Фрактал

Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической.

Слово «фрактал» может  употребляться не только как математический термин. Фракталом в прессе и научно-популярной литературе могут называть фигуры, обладающие какими-либо из перечисленных  ниже свойств:

• Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.
• Является самоподобной или приближённо самоподобной.
• Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

Многие объекты в природе  обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, кровеносная система и  система альвеол человека или  животных.

Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию  красоты с простотой построения при помощи компьютера.

Начиная с конца XIX века, в  математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:

• множество Кантора — нигде не плотное несчётное совершенное множество. Модифицировав процедуру, можно также получить нигде не плотное множество положительной длины.
• треугольник Серпинского («скатерть») и ковёр Серпинского — аналоги множества Кантора на плоскости.
• губка Менгера — аналог множества Кантора в трёхмерном пространстве;
• примеры Вейерштрасса и Ван дер Вардена нигде не дифференцируемой непрерывной функции.
• кривая Коха — несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке;
• кривая Пеано — непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата.
• траектория броуновской частицы также с вероятностью 1 нигде не дифференцируема. Её хаусдорфова размерность равна двум

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке (например, функция Больцано, функция Вейерштрасса, множество Кантора). Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы .

Бенуа Мандельброт родился в  Варшаве в 1924 году в семье литовских евреев. Его мать Белла Лурье была врачом, отец — Карл Мандельброт — галантерейщиком. В1936 году вся семья эмигрировала во Францию и поселилась в Париже. Здесь Мандельброт попал под влияние своего дяди Шолема Мандельбройта, известного парижского математика, члена группы математиков, известной под общим псевдонимом Николя Бурбаки.

 Но у Бенуа Мандельброта открылся необычный математический дар, который позволил ему сразу после войны стать студентом Политехнической школы Парижа. Оказалось, что у Бенуа великолепное пространственное воображение. Даже алгебраические задачи он решал геометрическим способом. Оригинальность его решений позволила ему поступить в университет.

Окончив университет, Мандельброт  переехал в США, где окончил Калифорнийский технологический институт. По возвращении во Францию, он получил докторскую степень в Университете Парижа в 1952 году. В 1955 году женился на Альетт Каган (Aliette Kagan) и переехал в Женеву.

В 1958 году Мандельброт окончательно поселился в США, где приступил к работе в научно-исследовательском центре IBM в Йорктауне, поскольку IBM в то время занималась интересными Бенуа Мандельброту областями математики.

Работая в IBM, Мандельброт ушел далеко в сторону от чисто прикладных проблем компании. Он работал в  области лингвистики, теории игр, экономики, аэронавтики, географии, физиологии, астрономии, физики. Ему нравилось переключаться с одной темы на другую, изучать различные направления.

Исследуя экономику, Мандельброт  обнаружил, что произвольные внешне колебания цены могут следовать  скрытому математическому порядку  во времени, который не описывается  стандартными кривыми.

Бенуа Мандельброт занялся изучением  статистики цен на хлопок за большой период времени (более ста лет). Колебания цен в течение дня казались случайными, но Мандельброт смог выяснить тенденцию их изменения. Он проследил симметрию в длительных колебаниях цены и колебаниях кратковременных. Это открытие оказалось неожиданностью для экономистов.

По сути, Бенуа Мандельброт применил для решения этой проблемы зачатки  своего рекурсивного (фрактального) метода.

Понятие «фрактал» придумал сам Бенуа Мандельброт (от лат. fractus, означающего «сломанный, разбитый»).

Умер 14 октября 2010 года в Кембридже (Массачусетс, США), в возрасте 85 лет, по сообщению жены, от рака поджелудочной железы.

Рекурсивная процедура  получения фрактальных кривых

Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены четыре первых шага этой процедуры для кривой Коха.

Примерами таких кривых служат:

• кривая Коха (снежинка Коха),
• кривая Леви,
• кривая Минковского,
• Кривая Гильберта,
• Ломаная (кривая) дракона (Фрактал Хартера-Хейтуэя),
• кривая Пеано.

С помощью похожей процедуры  получается дерево Пифагора.

Т квадрат 

Всё начинается с фигуры в виде буквы Н, у которой вертикальные и горизонтальные отрезки равны. Затем к каждому из 4 концов фигуры пририсовывается ее копия, уменьшенная в два раза. К каждому концу (их уже 16) пририсовывается копия буквы Н, уменьшенная уже в 4 раза. И так далее. В пределе получится фрактал, который визуально почти заполняет некоторый квадрат. Н-фрактал всюду плотен в нём. То есть в любой окрестности любой точки квадрата найдутся точки фрактала. Очень похоже на то, что происходит с Т-квадратом. Это не случайно, ведь, если присмотреться, видно, что каждая буква Н содержится в своем маленьком квадратике, который был дорисован на таком же шаге.

Можно сказать (и доказать), что Н-фрактал заполняет свой квадрат (англ. space-filling curve). Поэтому его фрактальная размерность равна 2. Суммарная длина всех отрезков бесконечна.

Принцип построения Н-фрактала применяют при производстве электронных  микросхем: если нужно, чтобы в сложной схеме большое число элементов получило один и тот же сигнал одновременно, то их можно расположить в концах отрезков подходящей итерации Н-фрактала и соединить соответствующим образом.

 Свойство самоподобия можно математически строго выразить следующим образом. Пусть — сжимающие отображения плоскости. Рассмотрим следующее отображение на множестве всех компактных (замкнутых и ограниченных) подмножеств плоскости:

Можно показать, что  отображение  является сжимающим отображением на множестве компактов с метрикой Хаусдорфа. Следовательно, по теореме Банаха, это отображение имеет единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка и будет нашим фракталом.

Рекурсивная процедура  получения фрактальных кривых, описанная  выше, является частным случаем данной конструкции. В ней все отображения  — отображения подобия, а — число звеньев генератора.

Для треугольника Серпинского и отображения , , — гомотетии с центрами в вершинах правильного треугольника и коэффициентом 1/2. Легко видеть, что треугольник Серпинского переходит в себя при отображении .

В случае, когда  отображения  — преобразования подобия с коэффициентами , размерность фрактала (при некоторых дополнительных технических условиях) может быть вычислена как решение уравнения . Так, для треугольника Серпинского получаем .

По той же теореме Банаха, начав с любого компактного множества и применяя к нему итерации отображения , мы получим последовательность компактов, сходящихся (в смысле метрики Хаусдорфа) к нашему фракталу.

Для широко представленных в природе разветвленных структур, к которым относятся дельты рек, стримерные каналы иветвистые разряды молний, предложены три независимых метода измерения фрактальнойразмерности D. Рост фрактальных объектов, к которым относятся и рассматриваемые структуры, описываются размерностью блуждания h. Предложенная в статье фрактальная производная позволяет выразить величину h через фрактальную размерность D соотношением h=2(D-1). то соотношение верно только для разветвленных структур и проверено для упомянутых выше объектов. Мы обратим внимание на весьма обширный класс природных объектов, которые можно назвать разветвленными структурами. Кним относятся дельты рек, стримерные каналы и ветвистые молнии. Все перечисленные объекты являются фрактальными. Одним из удивительных свойств является их масштабная инвариантность или самоподобие. В каком бы масштабе их не наблюдали, какой бы участок не выделяли, мы будем видеть все те же разветвленные структуры. Е. Федер в книгезаметил, что “… остается неясным вопрос, как ввести определение фрактальной размерности системы рек. Геометрия потоков и рек несомненно требует дальнейшего исследования”. В статье будут описаны три метода измерения, которые дадут согласующие между собой результаты. Для решения поставленной задачи введем математическую формулировку масштабной инвариантности и определим фрактальные интегралы и дифференциалы. Первый метод измерения фрактальной размерности основывается на подсчете длины L всех ветвлений в зависимости от масштаба измерения χ . Согласно фрактальной геометрии, такая зависимость дается законом Мандельброта – Ричардсона:

L=CηX^1-D .Здесь D – фрактальная размерность рассматриваемой разветвленнойструктуры, Cη- типичный во фрактальной геометрии неопределенный множитель. Данный метод отличается своей трудоемкостью и большим объемом вычислительной работы. В настоящее время нет теории, которая описывала бы развитие ветвлений и позволяла бы рассчитывать их фрактальную размерность. Об этом прямо сказано в Федер Е. Фракталы , а также обращается внимание в . Поэтому актуальна разработка других,не зависимых от формулы Федер Е. Фракталы , методов измерения фрактальной размерности. Далее в статье изложим два других метода, отличных от первого. Один из них, который будем называть вторым методом, можно назватькластерным. Третий метод основывается наразмерности блуждания и фрактальной производной. Как увидим, все методы дадут согласующие между собой результаты. Обратим внимание, что второй и третий методы измере-һния в вычислительном плане являются болееэкономными, по сравнению с первым, использующим формулу Федер Е. Фракталы. Самоподобие фрактальных объектов означает, что растянутую или сжатую в η раз фрактальную линию можно измерить масшта-бом, в η раз отличным от исходного. Поскольку фрактальная размерность при этом неменяется, то аналогично законуФедер Е. Фракталы , можем записать следующее выражение: ηL=Cη(ηX)^1-D.Параметр η является масштабным множителем. Пока он не конкретизирован, скобки в Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы нельзя открывать. Формулы Федер Е. Фракталы и Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. представляют собой математическую формулировку независимых аксиом фрактальной геометрии, на основе которых можно решать все известные задачи, относящиеся к новой геометрии. В качестве исторического экскурса заметим, что Евклид в своей книге “Начала” в качестве применения 39 аксиом (по Давиду Гильберту) классическойгеометрии рассмотрел 500 задач. Приступим к изложению второго, кластерного метода измерения фрактальной размерно-сти. Для этого выделим в разветвленной струк-туре замкнутую область линейного размера R. Полагая η =1/R , из условия самоподобия Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы, получаем известное из кластерной физики [Смирнов Б.М. Физика фрактальных кластеров.] соотношение: L ∼ R^D(Базелян Э.М., Райзер Ю.П. Физика молнии имолниезащиты). Множители, не содержащие линейный размер R, не выписаны. Здесь L является длинойвсех ветвлений внутри выделенной области. Меняя размер области и, делая необходимыевычисления с использованием формулы (Базелян Э.М., Райзер Ю.П. Физика молнии имолниезащиты), легко определяем фрактальную размерность. Самоподобие означает, что переход от одних масштабов к другим можно осуществлять геометрическим подобием траектории [Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика], когда положение r и время преобразуются сле-дующим образом: r r ' =ηr r, 'ht t =η . (Смирнов Б.М. Физика фрактальных кластеров.) Исключая масштабный параметр, получаемодно из краеугольных соотношений фракталь-ной геометрии:r∼1/ht (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика) Ввиду исключительной важности, степенной показатель h в Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика называют размерностью блуждания [Фракталы в физике]. Известно, что преобразования Смирнов Б.М. Физика фрактальных кластеров или соотношение (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика)позволяют анализиро-вать некоторые вопросы движения тел, не решая, фактически, уравнения движения. Аналогично, во фрактальной геометрии соотношение(Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика) позволяет описывать рост фрактальныхобъектов. Впервые закон (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика) с показателемh = 2 получил Эйнштейн при объяснении броуновского блуждания. Затем Ричардсон применил преобразования к уравнениям гидродинамики, а Колмогоров [Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса] получил закон Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М с показателем 2/3 h = . Флори, приописании полимерной цепи Flory P. Principles of Polymer Chemistry., также нашелзакон Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика с размерностью 5/3 h = (для трехмерного случая). Мы привели известные и, повидимому, пока единственные случаи теоретического вычисления размерности блуждания. Фрактальная геометрия должна давать возможность связывать размерность блуждания сфрактальной размерностью. Так, для случаяблуждания вдоль фрактальной линии, Мандельброт в Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. установил, что h =D ; вывод этого соотношения дан также в Крылов С.С., Любчич В.А. “Масштабная зави-симость кажущегося сопротивления и фрактальная структура железистых кварцитов». Для полимерной цепи Пьетронеро [Фракталы в физике] установил, что h=1+. (Фракталы в физике) Это же соотношение можно получить издругих соображений, строя функцию Лагранжа в переменных “линейный размер – время” и предполагаяскейлинговое поведение при масштабном преобразовании потен-циальной энергии, ответственной за запуты-вание полимерной цепи. Далее покажем, какую связь имеют размерность блуждания ифрактальная размерность для разветвленныхструктур. Этим самым будет развит третий, наиболее экономный, метод измерения фрак-тальной размерности. Для изложения этогометода необходимо ввести фрактальную производную. По своему смыслу длина есть сумма всех приложенных к кривой масштабов, т.е. L =∑χ . Аналогично определению обычногоинтеграла, определим фрактальный интегралследующим выражением: ∑χ=∫xdDx Обратим внимание, что индекс D, указывающий на фрактальность, пишется снизу символа дифференцирования. Сравнивая Richardson L.F сформулой Мандельброта – Ричардсона, получаем правило фрактального интегрированиядля линейных функций: ∫xdDx= Cηx^1-D.Его обобщение [Балханов В.К. Введение в теорию фрактального исчисления] на степенные функцииследующее: ∫x^dDx=Cη x^n-D.Считая, как это принято, дифференцирова-ние обратной операции интегрирования, опре-делим фрактальную производную следующимсоотношением:

Так, для степенной функции  получаем: (8) Здесь мы небудем приводить очевидные соображения отличия фрактальных интегралов и дифференциалов от дробного интегродифференциального исчисления [Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения]. Укажем только, что во фрактальной геометрии наличествует неопределенный множитель Cη, отсутствующий при дробном интегрировании и дифференцировании. Обычно геометрическим образом производной служит касательная к некоторой линии. Однако фрактальная кривая изломана в каждойточке и не имеет касательных, поэтому необходима другая наглядная картина. Такое наглядное построение существует и состоитв следующем. Взяв производную от площади круга, мы получаем длину окружности. Таким образом, производная “вырезала” внутреннюю часть объекта, оставив только границу с внешней областью. Фрактальная производная аналогично “вырезает” внутреннюю часть ветвящихся структур, оставляя только области пересечения ветвлений с внешней частью пространства, в которую вложена сама структура, рис. 1. “Объем” L разветвленных структур дается формулой (Базелян Э.М., Райзер Ю.П. Физика молнии имолниезащиты).Фрактальная производная от L даст число пересечений ветвлений с границей области, а именно  где мы использовали правило Колмогоров А.Н. “Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса” . Здесь введеннормировочный множитель , представ-ляющий собой единственную размерную величину. Со временем число ветвлений увеличивается и можно считать величины N на t пропорциональными друг другу. Тогда из Flory P. Principles of Polymer Chemistry. следует соотношение с показателем h=2(D-1) .(10) Использование результата структура железистых кварцитов С.С., Любчич В.А. Масштабная зави-симость кажущегося сопротивления и фрактальная структура железистых кварцитов ”состоит вследующем. В разветвленной структуре выделяем замкнутую область и производим подсчет числа пересечений ветвлений с границей области. Эти измерения позволяют найти величину h, а вместе с нею, согласно Крылов С.С., Любчич В.А.”Масштабная зависимость  кажущегося сопротивления и фрактальна структура железистых кварцитов”, и фрктальную размерность. Вряд ли целесообразно в теоретической статье, какой является данная работа, приво-дить подробности измерений, они изложеныв (Балханов В.К., Башкуев Ю.Б. Фрактальная размерность руслового режима дельты Селенги, Балханов В.К., Башкуев Ю.Б. Определение фрактальной размерности грозового разряда). Дополнительный материал, используемый при измерении фрактальной размерности стримерных каналов, взят из Носков М.Д., Малиновский А.С., Закк М., Шваб А.Й. “Моделирование роста дендритов и частичных разрядов в эпоксидной смоле”,. Здесь приведем только результаты, относящиеся к фрактальной размерности иразмерности блуждания. Так, для дельты рекСеленга и Волга соответственно: Dc=1.38 ± 0.01и Hc=0.76 ± 0.01;Dv=1.72 ±0.02  и Hv=1.44 ± 0.02.Для стримерных каналов, рассмотренных в М.Д., Малиновский А.С., Закк М., Шваб А.Й. “Моделирование роста дендритов и частичных разрядов в эпоксидной смоле” , Попов Н.А. “Исследование пространственной структуры ветвящихся стримерных каналов коронного разряда”.D =1.5 и h=1.01, для случая, описанных в Попов Н.А. “Исследование пространственной структуры ветвящихся стримерных каналов коронного разряда”: D =1.59 и h =1.18. Для ветвистого разряда молнии D =1.74 и h =1. 48. Таким образом,мы расмотрали задачаопределения фрактальной размерности разветвленных структур. Для измерения размерности предложены три метода, которые длядельты рек, стримерных каналов и ветвистыхмолний дали согласующие между собой результаты. Использование фрактальной производной позволило установить связь размерности блуждания с фрактальной размерностью.Следующей задачей может стать построение теории разветвленных структур.