Автор работы: Пользователь скрыл имя, 12 Марта 2013 в 22:37, лекция
Работа содержит подробный разбор задач на тему "Геометрия"
ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО
Определение: Евклидово векторное пространство - конечномерное векторное пространство V с положительно определенным скалярным произведением.
Определение: Аффинное пространство A(V) называется евклидовым, если евклидовым является векторное пространство V, связанное с аффинным.
Определение: Аффинный репер называется ортонормированным, если базис ортонормированный. Координаты точек в ортонормированном репере называются декартовыми.
Определение: Расстоянием между точками А и В в евклидовом пространстве называют число , т.е. длину вектора . Очевидно, что .
Теорема 1. В евклидовом пространстве расстояние между точками и вычисляется по формуле:
Доказательство: . По определению координат точки . Известно, что в евклидовом векторном пространстве длина вектора равна .
Теорема 2. В евклидовом пространстве имеет место теорема Пифагора и теорема, обратная к ней.
Доказательство:
1) Пусть ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C, т.е. .
Известно, что , т.е. . Возведем обе части в квадрат . Отсюда , т.е. .
2) Пусть в треугольнике ABC выполняется . Следовательно, . Но , т.е. . Отсюда . Итак, , т.е. ABC - прямоугольный треугольник.
Теорема 3. В евклидовом пространстве в общем уравнении плоскости коэффициенты при неизвестных являются координатами векторов некоторого базиса ортогонального дополнения к направляющему пространству плоскости.
Доказательство: Пусть R - некоторый ортонормированный репер, - фиксированная точка пространства, .
Пусть - подпространство, порожденное линейно-независимой системой векторов . Рассмотрим плоскость a, проходящую через точку перпендикулярно подпространству .
Пусть M - текущая точка плоскости a, .
Тогда .
Пусть в репере R векторы базиса имеют координаты: .
Так как плоскость a перпендикулярна подпространству , то для всех i (i = 1,…,n-k).
Получим систему уравнений:
После преобразований:
Теорема доказана.
Определение: Ортогональной проекцией точки P на плоскость называется точка плоскости a, такая, что .
Теорема 4. Если в некотором репере R гиперплоскость a задана уравнением , точка , то расстояние от точки P до гиперплоскости a можно вычислить по формуле:
Доказательство: Пусть - ортогональная проекция точки P на гиперплоскость a. Тогда коллинеарен нормальному вектору .
Известно, что , т.е. , следовательно, теорема верна.