Методы решения задач фильтрации газа с помощью уравнения материального баланса

При разработке газоконденсатной залежи в пласте выпадает конденсат. Поэтому начальная масса Мн газоконденсатной смеси в пласте равняется сумме текущей массы M(t) газоконденсатной системы в пласте, массы Mк(t) выпавшего в пласте сырого конденсата к моменту t и массы добытого Mдоб(t) пластового газа к моменту t, т.е.

                         Мн = M(t) + Mк(t) + Mдоб(t)                      (1.12)

Поступая аналогично предыдущим случаям, получаем следующее уравнение для газоконденсатной залежи применительно к газовому режиму:

 

                Ώн рн Тст ρгн/ pат zн Тпл =[Ώн -ΔΏ( )](t) Тстρг( )/z() pатТпл + +ΔΏ( ) ρк( )+ Mдоб(t)                                                                                               (1.13)

 

Здесь Ώн, ΔΏ( ) - соответственно начальный газонасыщенный поровый объем залежи и объем пор пласта, занятых выпавшим сырым конденсатом к моменту t; рн, (t) - начальное и текущее среднее пластовые давления, взвешенные соответственно по поровым объемам  Ώн и Ώн -ΔΏ( ); zн, z() - коэффициенты сверхсжимаемости газоконденсатной системы при температуре Тпл и соответственно при давлениях рн и (t); ρгн, ρг( ) - соответственно плотность пластового газа начального и текущего состава, приведенные к раг и Тст; ρк( ) - плотность выпавшего в пласте сырого конденсата на момент t, приведенная к давлению (t) и температуре Тпл.

 

При определении массы добытого пластового газа к моменту t используется следующее рекуррентное соотношение:

 

        Mдоб(t) =  Mдоб(t - Δt) +{ Qдоб сг(t)β[(t)]- Qдоб сг(t - Δt)β[(t - Δt)]}{ρг [(t)]+ + ρг [(t- Δt)]}                                                                                                                (1.14)                                                          

 

Здесь Mдоб(t - Δt) - масса добытого пластового газа на момент t - Δt; Qдоб сг(t - Δt) , Qдоб сг(t) - добытые количества сухого газа на моменты t - Δt и t соответственно, приведенные к рат и Тст; Δt - шаг по времени; β() - объемный коэффициент перевода сухого газа в пластовый газ при стандартных условиях, β = Qдоб пл г / Qдоб сг .

 

Деформационные изменения в продуктивном пласте

Лабораторные эксперименты с образцами керна показывают, что при снижении внутрипорового (пластового) давления уменьшаются коэффициенты пористости и проницаемости. Проницаемость карбонатных коллекторов в значительной мере трещинная. Она особенно чувствительна к изменениям давления в призабойной зоне или отдаленных областях пласта.

Результаты экспериментов показывают, что зависимость коэффициента пористости от давления обычно экспоненциальная:

               m = m0 ехр[-аm(pн - р)]

 

Здесь m0 - коэффициент пористости при рн; аm - коэффициент сжимаемости пор, 1/МПа.

Тогда нетрудно видеть, что уравнение материального баланса для газовой залежи с деформируемым коллектором записывается в виде (при принятии = 1)

 

(t) ехр[-аm(pн - (t))]/z[(t)]= рн/zн - pат Qдоб(t)Тпл/ Ώн Тст        (1.15)

 

Оценки показывают допустимость применения уравнения (1.15) при высоких коэффициентах газонасыщенности а (при ≥0,8).

При деформации пласта - коллектора коэффициент газонасыщенности изменяется, во-первых, вследствие уменьшения порового объема залежи и, во-вторых, по причине расширения остаточной воды. Обозначим текущий коэффициент газонасыщенности пласта через . Тогда уравнение материального баланса представляется следующим образом:

 

          (t)[(t)] ехр[-аm(pн - (t))] / z[(t)]= рн/zн - pат Qдоб(t)Тпл/   / Ώн Тст       

 

Здесь [(t)]= 1-(1-) ехр[(аm+ βж)(pн - (t))]; βж - коэффициент объемной упругости жидкости.

Влияние деформации пласта-коллектора на зависимость /z()=f(Qдоб(t)) проиллюстрировано на рис. 2.17. При этом запасы газа в рассматриваемом пласте Qзап =100 млрд.м3, а рн=30 МПа. Содержание метана в газе 98%, пластовая температура 323К, = 1.

Значение аm = 10-2 1/МПа (для сопоставления отметим, что в случае гранулярного коллектора am ≈ 10-3 1/МПа).

 

Итак, вследствие деформации продуктивного коллектора зависимость /z()=f(Qдоб(t)) (линия 2) располагается выше соответствующей зависимости при отсутствии деформации (линия 1), что объясняется уменьшением во времени порового объема залежи. При = 0 линии 1 и 2 сходятся в одну точку, так как независимо от того, деформируемый ли пласт или нет, добытое количество газа к моменту, когда = 0, должно равняться начальным запасам газа в пласте. Если проэкстраполировать начальный участок зависимости /z()=f(Qдоб(t)) до оси абсцисс ( линия 3 ), то оцениванием завышенные начальные запасы газа в пласте.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.Примеры  числовых расчетов и графических  решений

Многие задачи неустановившейся фильтрации газа решаются приближенно по методу последовательной смены стационарных состояний с привлечением уравнения материального баланса газа.

 

4.1 Решение задачи  о притоке газа к скважине методом последовательной смены стационарных состояний

 

Отметим, что метод ПССС основан на следующих предпосылках:

1. в каждый момент времени существует конечная возмущенная область, в которой происходит движение газа к скважине;
2. движение газа внутри возмущенной области стационарно;
3. размер возмущенной области определяется из уравнения материального баланса.

Рассмотрим решение задачи (методом ПССС) о притоке газа к скважине с постоянным дебитом QАТ ; радиус скважины rC .

В любой момент времени возмущенной областью является круговая область радиусом R (t) , внутри которой давление распределяется по стационарному закону (6.26)

,  .      (8.15)

Вне возмущенной области давление равно начальному (невозмущенное состояние):

Р = РК , r > R (t).                                      (8.16)

Для возмущенной зоны можно записать выражение дебита по формуле (6.28) для стационарной фильтрации:

,     (8.17)

Заметим, что в нашей задаче (при QАТ = const) забойное давление  РС = РС (t).

Для дальнейших выводов выделим из (8.17) отношение:

.

и подставим в формулу (8.15). Получим:

 

.    (8.18)

 

Для нахождение R (t)  составим уравнение материального баланса.

Начальный запас газа (при Р = РК) в зоне пласта радиусом R (t)

     

.             (8.19)

Текущий запас газа выразим через средневзвешенное давление :

,   (8.20)

где     определяется по формуле (6.30) установившейся фильтрации

        (8.21)

Так как отбор происходит с постоянным дебитом QАТ, то отобранная масса газа к моменту t равна  . Следовательно

или с учетом (8.19) и (8.20), имеем

                 (8.22)

Подставляя в (8.22) выражения (8.21) для     и  (8.17) для QАТ, получим

 

 

откуда  

или                                                                (8.23)   

 

Для значений времени, для которых       имеем

.                                              (8.24)

Зная закон движения границы возмущенной области в виде (8.23) или (8.24), можно найти давление в любой точке возмущенной зоны пласта и на забое скважины по формуле (8.18)

                    (8.25)

;

                         (8.26)

Формула (8.25) и (8.26) пригодны как для бесконечного пласта, так и для конечного открытого или закрытого пластов радиусом  . В последнем случае они годятся только для первой фазы движения, пока воронка депрессии не достигнет границы пласта, т.е. для  .

Изменение давления во второй фазе зависит от типа газового пласта. Если он закрыт, то давление будет продолжать снижаться во всем пласте, включая границу.

Если он открытый (Р = РК  при r = RK), т.е. режим водонапорный, то во второй фазе установится стационарный режим с постоянной депрессией  

(РК - РС), где

  .                                (8.27)

 

2. Приближенное решение задачи об отборе газа из замкнутого пласта

 

Рассмотрим задачу об отборе газа из замкнутой круговой залежи радиусом RК. В центре залежи находится скважина радиусом rС . До вскрытия пласта скважиной давление во всей залежи было РК .

Рассмотрим две задачи:

1. отбор газа с постоянным дебитом (QАТ = const);
2. отбор газа с сохранением давления на скважине (PC = const).

В первой задаче нас интересует падение давления на границе пласта   и на забое скважин  .

Во второй задаче – падение давления на границе и падение дебита Q(t).

Обе задачи решаем методом ПССС, т.е. с применением законов стационарной фильтрации газа и уравнения истощения газовой залежи. Это уравнение –  уравнение материального баланса – заключается в том, что количество газа, извлеченного из пласта за некоторый промежуток времени, равно уменьшению запасов газа в пласте. Так как пласт замкнут, то запасы ограничены и не пополняются извне.

Выведем это уравнение.

Если - плотность идеального газа, соответствующая усредненному давлению в пласте ; Vпор - объем порового пространства пласта, принимаемый постоянным; то уменьшение запасов газа за бесконечно малый промежуток времени запишется в виде

.                    (8.28)

Отобранная масса газа за тот же промежуток времени будет равна

.                                (8.29)

Приравнивая (8.28) и (8.29), получим дифференциальное уравнение истощения газовой залежи

.                                 (8.30)

Ранее было показано, что средневзвешенное давление при плоскорадиальной фильтрации газа мало отличается от контурного РК (в нашем случае РК – давление на границе замкнутого пласта). Поэтому можно принять и заменяем в (8.30)  на :

 

                                (8.31)

 

Теперь рассмотрим случай первый:  QAT = const .  

При этом

.                                         (8.32)

Интегрируем это уравнение, учитывая, что при t = 0  Р = РН ; получаем

 

,                                  (8.33)

т. е. давление на границе пласта меняется по линейному закону с течением времени (рис.54).

Для определения закона изменения забойного давления с течением времени, запишем формулу для дебита скважины

 

                                  (8.34)

 

и выразим из нее забойное давление

 

.                          (8.35)

 

Отсюда с учетом выражения (8.33) для  РК находим

 

  .                   (8.36)

 

График изменения  РС (t) по (8.36) показан на рис.54.

Рис. 54      Рис. 55

Рассмотрим второй случай:     РС = const .

Для определения зависимости  РК от t подставим выражение для дебита (8.34) в уравнение (8.31) и разделим переменные

.

Обозначим      и интегрируя от 0 до t и от РН  до РК , получим

,

откуда

.                         (8.37)

Задаваясь различными значениями давления РК на границе залежи, начиная от РН  и меньшими, можно найти соответствующие значения времени разработки залежи. Подставляя заданные значения РК в формулу (8.34), определяем дебиты в эти же моменты времени t. Графики  РК(t) и QAT(t)                       для этого случая приведены на рис.55.

 

3. Примеры решения задач

 

5.Практическое использование полученных результатов

Материальный баланс газовой залежи— отражает закон сохранения массы применительно к газовой (газоконденсатной, газогидратной) залежи. При разработке месторождения в условиях газового режима материальный баланс газовой залежи записывается в следующем виде:  

                                      Мн = Мост(t) + Мдоб(t), где  
 
Мн — начальная масса газа в пласте;  
Мост(t) — оставшаяся в пласте масса газа к моменту времени t;  
Мдоб(t) — масса газа, добытая из залежи к моменту времени t.  
    Уравнение материального баланса газовой залежи лежит в основе метода определения начальных запасов газа по падению давления в пласте (используются фактические данные разработки месторождения за некоторый период времени), а также используется при определении показателей разработки газовой залежи при газовом режиме. В случае водонапорного режима при составлении материального баланса газовой залежи учитывается Мобв(t) — масса газа, оставшаяся в обводнённой зоне пласта к моменту времени t, т.е.  
 
                                        Мн = Мобв(t) + Мост(t) + Мдоб(t).  
 
     Уравнение применяется при проведении прогнозных расчётов, а также используется для уточнения коллекторских свойств водонапорного бассейна.  
      Материальным балансом газовой залежи учитывается деформация продуктивного коллектора (изменение коэффициента пористости, а следовательно, и коэффициента газонасыщенности) при снижении пластового давления. В случае газоконденсатных и газогидратных залежей учитывают также изменение газонасыщенного объёма пласта (в газоконденсатных залежах при снижении пластового давления наблюдается выпадение конденсата из газа, вызывающее уменьшение объёма, в газогидратных — снижение давления вызывает разложение гидратов и, следовательно, увеличение газонасыщенного объёма). Для газогидратной залежи материальный баланс газовой залежи записывается с учётом баланса тепла (в связи со снижением температуры, сопровождающим процесс разложения гидратов), в баланс тепла включается также приток тепла от передачи его через кровлю и подошву пласта.  
      Разновидности уравнения материального баланса газовой залежи позволяют проводить газо-гидродинамические расчёты с учётом соответствующих геолого-промысловых факторов (например, с учётом перетоков газа осуществляются расчёты применительно к многопластовым месторождениям).