Геометрические преобразования

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ  ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Геометрическое преобразование плоскости - взаимно-однозначное отображение  этой плоскости на себя. Наиболее важными  геометрическими преобразованиями являются движения, т.е. преобразования, сохраняющие расстояние. Иначе говоря, если  - движение плоскости, то для любых двух точек  этой плоскости расстояние между точками  и  равно .

Движения связаны с  понятием равенства (конгруэнтности) фигур: две фигуры  и  плоскости а называются равными, если существует движение этой плоскости, переводящее первую фигуру во вторую. Фактически это определение использовал еще Евклид (см. Геометрия), называвший две фигуры равными, если одну из них можно наложить на другую так, чтобы они совпали всеми своими точками; под наложением здесь следует понимать перекладывание фигуры как твердого целого (без изменения расстояний), т.е. движение.

Примерами движений плоскости  являются осевая и центральная симметрия, параллельный перенос, поворот. Как  пример, напомним определение параллельного  переноса. Пусть   - некоторый вектор плоскости . Геометрическое преобразование, переводящее каждую точку  в такую точку  что  (рис. 1), называется параллельным переносом на вектор . Параллельный перенос является движением: если точки  и  переходят в  и , т.е. , , то , и потому .

Рис. 1

При решении геометрических задач с помощью движений часто  применяется свойство сохранения пересечения: при любом движении  пересечение фигур переходит в пересечение их образов, т.е. если  - произвольные фигуры, то фигура  переходит в результате движения  в фигуру . (Аналогичное свойство справедливо для объединения.)

Задача 1. Окружность, центр  которой принадлежит биссектрисе  угла, пересекает его стороны в  точках  и  (рис. 2). Доказать, что .

Рис. 2

Решение. Обозначим через   одну из сторон угла, а через  - круг, границей которого является рассматриваемая окружность. При симметрии  относительно биссектрисы угла луч  переходит в луч , который образует вторую сторону угла, а круг  переходит в себя: , . Согласно свойству сохранения пересечения фигура  переходит в , т. е. в . Иначе говоря, отрезок  переходит в отрезок , и потому .

Задача 2. Через точку , данную внутри угла (меньшего, чем развернутый), провести прямую, отрезок которой, заключенный между сторонами угла, делится в этой точке пополам.

Решение. Обозначим через   симметрию относительно точки , а через  и  - прямые, на которых лежат стороны угла (рис. 3). В результате симметрии  прямая  переходит в параллельную ей прямую  которая пересекает вторую сторону угла в точке . Так как , то точка , симметричная , принадлежит прямой, которая симметрична , т.е. . Таким образом, точки  и  симметричны относительно , и потому отрезок  делится в точке  пополам, т.е. прямая  - искомая.

Рис. 3

Нетрудно понять, почему в задаче 1 была применена осевая, а в задаче 2 – центральная  симметрия. Так как биссектриса  угла – его ось симметрии, то попытка  применить осевую симметрию в  задаче 1 совершенно естественна (так  же, как и применение центральной  симметрии в задаче 2, поскольку  отрезок   должен делиться в точке  пополам, т.е. искомые точки  и  должны быть симметричными относительно точки ). И в других случаях анализ условия задачи позволяет найти движение, применение которого дает решение.

Задача 3. На сторонах  и  треугольника  построены вне его квадраты  и . Доказать, что отрезок  перпендикулярен медиане  треугольника  и вдвое длиннее этой медианы.

Решение. Попытаемся применить  поворот на 90°, т. е. убедиться, что  при повороте на 90° вокруг точки   (по часовой стрелке) отрезок  перейдет в отрезок, параллельный  и имеющий вдвое большую длину. При этом повороте вектор  переходит в  (рис. 4), а вектор  в . Следовательно, вектор  переходит в , т. е. в . Но так как , то . Итак, при повороте на 90° вектор  переходит в , т.е. в вектор, равный . Отсюда вытекает, что  и .

Рис. 4

Весьма существенна связь  движений с ориентацией. На рис. 5 изображен  многоугольник  , на контуре которого задано положительное направление обхода (против часовой стрелки). При параллельном переносе получается многоугольник с тем же направлением обхода, т.е. параллельный перенос сохраняет направление обхода, или, как говорят, сохраняет ориентацию. Поворот (в частности, центральная симметрия, представляющая собой поворот на 180°) также сохраняет ориентацию (рис. 6). Напротив, осевая симметрия меняет направление обхода на противоположное (рис. 7), т.е. меняет ориентацию. Другой пример движения, меняющего ориентацию – скользящая симметрия, т.е. композиция симметрии относительно некоторой прямой  и параллельного переноса, вектор которого параллелен  (рис. 8).

Рис. 5

Рис.6

Рис. 7

Рис. 8

Французский механик и  геометр XIX в. М. Шаль сформулировал  следующую теорему: всякое сохраняющее  ориентацию движение плоскости является либо параллельным переносом, либо поворотом; всякое меняющее ориентацию движение плоскости является либо осевой, либо скользящей симметрией.

Задача 4. Доказать, что композиция двух осевых симметрий с пересекающимися  осями представляет собой поворот.

Решение. Пусть  и  - осевые симметрии, оси которых (прямые  и ) пересекаются в точке . Так как оба движения  меняют ориентацию, то их композиция  (сначала выполняется , затем ) является движением, сохраняющим ориентацию. По теореме Шаля,  есть либо параллельный перенос, либо поворот. Но так как при каждом движении  точка  неподвижна, то и при их композиции точка  остается на месте. Следовательно,  есть поворот вокруг точки . Как найти угол поворота, понятно из рис. 9: если  - угол между прямыми  и , то (поскольку точка  переводится движением  в себя, а движением  - в симметричную относительно  точку ) движение , переводящее  в , представляет собой поворот (вокруг точки ) на угол .

Рис. 9

Следующую по важности группу геометрических преобразований плоскости  составляют преобразования подобия. Наиболее простое из них – гомотетия. Напомним, что гомотетией с центром   и коэффициентом  называется геометрическое преобразование, которое произвольно взятую точку  переводит в такую точку , что  (рис. 10). Гомотетия переводит каждую прямую в параллельную ей прямую, каждую окружность снова переводит в окружность. Гомотетия сохраняет углы, а все длины увеличивает в  раз: если при гомотетии точки  переходят в , то . Из этого вытекает, что гомотетия сохраняет форму (но не размеры) фигур; если, например, , то фигура , в которую переходит фигура  при гомотетии с центром  и коэффициентом , представляет собой увеличенную копию фигуры  (рис. 10), а если  - уменьшенную копию.

Рис. 10

Поскольку при гомотетии  все длины изменяются в одинаковое число раз, отношение длин не меняется. На этом основаны различные способы оценки расстояний; например, зная длину руки и длину большого пальца и прикинув, сколько раз большой палец вытянутой руки укладывается в видимом образе предмета, можно найти отношение высоты вертикального предмета к расстоянию до него (на рис. 11 имеем , откуда, измерив , можно найти , а потому и высоту трубы, которая примерно втрое больше ).

Рис. 11

Задача 5. Построить квадрат, вписанный в данный сектор (две  вершины квадрата лежат на одном  радиусе, третья – на другом, четвертая  – на дуге сектора).

Решение. Пусть   и  (рис. 12) – два квадрата, вписанные в угол . При гомотетии с центром , переводящей точку  в , (коэффициент этой гомотетии равен ), отрезок  переходит в отрезок , а потому квадрат  переходит в квадрат  (поскольку углы, а также отношение отрезков сохраняются). Из этого вытекает, что вершины  и , лежат на одном луче, исходящем из точки . Теперь ясно, что, построив какой-нибудь квадрат , вписанный в угол , и проведя луч , мы сможем найти вершину  искомого квадрата (т.е. точку пересечения луча  с дугой  сектора), а затем достроить искомый квадрат (рис. 13).

Рис. 12

Рис. 13

Преобразование   плоскости  называется подобием с коэффициентом , если для любых точек  плоскости  расстояние между точками  и  равно . Любое подобие (как и гомотетия – частный случай подобия) сохраняет углы, а также отношение длин, т.е. сохраняет форму фигур. Однако, в отличие от гомотетии, подобие может переводить прямую  в прямую , не параллельную ей.

На рис. 14 изображены два  плана   и , одного и того же участка местности, выполненные в разных масштабах и по-разному лежащие на плоскости. Эти планы представляют собой подобные, но не гомотетичные фигуры; например, прямая  и соответствующая ей прямая  не параллельны. Чтобы получить план , исходя из плана , можно поступить так: сначала повернуть план , чтобы его стороны стали параллельными сторонам плана , а затем применить гомотетию. Иначе говоря, план , подобный , получается из  при помощи композиции движения (поворота) и гомотетии.

Рис. 14

Указанное обстоятельство является общим, т.е. всякое подобие   представляется в виде композиции , где  - движение, а  - гомотетия. Из этого ясно, что при решении задач методом подобия можно ограничиваться лишь рассмотрением гомотетии (сопровождаемой некоторым движением). Это имеет определенные удобства: вспомните, с каким напряженным вниманием отыскиваются соответственные стороны по-разному расположенных подобных треугольников при выписывании равенства отношений сторон (и с какой легкостью выписываются эти отношения для гомотетичных треугольников).

Задача 6. Стороны треугольника  связаны соотношением . Доказать, что угол  вдвое больше угла .

Решение. Пусть   - такая точка прямой , что , причем  лежит между  и  (рис. 15). Тогда треугольник  - равнобедренный, и потому ; кроме того, . При симметрии относительно биссектрисы угла  точки  и  перейдут в такие точки  и , что , ; кроме того . Равенство  можно переписать в виде

, т.е.  ,

откуда следует, что при  гомотетии с центром   и коэффициентом  точки  переходят в . Следовательно  и потому , т.е. . Так как  - внешний угол треугольника , то он равен сумме углов  и , т.е. равен удвоенному углу .

Рис. 15

В заключение рассказа о  преобразованиях подобия заметим, что они составляют группу преобразований и потому (см. Геометрия) согласно Эрлангенской программе определяют «свою» геометрию. Инвариантами этой группы (т.е. теми свойствами, которые сохраняются при всех преобразованиях подобия и изучаются в геометрии подобий) являются угол, отношение длин двух отрезков, параллельность двух прямых и т.д. Хотя длина отрезка уже не сохраняется, но в силу сохранения отношения длин в геометрии подобий можно говорить о равнобедренном треугольнике (т.е. о треугольнике, в котором отношение длин боковых сторон равно 1). Теорема о том, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, сохраняется и в геометрии подобий. Сохраняется также теорема Пифагора (в форме , где  и  - отношения длин катетов к длине гипотенузы) и т.п.

Однако не следует думать, что геометрия подобий ничем, кроме формы изложения, не отличается от евклидовой геометрии. Существуют факты, которые отличают эти две геометрии. Например, условимся говорить, что  линия   может скользить но себе, если для любых двух точек  этой линии найдется преобразование  (принадлежащее группе, задающей рассматриваемую геометрию), которое переводит линию  в себя, а точку  - в . В геометрии Евклида (т.е. в геометрии, определяемой группой движений плоскости) существуют только два типа связных линий (т.е. состоящих из одного куска), которые могут скользить по себе: прямые и окружности. А в геометрии подобий существуют линии, отличные от прямых и окружностей, которые могут скользить по себе; это – логарифмические спирали, определяемые в полярных координатах уравнением  (рис. 16).

Рис. 16

Еще один необычный факт геометрии подобий мы получим, рассматривая преобразование , где  - поворот вокруг точки  на угол , а  - гомотетия с центром  и коэффициентом . Пусть  - последовательность точек, переходящих друг в друга при преобразовании , т.е.  при любом целом  (рис. 17). Эти точки лежат на одной логарифмической спирали, причем для любого целого  угол  имеет одну и ту же величину . Последовательно соединяя эти точки, мы получим бесконечную ломаную линию , которая переводится преобразованием  в себя, причем каждая вершина  переводится в соседнюю вершину .

Рис. 17

Заметим, что рассмотренное  преобразование подобия   (его называют поворотным растяжением) имеет тесную связь с комплексными числами. Комплексное число  можно представить в виде направленного отрезка, идущего из начала координат в точку . При таком геометрическом изображении комплексные числа складываются как векторы (рис. 18). А для получения геометрической интерпретации умножения комплексных чисел удобно поворотное растяжение , рассмотренное выше. Именно, пусть  - некоторое комплексное число,  - его модуль (т.е. длина изображающего отрезка), а  - аргумент (т.е. угол наклона изображающего направленного отрезка к положительной части оси абсцисс). Число  получается из числа 1, если, во-первых, вектор, изображающий число 1, растянуть в  раз, и, во-вторых, повернуть его на угол  (рис. 19), т. е. вектор  получается из вектора 1 преобразованием , где  - гомотетия с центром в начале и коэффициентом , а  - поворот вокруг начала на угол . Итак, . Если теперь  - другое комплексное число, то при применении преобразования  (т. е. при растяжении изображающего вектора в  раз и повороте его на угол ) число  переходит в  (рис. 19). Можно сказать и иначе: треугольники на рис. 19 подобны. Это и дает геометрическую интерпретацию умножения комплексных чисел. Из сказанного ясно, что при умножении всех комплексных чисел на одно и то же комплексное число  вся плоскость комплексных чисел подвергается поворотному растяжению. В частности, для любых трех комплексных чисел  мы имеем , где  - комплексное число, модуль которого равен отношению длин векторов  и , а аргумент равен углу между этими векторами (рис. 20).

Рис. 18

Рис. 19

Рис. 20

Задача 7. На сторонах треугольника  построены вне его подобные между собой треугольники . Доказать, что точка пересечения медиан  совпадает с точкой пересечения медиан .

Решение. Обозначим через   комплексные числа, изображаемые векторами , , , , , . Тогда , , , где  - комплексное число, модуль которого равен отношению боковых сторон рассматриваемых подобных треугольников, а аргумент равен  (рис. 21). Складывая эти равенства, получаем (после очевидных упрощений):