Что изучает геометрия?

Вторая сторона дела заключается в том, что в цепи уравнений и алгебраических выкладок теряются наглядность и пространственная интуиция; этот мощный рычаг синтетической геометрии здесь совершенно отказывается служить. К этому присоединялось то обстоятельство, что некоторые части алгебры и анализа не были еще достаточно обоснованы и содержали противоречия в самих себе. Эти противоречия вызывали не только сомнения, но и прямое раздражение у тех, кому неотчетливость мысли невыносима; а математику, привыкшему к строгости логической мысли, такое умонастроение было особенно тягостно. Выдающийся ученик Монжа Карно считал, что даже учение об отрицательных числах, играющее в методе координат такую важную роль, полно противоречий; он требовал освобождения геометрии от «иероглифов анализа». Стремление к преодолению возникших таким образом противоречий привело и к возрождению чисто геометрических методов.

Этот процесс развертывался в различных направлениях; наиболее плодотворный путь был связан с методами изобразительной геометрии. Его исходные пункты коренятся еще в исследованиях Менелая.

При всем том значении, которое синтетические методы геометрии получили в XIX в., не следует думать, что они вытеснили аналитические приемы. Напротив, аналитическая геометрия продолжала широко развиваться в самых разнообразных направлениях. Прежде всего ответвляется алгебраическая геометрия, т. е. учение об алгебраических кривых, алгебраических поверхностях и их пересечениях. Чрезвычайно углубленные исследования в этом направлении развертываются по трем путям.

Первый путь через развитие методов аналитической геометрии, применявшихся к исследованию кривых 2-го порядка, ведет к кривым 3, 4, 5, 6-го порядка как плоским, так и пространственным. По различным основаниям устанавливается их классификация, строятся их эпюры (в случае пространственных кривых), исследуется их форма. Относящиеся сюда результаты чрезвычайно многообразны и дифференцированы.

Второй путь ведет свое начало главным образом от Плюкера и характеризуется тем, что в нем ставится задача не исследовать отдельные алгебраические кривые и поверхности, а разыскать общие средства для геометрической интерпретации алгебраических уравнений.

Третий путь представляет собой наиболее тесное объединение геометрии с алгеброй и теорией функций. Если алгебраическая кривая выражается уравнением f(x, у)=0 в рациональном виде, то у представляет собой то, что мы называем алгебраической функцией от х. Отсюда ясно, что общая теория алгебраических кривых и теория алгебраических, функций представляет собой одно целое: первая представляет собой интерпретацию второй с точки зрения Плюкера, вторая представляет собой алгебраическое выражение первой с точки зрения Штейнера. В дальнейшем этот плодотворный путь ведет от Якоби, через Римапа и Гессе к современной теории функций комплексного переменного; он дал те приложения геометрии к теории функций, которые Курант объединил под общим названием геометрической теории функций.

Во всех областях математики влияние геометрии XIX в. очень сильно. В работах Минковского оно проникло даже в такую область, как теория чисел, являвшуюся цитаделью арифметических и алгебраических методов. Некоторые математики, в особенности Шаль, утверждали, что алгебраи-зация геометрии XVIII в. сменилась в XIX в. геометризацией алгебры, но геометризацией несравненно более совершенной, нежели это имело место в эллинскую эпоху. Вряд ли, однако, это так. Справедливее сказать, что доминирующая роль, которую аналитическая геометрия играла в период от Декарта до Монжа, уступила место тесному и глубокому объединению аналитических и геометрических методов.

 

Неевклидовая геометрия

 

Но многовековые попытки доказательства пятого постулата Евклида привели в конце концов к появлению новой геометрии, отличающейся от евклидовой тем, что в ней V постулат не выполняется. Эта геометрия теперь называется неевклидовой, а в России носит имя Лобачевского, который впервые опубликовал работу с ее изложением.

И одной из предпосылок геометрических открытий Н. И. Лобачевского (1792-1856) был как раз его материалистический подход к проблемам познания. Лобачевский Он был твердо уверен в объективном и не зависящем от человеческого сознания существовании материального мира и в возможности его познания. В речи «О важнейших предметах воспитания» (Казань, 1828) Лобачевский сочувственно приводит слова Ф. Бэкона: «оставьте трудиться напрасно, стараясь извлечь из одного разума всю мудрость; спрашивайте природу, она хранит все истины и на все вопросы ваши будет отвечать вам непременно и удовлетворительно». В своем сочинении «О началах геометрии», являющемся первой публикацией открытой им геометрии, Лобачевский писал: «первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука, должны быть ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда только они могут служить прочным и достаточным основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами; врожденным – не должно верить». Тем самым Лобачевский отвергал идею об априорном характере геометрических понятий, поддерживавшуюся И. Кантом.

Первые попытки Лобачевского доказать пятый постулат относятся к 1823 году. К 1826 году он пришел к убеждению в том, что V постулат не зависит от остальных аксиом геометрии Евклида и 11(23) февраля 1826 года сделал на заседании факультета казанского университета доклад «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных», в котором были изложены начала открытой им «воображаемой геометрии», как он называл систему, позднее получившую название неевклидовой геометрии. Доклад 1826г. вошел в состав первой публикации Лобачевского по неевклидовой геометрии – статьи «О началах геометрии», напечатанной в журнале Казанского университета «Казанский вестник» в 1829-1820гг. дальнейшему развитию и приложениям открытой им геометрии были посвящены мемуары «Воображаемая геометрия», «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» и «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных», опубликованные в «Ученых записках» соответственно в 1835, 1836 и 1835-1838 гг. Переработанный текст «Воображаемой геометрии» появился во французском переводе в Берлине, там же в 1840г. вышли отдельной книгой на немецком языке «Геометрические исследования по теории параллельных линий» Лобачевского. Наконец, в 1855 и 1856 гг. он издал в Казани на русском и французском языках «Пангеометрию».

Высоко оценил «Геометрические исследования» Гаусс, который провел Лобачевского (1842) в члены-корреспонденты Геттингенского ученого общества, бывшего по существу Академией наук ганноверского королевства. Однако в печати в оценкой новой геометрической системы Гаусс не выступил.

 

Исследования Гаусса по неевклидовой геометрии

 

Высокая оценка гауссом открытия Лобачевского была связана с тем, что Гаусс, еще с 90-х годов XVIII в. занимавшийся теорией параллельности линий ,пришел к тем же выводам, что и Лобачевский. Свои взгляды по этому вопросу Гаусс не публиковал, они сохранились только в его черновых записках и в немногих письмам к друзьям. В 1818 г. в письме к австрийскому астроному Герлингу (1788-1864) он писал: «Я радуюсь, что вы имеете мужество высказаться так, как если бы Вы признавали ложность нашей теории параллельных, а вместе с тем и всей нашей геометрии. Но осы, гнездо которых Вы потревожите, полетят Вам на голову»; по-видимому, под «потревоженными осами» Гаусс имел в виду сторонников традиционных взглядов на геометрию, а также априоризма математических понятий.

 

Янош Бояи

 

Независимо от Лобачевского и гаусса к открытию неевклидовой геометрии пришел венгерский математик Янош Бояи (1802-1860), сын Ф. Бояи.

Когда Я. Бояи пришел к тем же идеям, что Лобачевский и гаусс, отец не понял его, однако предложил напечатать краткое изложение его открытия в виде приложения к своему руководству по математике, вышедшему в 1832г. Полное название труда Я. Бояи – «Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы Евклида (что a priori никогда решено быть не может)» и его обычно коротко называют просто «Аппендикс». Открытие Я. Бояи не было признано при его жизни; Гаусс, которому Ф. Бояи послал "Аппендикс", понял его, но никак не способствовал признанию открытия Я. Бояи.

 

Геометрия Лобачевского

 

Лобачевский сразу же поставил вопрос об экспериментальной проверке того, какая геометрия имеет место в реальном мире – «употребительная» или «воображаемая», для чего он решил измерить сумму углов треугольника, образованного двумя диаметрально противоположными положениями Земли на ее орбите и Сириусом и считая один из углов этого треугольника прямым, а другой – равным углу параллельности, Лобачевский нашел, что эта сумма отличается от на разность, меньшую ошибки угломерных инструментов в его время. «После того, - пишет Лобачевский, - можно вообразить, сколько эта разность, на которой основана наша теория параллельных, оправдывает точность всех вычислений обыкновенной геометрии и дозволяет принятые начала рассматривать как бы строго доказанными».

Это объясняет, что под «строгим доказательством теоремы о параллельных» в докладе 1826 г. Лобачевский понимал невозможность установить экспериментальным путем, какая из двух геометрий имеет место в реальном мире, откуда вытекает, что на практике можно пользоваться «употребительной геометрией», не рискуя впасть в ошибку.

Наиболее полно изложена система Лобачевского в его «Новых началах с полной теорией параллельных» (1835-1838). Изложение геометрии у Лобачевского основывается на чисто топологических свойствах прикосновения и сечения, конгруэнтность тел и равенство отрезков определяются по существу с помощью движения.

В позднейших работах Лобачевский ввел координаты и вычислил из геометрических соображений целый ряд новых определенных интегралов, которым он специально посвятил работу «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» (Учен. зап. Казан. ун-та, 1836), многие из которых были включены в дальнейшие справочники.

 

Геометрия XX века

 

Истекшие годы первой четверти XX в. не только подводили итоги всему этому обширному циклу идей, но дали новое их развитие, новые применения, которые довели их до расцвета. Прежде всего XX век принес новую ветвь геометрии. Нельзя сказать, чтобы она в этом веке возникла. Но подобно тому, как проективная геометрия создалась из разрозненных материалов, скоплявшихся с Дезарга в течение двух веков, так из многообразных отрывочных идей, рассеянных по всей истории геометрии, в XX в. складывается особая дисциплина — топология

К началу XX века относится зарождение векторно-моторного метода в начертательной геометрии, применяющегося в строительной механике, машиностроении. Этот метод разработан Б. Майором и Р. Мизесом, Б.Н. Горбуновым.

 

Геометрия Эйнштейна-Минковского

 

Геометрическая сторона построенной Эйнштейном теории относительности, особенно оттененная Минковским, заключается в том, что мироздание, не в его статическом состоянии в определенный момент, а во всей его извечной динамике, Эйнштейн и Минковский рассматривают как многообразие, элемент которого определяется четырьмя координатами.

Руководясь тем, что гравитационные силы в мире действуют всегда, тогда как другие силы (электрические, магнитные) в каждом месте то появляются, то исчезают, Эйнштейн поставил себе целью построить риманову геометрию этого четырехмерного многообразия так, чтобы охватить одной общей схемой как пространственные, так и гравитационные соотношения, царящие в мироздании. Задача заключалась, следовательно, в таком выборе основной дифференциальной формы, при которой система правильно отображает эти соотношения в бесконечно малом элементе мира и в порядке интегрирования дает возможность выразить процессы конечные во времени и пространстве.

Роль геометрии в естествознании достигла в этом замысле своего кульминационного пункта. Был поставлен вопрос о геометризации физики. Самая, возможность такой постановки вопроса достаточно показательна. Более того, возможность и тех достижений, которые Эйнштейну удалось получить, основана, если можно так выразиться, на геометризации самой римановой геометрии.

 

Заключение

 

Неевклидова геометрия сыграла огромную роль во всей современной математике, и фактически в теории геометризованной гравитации марселя Гросмана-Гильберта-Эйнштейна(1913-1915). Довольно неожиданно, еще раньше была установлена вязь кинематики Лоренца-Пуанкаре с геометрией Лобачевского. В 1909 году Зоммерфельд показал, что закон сложения скоростей данной кинематики связан с геометрией сферы мнимого радиуса (подобное соотношение уже отмечали Лобачевский и Бояйи). В 1910 году Варичак указал на аналогию данного закона сложения скоростей и сложения отрезков на плоскости Лобачевского.

Предположение Лобачевского, что реальные геометрические отношения зависят от физической структуры материи, нашло подтверждение не только в космических масштабах. Современная теория квант все с большей настоятельностью выдвигает необходимость применения геометрии, отличной от евклидовой, к проблемам микромира.

Геометрия претендует в качестве наиболее мощного орудия точного естествознания на овладение механикой и физикой, она стоит у вершины человеческого знания. Удастся ля ей действительно выполнить этот замысел, сохранит ли она это доминирующее место или в порядке иного преодоления разрастающихся противоречий она должна будет его уступить, — это вопрос будущего, быть может, не столь далекого.

Геометрия изучает формы, размеры, взаимное расположение предметов независимо от их других свойств: массы, цвета и так далее. Геометрия не только дает представление о фигурах. их свойствах. взаимном расположении, но и учит рассуждать, ставить вопросы, анализировать, делать выводы, то есть логически мыслить.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы

 

1. Демьянов В.П. Геометрия и Марсельеза. – М.: Знание, 1999.
2. Каган В.Ф. Очерки по геометрии. – М.: Московский университет, 1997.
3. Математика XIX века. – М.: Наука, 2001.
4. Свечников А.А. Путешествие в историю математики или как люди научились считать. – М.: Просвещение, 1995.
5. Юшкевич А.П. История математики в России. – М.: Наука, 2006.