Приток жидкости к группе совершенных скважин

ординат откладывать не давления р, а квадраты давлений р2 = Р, а по оси абсцисс - значения х, то получим прямую линию (рисунок 4.2).

Определим величину средневзвешенного по объему пласта давления р'.

Обозначим Ω - объем порового пространства газового пласта, LK — длина пласта (расстояние от контура питания до галереи).

Тогда:

 

.                                                (4.15)

 

Среднее давление

 

,                                             (4.16)

где элементарный объём пористой среды равен:

 

                                            (4.17)

 

 

 

Рисунок 4.1: Распределение давления в пласте при установившейся одномерной фильтрации газа по линейному закону фильтрации.

 

 

Рисунок 4.2: Распределение квадратов давления Р в пласте при установившееся одномерной фильтрации газов по линейному закону фильтрации.

 

 

Подставляя в уравнение (4.16) вместо Ω, dΩ и р их значения из формул (4.15), (4.17) и (4.14), получим:

 

 

что после интегрирования дает тождественные равенства

 

(4.18)

 

Рассмотрение формулы (4.18) показывает, что в условиях линейной фильтрации среднее давление р не зависит от длины LK пласта и может значительно отличаться от контурного давления рк. Так, в частном случае при   рГ =0

 

                                                  (4.19)

 

т. е. среднее давление составляет 2/3 от контурного давления.

 

Найдем приведенный к атмосферному давлению объемный расход газа Q. Для этого разделим весовой расход газа G на удельный вес его при атмосферном давлении рат. Из формулы (4.9) имеем:

 

                                   (4.20)

 

Из формул (4.20) и (4.9) видно, что, в отличие от фильтрации несжимаемой жидкости, расход газа прямо пропорционален не разности давлений (рк-рг), а разности квадратов давлений. Если по оси ординат отложить значения Q или G, а по оси абсцисс соответствующие им значения депрессии (рк - рг), то получим параболу, в отличие от фильтрации несжимаемой жидкости, для которой индикаторная линия выражается прямой (рисунок 4.3).

Найдем скорость фильтрации газа. Для этого приведенный к атмосферному давлению и пластовой температуре расход газа Q разделим на величину - F, тогда из формулы (4.20) получим:

 

                               (4.21)

 

где значения давления р даются формулами (4.10) или (4.11).

Формулу (4.21) можно также получить продифференцировав уравнение (4.12) по х и умножив (в соответствии с линейным законом фильтрации) полученное значение градиента давления dp/dx на величину k/µ.

Поскольку с уменьшением х величина р уменьшается, по мере приближения к галерее скорость фильтрации газа увеличивается, в отличие от одномерного движения несжимаемой жидкости, при котором скорость фильтрации постоянна.

Обозначим через Q — объемный расход газа, приведенный к среднеарифметическому давлению

 

.                                      (4.22)

 

Подставляя в формулу (4.22) вместо Q его значение из уравнения (4.20), получим:

 

                             (4.23)

 

Формула (4.23) приведенного к среднеарифметическому давлению объемного расхода газа совпадает с формулой (4.6) расхода для одномерного движения несжимаемой жидкости.

Найдем из формулы (4.20) значение коэффициента проницаемости к.

 

                                  (4.24)

 

Формулой (4.24) пользуются для лабораторного определения величины коэффициента проницаемости образцов пористой среды при помощи газа, причем в этом случае рк и рг - давление соответственно у входа и выхода газа в образец пористой среды, F - площадь поперечного сечения образца, a LK его длина.

Если величину к определить из уравнения (4.23), то

                                    (4.25)

Формула (4.25) аналогична формуле (4.15), справедливой для несжимаемой жидкости.

Сравнение формул распределения давления в пласте при установившейся фильтрации газа и несжимаемой жидкости со свободной поверхностью  показывает полное их совпадение. Аналогичное строение имеют и формулы расхода газа и жидкости в обеих указанных формулах расход пропорционален разности квадратов давлений. Математически это объясняется тем, что дифференциальные уравнения установившегося движения газа и несжимаемой жидкости со свободной поверхностью одинаковы. С физической точки зрения указанную аналогию можно объяснить тем, что в обоих случаях по мере приближения к галерее (выходу из пласта) имеет место увеличение скорости фильтрации. При движении газа этот рост скорости фильтрации происходит за счет расширения газа вследствие падения давления, при движении жидкости со свободной поверхностью увеличение скорости фильтрации обусловлено уменьшением живого сечения пласта, вызванным непрерывным уменьшением высоты уровня жидкости в пласте по мере приближения ее к галерее.

 

 

5.Составление программы расчетов для решения задачи об установившийся  фильтрации газированной жидкости

 

Если при составлении программы давление в пласте выше давления насыщения, то весь газ полностью растворен в жидкости, и она ведет себя как однородная. При снижении давления ниже давления насыщения из нефти выделяются пузырьки газа. По мере приближения к забою скважины давление падает, и размеры пузырьков увеличиваются вследствие расширения газа и одновременно происходит выделение из нефти новых пузырьков газа. Здесь мы имеем дело с фильтрацией газированной жидкости, которая представляет собой двухфазную систему (смесь жидкости и выделившегося из нефти свободного газа).

При фильтрации газированной жидкости рассматривают отдельно движение каждой из фаз, считая, что жидкая фаза движется в изменяющейся среде, состоящей из частиц породы и газовых пузырьков, а газовая фаза – в изменяющейся среде, состоящей из породы и жидкости. Полагая, что фильтрация происходит по линейному закону, записывают его отдельно для каждой фазы, вводя коэффициенты фазовых проницаемостей kж и kг, которые меняются в пласте от точки к точке:

 

 

Здесь – дебит свободного газа в пластовых условиях.

Опытами Викова и Ботсета установлено, что фазовые проницаемости зависят главным образом от насыщенности порового пространства жидкой фазой у. Насыщенностью у называется отношение объема пор, занятого жидкой фазой, ко всему объему пор в данном элементе пористой среды. В результате опытов построены графики зависимостей относительных фазовых проницаемостей kж*=kж/k и kг*=kг/k от насыщенности у для несцементированных песков (рис. 1), для песчаников (рис. 2), известняков и доломитов (рис. 3); здесь k – абсолютная проницаемость породы, определяемая из данных по фильтрации однородной жидкости.

 

Рис. 1

 

Рис.   Рис.

 

В теории фильтрации газированной жидкости вводится понятие газового фактора Г, равного отношению приведенного к атмосферному давлению дебита свободного и растворенного в жидкости газа к дебиту жидкости:

При установившейся фильтрации газированной жидкости газовый фактор остается постоянным вдоль линии тока.

Так как насыщенность является однозначной функцией давления, то относительную фазовую проницаемость жидкой фазы kж* можно связать с давлением и построить график kж*(р*) (рис. 4), где безразмерное давление:

 

 

где о – безразмерный газовый фактор:

 

 

Рис.

 

Безнапорным называется фильтрационное течение, при котором полный напор недостаточен для того, чтобы жидкость поднялась до кровли пласта, в результате чего фильтрационный поток ограничивается сверху свободной поверхностью - поверхностью раздела между грунтовыми водами и воздухом или между нефтью и газом. Аналогичное течение имеем в тех случаях, когда

под слоем движущейся нефти располагается неподвижная подошвенная вода. В термине «свободная поверхность» пренебрегается тем обстоятельством, что переходная область между жидкостью и газом или между двумя жидкостями в пористой среде не является резкой границей типа границы вода - воздух в стакане, а обязательно размыта из-за действия капиллярных сил. Толщина капиллярного переходного слоя измеряется десятками сантиметров и метрами. Поэтому кратко рассматриваемая в этом параграфе теория оказывается тем более точной, чем больше характерные размеры потока.

Будем рассматривать, таким образом, свободную границу как математическую поверхность, отделяющую фильтрационный поток от области, занятой неподвижной жидкостью. На этой границе должны выполняться два физических условия. С одной стороны, такая поверхность представляет собой поверхность тока, на которой нормальная компонента скорости обращается в нуль:

 

Un|г=0,                                                       (5.1)

 

а с другой стороны - давление на свободной границе определяется гидростатическим давлением пограничной с фильтрационным потоком неподвижной жидкости, и потому

 

Р|г=р0-р'gz                                                  (5.2)

 

где р '— плотность «соседней» жидкости; р0 - давление в этой жидкости на горизонтальной поверхности (z = 0). В частности, если фильтрационный поток граничит с частью пласта, заполненной воздухом или газом пренебрежимо малой плотности, то из (5.2) получаем условие постоянства давления на свободной поверхности безнапорного потока р|г = ро. Именно выполнение этого условия характерно для безнапорных течений.

Свободная граница отличается от заданных заранее тем, что на ней ставятся два граничных условия вместо одного. Лишнее краевое условие служит для отыскания неизвестной заранее свободной границы.

Безнапорные фильтрационные течения играют основную роль в теории движения грунтовых вод. В настоящее время создан аналитический аппарат, позволяющий получить точные решения ряда важных задач. Эти задачи и их решения рассмотрены детально в классической монографии П. Я. Кочиной. В последующем изложении используется лишь приближенная гидравлическая теория так называемых пологих безнапорных движений.

Под пологим фильтрационным движением понимается движение, происходящее в пластах с конечной глубиной водо - упора, в котором вертикальная компонента скорости фильтрации uz мала по сравнению с горизонтальной компонентой. Так как характерной скоростью при безнапорном фильтрационном движении является коэффициент фильтрации С, то горизонтальная компонента скорости может быть либо порядка С, либо мала по сравнению с С, т. е.

 

Uz<<C=kpg/µ.                                           (5.3)

 

Это неравенство можно переписать еще так:

 

µUz/k<<pg.                                            (5.4)

 

Но µUz/k  представляет собой ту часть вертикальной компоненты градиента давления, которая обусловлена движением. Из неравенства (5.4) следует, что вертикальная компонента фильтрационного градиента давления при пологих безнапорных движениях мала по сравнению с гидростатической. Поэтому распределение давления по вертикали можно при пологих движениях считать гидростатическим. Выведем одно важное для дальнейших рассуждений соотношение. Рассмотрим объем V, ограниченный свободной поверхностью жидкости и некоторой цилиндрической поверхностью с вертикальными образующими. Обозначим через h расстояние от свободной поверхности жидкости до водо - упора, а через z0 расстояние от водо - упора до горизонтальной плоскости г = 0. Объем жидкости, заключенной в области V и приращение этого объема за время dt равны соответственно

 

                             (5.5)

 

где S — проекция объема V на горизонтальную плоскость.

Вместе с тем указанное приращение объема равно объему жидкости, притекающей в область V извне за время dt:

 

               (5.6)

 

где Г - замкнутый контур, ограничивающий площадку S; Un - нормальная компонента скорости и; qn - нормальная компонента вектора потока q на Г.

Приравнивая (5.5) и (5.6), по формуле преобразования контурного интеграла в интеграл по площади и с учетом того, что площадка S может быть выбрана произвольно, получаем уравнение:

mht+div2q=0.                                                      (5.7)

 

Заметим, что уравнение (5.7) -точное, справедливое независимо от каких-либо допущений.

Для установления связи между q и h воспользуемся предположением о пологости движения.

По предыдущему, давление в этом случае распределяется по вертикали с точностью до малых величин по гидростатическому закону, так что величина H= z + p/pg вдоль каждой вертикали будет постоянна и равна h + z0: