Числовые ряды

 

 

Теорема 3.3. (Предельный признак Коши^*).

 

Пусть члены положительного ряда (1.1) таковы, что существует предел

 

Тогда:  1) при q < 1 ряд (1.1) сходится;

2) при q > 1 ряд (1.1) расходится;

3) при q = 1 о сходимости ряда (1.1) ничего сказать нельзя, необходимы дополнительные исследования.

 

Пример 3.6. Исследовать на сходимость ряд

 

 

Применим предельный признак Коши:

 

 

Следовательно, исходный ряд сходится.

 

Теорема 3.4. (Интегральный признак Коши).

Пусть функция f(x) непрерывная неотрицательная невозрастающая функция на промежутке

Тогда ряд  и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

 

Пример 3.7. Исследовать на сходимость гармонический ряд

 

 

Применим интегральный признак Коши.

В нашем случае функция  удовлетворяет условию теоремы 3.4. Исследуем на сходимость несобственный интеграл

 

Имеем .

 

Несобственный интеграл расходится, следовательно, исходный гармонический ряд расходится также.

 

Пример 3.8. Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд

 

 

Функция удовлетворяет условию теоремы 3.4.

Исследуем на сходимость несобственный интеграл

Рассмотрим  следующие случаи:

1) пусть  Тогда обобщенный гармонический ряд есть гармонический ряд, который расходится, как показано в примере 3.7.

2) пусть  Тогда

 

 

Несобственный интеграл расходится, и, следовательно, ряд расходится;

3) пусть Тогда

 

 

Несобственный интеграл сходится, и, следовательно, ряд  сходится.

Окончательно  имеем

 

 

Замечания. 1. Обобщенный гармонический ряд будет расходиться при , т. к. в этом случае не выполняется необходимый признак сходимости: общий член ряда не стремится к нулю.

2. Обобщенный  гармонический ряд удобно использовать  при применении признака сравнения.

Пример 3.9. Исследовать на сходимость ряд

 

Члены ряда положительны и меньше соответствующих членов сходящегося обобщенного гармонического ряда

 

т. к. и параметр

 

Следовательно, исходный ряд сходится (по признаку сравнения).

Перейдем к  рассмотрению рядов, члены которых могут быть как положительными, так и отрицательными.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Знакочередующиеся ряды. Признак  сходимости Лейбница

 

Определение 4.1. Знакочередующимся рядом называется ряд, у которого любые рядом стоящие члены имеют противоположные знаки.

Такие ряды удобнее записывать в виде

 

 (4.1)

или в виде

,     (4.2)

 

где

Для определения  сходимости знакочередующихся рядов  существует весьма простой достаточный  признак.

Теорема 4.1. (Достаточный признак сходимости Лейбница^*).

Для того чтобы знакочередующийся ряд (4.1)((4.2)) сходился, достаточно, чтобы абсолютные значения его членов убывали и стремились к нулю при возрастании n.

Таким образом, если и то знакочередующийся ряд (4.1)((4.2)) сходится.

 

Пример 4.1. Ряд

 

    (4.3)

 

сходятся, т. к. для него выполняются все условия  признака сходимости Лейбница.

 

5. Знакопеременные ряды

 

Рассмотрим  числовые ряды

 

 (5.1)

с произвольными членами, т. е. члены ряда могут быть как положительными, так и отрицательными. Такие ряды называются знакопеременными.

Образуем новый  ряд, составленный из абсолютных величин (модулей) членов ряда (5.1), т. е. ряд

 

 (5.2)

 

Теорема 5.1. Если ряд сходится, то сходится и исходный ряд

 

Вообще говоря, обратное утверждение неверно, т. е. из сходимости ряда (5.1) не следует сходимость ряда (5.2). Например, как было показано выше ряд  сходится, в то время как ряд расходится.

 

Определение 5.1. Ряд (5.1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

 

Определение 5.2. Сходящийся ряд (5.1) называется условно сходящимся, если ряд (5.2) расходится.

Таким образом, ряд  является абсолютно сходящимся.

Абсолютно сходящиеся ряды обладают тем свойством, что  у них можно любым образом менять местами члены ряда. При такой перестановке будут получаться также абсолютно сходящиеся ряды, при этом сумма ряда не изменяется. Как указывалось в разделе 2, условно сходящиеся ряды таким свойством не обладают.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

 

Определение 6.1 Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.

Признак Лейбница

Для знакочередующихся  рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница.

Пусть {a_n} является числовой последовательностью, такой, что

1.a_n+1 < a_n ;

2.  .

Тогда знакочередующиеся  ряды   и   сходятся.

Абсолютная  и условная сходимость

Определение 6.2 Ряд   называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится.  
Если ряд   сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.

Ряд   называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится. 

 

 

Пример 1

Исследовать на сходимость ряд  .

Решение.

Применим достаточный  признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Получаем      

поскольку  . Следовательно, данный ряд сходится.   

 Пример 2

Исследовать на сходимость ряд  .

Решение.

Попробуем применить  признак Лейбница:      

 

Видно, что модуль общего члена не стремится к нулю при n → ∞. Поэтому данный ряд расходится

Пример 3

Определить, является ли ряд   абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся?

Решение.

Применяя признак Даламбера к ряду, составленному из модулей соответствущих членов, находим       

Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.   

 Пример 4

Определить, является ли ряд   абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся?

Решение.

Сначала воспользуемся  признаком Лейбница и найдем предел  . Вычислим этот предел по правилу Лопиталя:       

Таким образом, исходный ряд расходится. 

Пример 5

Исследовать на сходимость ряд      

Решение.

Общий член данного  ряда равен  . Применим признак Даламбера к ряду  , составленному из модулей:      

Следовательно. исходный ряд сходится абсолютно. 

Пример 6

Исследовать, является ли ряд   абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся?

Решение.

Применяя признак  Лейбница, видим, что ряд является сходящимся:      

Рассмотрим  теперь сходимость ряда  , составленного из модулей соответствующих членов. Используя интегральный признак сходимости, получаем      

Следовательно исходный ряд   сходится условно. 

Пример 7

Определить, является ли ряд   абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся?

Решение.

Сначала применим признак Лейбница:      

Следовательно, данный ряд сходится. Выясним, является ли эта сходимость абсолютной или  условной. Воспользуемся предельным признаком сравнения и сравним  соответствующий ряд из модулей   с расходящимся гармоническим рядом  :      

Поскольку ряд  , составленный из модулей, расходится, то исходный знакочередующийся ряд является условно сходящимся. 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. «Основы математического анализа», ч.1, ч.2, «Наука» Москва. 1972г.

2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. «Математический  анализ», т.1, т.2. Издательство МГУ,  Москва 1987г.

3.Демидович  Б.П. «Сборник задач и упражнений  по математическому  анализу». Издательство «Наука» 1977г.

^* Риман Георг Фридрих Бернхард (1826 – 1866), немецкий математик.

¹ Даламбер Жан Лерон (1717 – 1783), французский философ и математик, один из представителей французского просвещения XVIII века.

^* Коши Огюстен Луи (1789 – 1857), французский математик.

^* Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646 – 1716), выдающийся немецкий философ и математик.