Геометрические преобразования

.

Рис. 21

Так как   (поскольку аргумент  числа  отличен от нуля), то отсюда следует, что . Переходя к векторным обозначениям и деля на 3, получаем

,

а это и означает, что  точки пересечения медиан  и  совпадают (см. Вектор).

Расскажем коротко и о  других преобразованиях, играющих важную роль в современной геометрии. Преобразование  евклидовой плоскости называется аффинным, если оно каждую прямую переводит снова в прямую, а параллельные между собой прямые – снова в параллельные (рис. 22). Если на плоскости введена система координат, то аффинное преобразование задается линейными соотношениями, т.е. точка , в которую переходит точка , определяется формулами

,

где  (и обратно: такими формулами задается некоторое аффинное преобразование). Далее, если  - три точки плоскости, не лежащие на одной прямой, и  - три другие точки, также не лежащие на одной прямой, го существует, и притом только одно, аффинное преобразование, переводящее точки  соответственно в . Отметим, что длины и углы могут изменяться при аффинных преобразованиях. Не сохраняется (в отличие от преобразований подобия) и отношение длин отрезков. Однако отношение длин двух параллельных отрезков сохраняется при любом аффинном преобразовании. В частности, середина отрезка переходит при аффинном преобразовании снова в середину отрезка, параллелограмм переходит в параллелограмм, медиана треугольника в медиану и т. п. Круг при аффинном преобразовании переходит в эллипс, причем из отмеченных выше свойств аффинных преобразований легко следует, что середины параллельных между собой хорд эллипса лежат на одном отрезке, проходящем через центр эллипса (рис. 23).

Рис. 22

Рис. 23

Все аффинные преобразования плоскости, вместе взятые, образуют группу преобразований, и потому (см. Геометрия) они определяют некоторую геометрию. Она называется аффинной геометрией. Инвариантами этой группы (т.е. теми свойствами фигур, которые изучаются в аффинной геометрии) являются прямолинейное  расположение точек, параллельность, отношение  длин параллельных отрезков и другие свойства, получаемые из этих (например, наличие у фигуры центра симметрии). Не говоря более подробно об этой геометрии, покажем на примерах, как отмеченные выше свойства аффинных преобразований могут быть применены при решении  задач.

Задача 8. Доказать, что в  произвольной трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и  точка пересечения продолжений  боковых сторон лежат на одной  прямой.

Решение. Для равнобочной  трапеции это очевидно (так как  равнобочная трапеция симметрична  относительной прямой, проходящей через  середины оснований). Пусть теперь  - произвольная трапеция и пусть  - равнобочная трапеция с теми же длинами оснований (рис. 24). Рассмотрим аффинное преобразование, переводящее точки  соответственно в . При этом преобразовании прямые  перейдут в  (поскольку , а параллельность прямых сохраняется). Далее, так как , то точка  перейдет в  (поскольку отношение параллельных отрезков сохраняется). Иначе говоря, трапеция  перейдет в трапецию . Следовательно, прямолинейное расположение точек  сохранится, т.е. в трапеции  точки  также лежат на одной прямой.

Рис. 24

Задача 9. В треугольнике  вписан эллипс и проведены три отрезка, каждый из которых соединяет вершину и точку касания эллипса с противоположной стороной. Доказать, что эти три отрезка пересекаются в одной точке.

Решение. Пусть   - аффинное преобразование, которое переводит некоторую окружность в рассматриваемый эллипс, и пусть  - треугольник, который при этом преобразовании переходит в . Так как для вписанной окружности рассматриваемое свойство, как нетрудно доказать, справедливо (левая часть рис. 25), то оно справедливо и для вписанного эллипса (правая часть рисунка).

Рис. 25

В статье «Проективная геометрия» рассказано о том, как пополнение плоскости несобственными («бесконечно  удаленными») точками превращает ее в проективную плоскость. Геометрические преобразования проективной плоскости, которые сохраняют прямолинейное  расположение точек, называются проективными преобразованиями. Проективные преобразования задаются в координатах дробно-линейными  формулами:

                               (1)

Более подробно: если  - евклидова плоскость, в которой задана система координат, а  - проективная плоскость, получающаяся из  присоединением несобственных элементов, то любое проективное преобразование плоскости  записывается в рассматриваемых координатах формулами (1) при условии, что точка  и точка , в которую она переходит, не являются несобственными.

Проективные преобразования образуют группу преобразований проективной  плоскости. Согласно Эрлангенской программе, эта группа определяет некоторую геометрию – это и есть проективная геометрия. Инвариантами проективных преобразований (т.е. теми свойствами фигур, которые изучаются в проективной геометрии) являются прямолинейное расположение точек, ангармоническое отношение четырех точек, лежащих на одной прямой, и др.

Если   - четыре точки проективной плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и  - другие четыре точки этой плоскости, из которых также никакие три не лежат на одной прямой, то существует, и притом только одно, проективное преобразование, которое переводит  соответственно в . Пользуясь перечисленными свойствами проективных преобразований, можно решать различные геометрические задачи.

Задача 10. Доказать, что точки   на рис. 26 лежат на одной прямой.

Рис. 26

Решение. Пусть   - проективное преобразование, переводящее  и  в несобственные точки; мы получим (в евклидовой плоскости) расположение точек, показанное на рис. 26 справа. В этом случае точки , очевидно, лежат на одной прямой (на средней линии полосы между прямыми  и ). Применяя обратное преобразование  мы заключаем, что и на рис. 26 слева точки  лежат на одной прямой (поскольку при проективном преобразовании  сохраняется прямолинейное расположение точек).

Все рассмотренные выше преобразования сохраняли прямолинейное расположение точек (на евклидовой или на проективной  плоскости). Иначе говоря, система  всех прямых линий на плоскости переводится  снова в эту же систему линий. Существует интересный класс преобразований, который обладает аналогичным свойством  по отношению к другой системе  линий. Именно: рассмотрим на плоскости (евклидовой) систему, состоящую из всех прямых линий и всех окружностей. Преобразования, которые эту систему  линий переводят снова в эту  же систему, называются круговыми преобразованиями. Иначе говоря, прямая переходит при круговом преобразовании либо снова в прямую, либо в некоторую окружность (и то же справедливо для окружности). Чуть ниже мы уточним одно соглашение относительно евклидовой плоскости, которое требуется при рассмотрении круговых преобразований, но вначале рассмотрим один важный пример кругового преобразования - так называемую инверсию.

Пусть задана некоторая точка   плоскости и некоторое положительное число . Геометрическое преобразование, которое каждую отличную от  точку  плоскости переводит в такую точку  луча , что , называется инверсией с центром  и радиусом  (рис. 27). Название «радиус» инверсии объясняется тем, что каждая точка окружности с центром  и радиусом , очевидно, остается неподвижной при этом преобразовании (т. е. переходит в себя). Точки, лежащие внутри этой окружности (называемой окружностью инверсии), переходят в точки, лежащие вне ее, и наоборот. На этом основании инверсию часто называют симметрией относительно окружности. Инверсия является круговым преобразованием: каждая прямая или окружность переходит снова в прямую или окружность (рис. 28). Заметим теперь, что точка  (центр инверсии) не имеет образа при этом преобразовании, но если точка  приближается к  (не совпадая с ней), то соответствующая точка  неограниченно удаляется от . На этом основании условились считать, что на плоскости существует одна несобственная точка , и при инверсии с центром  точка  переходит в , а  переходит в . Плоскость, пополненная точкой , называется круговой плоскостью (в отличие от проективной плоскости, которая получается присоединением не одной, а бесконечно многих несобственных точек). Теперь инверсия становится взаимно-однозначным преобразованием плоскости (круговой).

Рис. 27

Рис. 28

Помимо того что инверсия переводит систему всех прямых и  окружностей снова в эту же систему, инверсия обладает еще рядом  замечательных свойств, делающих ее важным инструментом при решении  ряда геометрических задач. Основным из них является то, что инверсия сохраняет углы: если две линии  и  пересекаются под углом  (т.е. угол между касательными к этим линиям в их общей точке равен ), то образы  и  этих линий пересекаются под тем же углом . Если, в частности, окружность  ортогональна окружности инверсии, т.е. пересекает ее под прямым углом (о таких окружностях шла речь в конце статьи Лобачевского геометрия), то при инверсии эта окружность  переходит в себя (только части ее, лежащие внутри и вне окружности инверсии, меняются местами). Инверсия является важнейшим из круговых преобразований: можно доказать, что любое круговое преобразование плоскости является либо инверсией, либо подобием, либо композицией инверсии и подобия. Вместе взятые, круговые преобразования составляют группу преобразований, которая определяет на круговой плоскости своеобразную геометрию («круговую»).

Мы рассказали о наиболее важных геометрических преобразованиях  плоскости. Можно рассматривать  также геометрические преобразования трехмерного пространства, плоскости (или пространства) Лобачевского и  других геометрических объектов. Заметим, в частности, что если  - движение трехмерного пространства , переводящее плоскость  в некоторую плоскость , a  - центральное проектирование плоскости  на  из некоторой точки  (не принадлежащей плоскостям  и ), то композиция  представляет собой проективное преобразование плоскости  (поскольку и , и  переводят прямую снова в прямую). Оказывается, что в таком виде можно представить любое проективное преобразование плоскости .

Знакомство с геометрическими  преобразованиями и умение применять  их является важным элементом математической культуры.