлекавшим к себе внимание художников и архитекторов на протяжении нескольких столетий. Точка B делит отрезок ABE в среднем и крайнем отношении или образует его золотое сечение, если отношение большей части отрезка к меньшей равно отношению всего отрезка к большей части.
• Записанное в виде равенства отношений золотое сечение имеет вид
• AB/BE=AE/AB.
• Если положить AB=a, а BE=a/µ так, чтобы золотое отношение было равно AB/BE=µ, то получается соотношение
• µ=1+1/µ.
• Следовательно, µ удовлетворяет квадратному уравнению
• µ^2-µ-1=0.
• Это уравнение имеет один положительный корень
• Заметим, что , так как .
• Если построить квадрат со стороной AB (рис. 20), найти середину M отрезка AB и провести дугу окружности радиусом MC с центром в точке M до пересечения с продолжением стороны AB в точке E, то точка B разделит отрезок AE в среднем и крайнем отношении.
• Чтобы убедиться в этом, заметим, что по теореме Пифагора
• в силу чего
• .
• Прямоугольник AEFD со сторонами AE=µAD называется золотым прямоугольником. Четырехугольник ABCD – квадрат. Нетрудно видеть, что прямоугольник BEFC также золотой, поскольку BC=a=µBE.
• Рассмотрим теперь, как Евклид использует золотое сечение для того, чтобы построить угол 72˚ - именно под таким углом видна сторона правильного пятиугольника из центра описанной вокруг него окружности. Начнем с отрезка ABE, разделенного в среднем и крайнем отношении точкой B (рис. 21). Проведем далее дуги окружностей и центрами в точках B и E и радиусом AB, пересекающиеся в точке C. Чуть нижу мы докажем, что AC=AE, а пока примем это на веру.
• Итак, пусть AC=AE. Обозначим через α равные углы EBC и CEB. Так как AC=AE, то угол ACE также равен α. Теорема о том, что сумма углов треугольника равна 180˚, позволяет найти угол BCE: он равен 180˚-2α, а угол EAC равен 3α-180˚. Но тогда угол ABC равен 180˚-α, и , суммируя углы треугольника ABC, мы получаем
• ,
• откуда
• 5α=360˚ и α=72˚.
• Итак, каждый из углов при основании треугольника BEC вдвое больше угла при вершине, равного 36˚. Следовательно, чтобы построить правильный пятиугольник, необходимо лишь провести любую окружность с центром в точке E, пересекающую сторону EC в точке X и сторону EB в точке Y: отрезок XY служит одной из сторон вписанного в окружность правильного пятиугольника; обойдя вокруг всей окружности, можно найти и все остальные стороны.
• Докажем теперь, что AC=AE. Предположим, что вершина C соединена отрезком прямой с серединой N отрезка BE. Заметим, что поскольку CB=CE, то угол CNE прямой. По теореме Пифагора
• CN^{2=a2-(a/2µ)2=a2(1-1/4µ2)}
• Чтобы найти отрезок AC, применим теперь теорему Пифагора к треугольнику ACN:
• AC^{2=(AB+BN)2+CN2.}
• Отсюда имеем
• (AC/a)^{2=(1+1/2µ)2+(1-1/4µ2)=2+1/µ=1+µ=µ2}
• ^{(выполняя преобразования, мы воспользовались соотношением µ=1/µ+1, эквивалентным соотношению 1+µ=µ2). Итак, AC=µa=µAB=AE, что и требовалось доказать. Заметим, что нам понадобилось не численное значение , а лишь определяющее свойство золотого сечения µ. Именно оно позволило упростить выкладки.}
• В эпоху Возрождения было распространено мнение о том, что наиболее приятны для созерцания те прямоугольники, стороны которых относятся как частоты в гармоничном созвучии. Эти воззрения ошибочно приписывали Витрувию. Древние греки, хотя и были людьми весьма образованными, но не оставили никаких описаний системы пропорций, которой они придерживались в архитектуре. Единственное дошедшее до нас документальное свидетельство относится к боде позднему периоду и принадлежит Витрувию. В XVI в. математик Кардано приписал Витрувию теорию архитектурных пропорций, основанную на пропорциях музыкальных.
• Архитектор эпохи Возрождения Альберти в своем сочинении «Десять книг о зодчестве» писал:
• «…Вновь и вновь следует повторить изречение Пифагора: «Нет сомнений, что природа во всем остается себе подобной. Дело обстоит так: существуют числа, благодаря которым гармония звуков пленяет слух, эти же числа преисполняют и глаза, и дух чудесным наслаждением».
• Альберти использовал музыкальные пропорции для того, чтобы установить взаимосвязь между тремя измерениями: высотой, длиной и шириной, но при этом он не суммировал и не вычитал различные измерения. Музыкальная аналогия навела Альберти на мысль о том, что глазу доставляет наслаждение наблюдать пропорции, представимые в виде отношений целых чисел, а Кардано подтвердил, что такие отношения вызывают приятное ощущение, поскольку они постижимы разумом. Но при обсуждении этих вопросов в XIX в. выяснилось, что хотя октава и является одним из наиболее совершенных интервалов в музыке, однако свойственное ей отношение 2:1 (таково отношение частот звуков, образующих октаву) вряд ли приемлемо в архитектуре.
• Палладио (1518-1580), живший через сто лет после Альберти, когда пошел на спад первый порыв Возрождения, проявлял большую осторожность в выборе теоретических обоснований своих проектов. Первостепенное значение приобретали Витрувий и выводы, сделанные на основании археологических измерений памятников античности, сохранившихся до тех дней. Там, где Палладио отходил от Витрувия, он ссылается на обмеры классических зданий, но упорно избегает музыкальных аналогий и других идей Альберти, используя при определении высот сводчатых помещений лишь арифметическое, геометрическое и гармоническое средние.
• Поясним кратко, как определяются эти средние. Последовательность чисел a_{1,a2,a3,a4,… называется арифметической прогрессией, если разность между любым числом и следующим за ним постоянна:}
• a_{2-a1=a3-a2=a4-a3=….}
• Например, числа 1, 3, 5, 7, 9, … образуют арифметическую прогрессию. В любой арифметической прогрессии a_{1+a3=2a2, a2+a4=2a3, … и т. д., то есть каждое число равно полусумме соседних чисел. Каждый член арифметической прогрессии называется средним арифметическим соседних чисел, и мы получаем правило для вычисления среднего арифметического двух заданных чисел a и b:}
• среднее арифметическое = (a+b)/2.
• Если последовательность чисел a_{1, a2, a3, a4,… обладает тем свойством, что отношение любого члена последовательности к предыдущему постоянно:}
• a_{2/a1=a3/a2=a4/a3…,}
• то такая последовательность называется геометрической прогрессией. В этом случае a_{1a3=(a2)^{2, a2a4=(a3)2, …, поэтому каждый член геометрической прогрессии равен квадратному корню из произведения соседних чисел, и среднее геометрическое двух заданных чисел a и b вычисляется по формуле}}
• (среднее геометрическое)^2=ab.
• Наконец, последовательность чисел a_{1, a2, a3, a4,… называется гармонической прогрессией, если последовательность чисел, обратных данным,}
• 1/a_{1, 1/a2, 1/a3, 1/a4, …}
• образует арифметическую прогрессию. Любой член такой последовательности называется средним гармоническим двух соседних членов, поэтому, для того чтобы найти среднее гармоническое двух заданных чисел a и b, мы сначала находим среднее арифметическое (1/a+1/b)/2 обратных им чисел, а затем число, обратное этому среднему. Таким образом,
• среднее гарм</