Аналитическая геометрия

Задача:  Даны вершины треугольника: A(2, 3), B(–3, 1), С(3, 4). Найти:

а) уравнение прямых АВ и AC;

б) угол BAC через их угловые коэффициенты;

в) уравнение высоты (ВН), опущенной из вершины B на сторону АС;

г) длину высоты треугольника, опущенной из вершины В;

 

Решение

 

а) Так как известны координаты двух точек: А и В прямой, то воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две данные точки и , которое имеет вид:

.                                      (1)

Угловой коэффициент  этой прямой определяется формулой

  .        (2),

подставляя в него вместо чисел  и координаты точки А, а вместо чисел и – координаты точки  В (для прямой АВ):

, откуда , , - уравнение прямой АВ.

Аналогично для прямой АС:

, откуда ,  - уравнение прямой АС.

 

б) Для нахождения угла BАC используем формулу:

Пусть две прямые и заданы уравнениями и  или и .

Острый угол j  между прямыми и находится по формуле:

 или  .              (3)

 

 В качестве надо взять угловой коэффициент прямой: . – угловой коэффициент прямой АC: .

По формуле (3) , следовательно

 

в) Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противолежащую сторону. Так как прямые АС и ВН перпендикулярны, то по условию перпендикулярности прямых и :

  или  .                        (4)

.

Кроме известны координаты точки В: (–3, 1). Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, которое определяется угловым коэффициентом k, имеет вид:

.                                       (5)

 или  .

 

г) Расстояние от точки В (–3, 1) до прямой АС вычисляем по формуле:

 Расстояние d от точки до прямой, заданной уравнением , вычисляется по формуле:

.                                    (6)

- уравнение прямой АС.

.