Масштабная система

такие карты и сравнивая их с современными топографическими картами или спутниковыми снимками легко найти места, где раньше стояли деревни, фабрики, мельницы и прочие объекты, которые могут быть интересны для кладоискателя.

2.2. Современные  масштабы

 Масштаб указывается на картах в разных вариантах (рис. 3.2). Численный масштаб представляет собой дробь с единицей в числителе, он показывает, во сколько раз длины на карте меньше соответствующих длин на местности (например, 1:1 000 000). Линейный (графический) масштаб дается на полях карты в виде линейки, разделенной на равные части (обычно сантиметры), с подписями, означающими соответствующие расстояния на местности. Он удобен для измерений по карте. Именованный масштаб указывает в виде подписи, какое расстояние на местности соответствует одному сантиметру на карте (например, в 1 см 1 км).

Рис. 2. Виды масштабов па картах.

 

2.2.1. Численные и именованные масштабы

 При составлении планов  и карт горизонтальные проекции  линий местности уменьшают в  определенное число раз в зависимости  от требований и точности, предъявляемых  к планам и картам. Степень  уменьшения горизонтальных проекций  линий местности при изображении  их на плане либо карте именуется  масштабом. Другими словами, масштаб есть отношение длины отрезка S на плане либо карте к горизонтальной проекции соответственного отрезка S на местности, т. е. S — масштаб. Численный масштаб – это верная дробь, числитель которой есть единица, а знаменатель – число, показывающее, во сколько раз горизонтальные проекции линий, местности уменьшены на плане либо карте. Чем больше значение знаменателя численного масштаба М, тем больше степень уменьшения горизонтальных проекций линий местности и тем мельче масштаб плана либо карты. Численный масштаб – безразмерная величина, потому им можно воспользоваться при измерениях всех линейных мерах. В картографии более нередко используются последующие масштабы: 1:500, 1:1000, 1:2000, 1:5000 – для планов и 1:10 000, 1:25 000, 1:50 000, 1:100 000, 1:200 000, 1:300 000, 1:500 000, 1:1000 000 – для карт. Указанные дела демонстрируют, что горизонтальные проекции линий местности уменьшены на плане соответственно в 500, 1000, 2000 и т. д. раз, т. е. отрезку в 1см на плане соответствуют на местности длины: 500см либо 5м; 1000см либо 10м; 2000см либо 20м и т. д. На картах ниже подписи численного масштаба (например, 1:10 000) приводится пояснительный масштаб: «в 1 сантиметре 100 м». В этом случае, данный пояснительный масштаб длин, выраженный именованными числами, обозначающими длины взаимно соответствующих отрезков на карте и на местности – есть именованный. При помощи масштабов можно решать последующие задачи. [http://geodesiya.ru/tchislennyj_masshtab.html].

 

2.2.2. Графические  масштабы

Графические масштабы подразделяются на линейные, поперечные и клиновые. Линейный масштаб – это графический масштаб в виде масштабной линейки, разделённой на равные части (рис. 2). При помощи него, не прибегая к вычислениям, можно измерить любую линейную величину. Поперечный масштаб – это графический масштаб в виде номограммы, построение которой основано на пропорциональности отрезков параллельных прямых, пересекающих стороны угла. Поперечный масштаб применяют для более точных измерений длин линий на планах. Поперечным масштабом пользуются следующим образом: откладывают на нижней линии поперечного масштаба замер длины таким образом, чтобы один конец (правый) был на целом делении ОМ, а левый заходил за 0. Если левая ножка попадает между десятыми делениями левого отрезка (от 0), то поднимаем обе ножки измерителя вверх, пока левая ножка не попадёт на пересечение какой-либо трансвенсали и какой-либо горизонтальной линии. При этом правая ножка измерителя должна находиться на этой же горизонтальной линии. Наименьшая ЦД=0,2мм, а точность 0,1 [http://ru.wikipedia.org/wiki/Масштаб].  Принцип построения и использования поперечного М. ясен из рисунка, приведённого для численного М. 1:5000. Отрезку поперечного М., помеченному на рисунке точками, соответствует на местности линия 200 + 60 + 6 = 266 м. Поперечным М. называют также металлическую линейку, на которой очень тонкими линиями высечено изображение такого рисунка, иногда без каких-либо надписей. Это позволяет легко использовать её в случае любого численного М., применяемого на практике [Чеботарев А.С., 1955].             При обновлении планов и карт, их корректировке, производстве инженерных и сельскохозяйственных изысканий достаточно часто приходится решать задачу по перенесению объектов с аэрофотоснимка на карту. Как правило, она решается методом линейной засечки с трех четких контурных точек, отображенных на аэрофотоснимке и карте. Поскольку поперечный масштаб рассчитан на стандартные масштабы планов и карт

Рис. 3. Поперечный масштаб [http://bse.sci-lib.com/particle021766.html].

(1:100, 1:200, 1:500, 1:1000 и т.д.), а  главный и частные масштабы  аэрофотоснимка не соответствуют  им, то пользоваться поперечным  масштабом в этом случае неудобно  из-за большого объема вычислений  по расчету длин отрезков в  масштабе аэрофотоснимка. Наиболее  эффективно для решения данного  класса задач использовать клиновой  масштаб.   Для построения клинового масштаба пользуются миллиметровкой. На горизонтальной прямой (рис.4) в масштабе плана откладывается отрезок максимальной длины, который будет измеряться по плану, например, 500м. Отрезок разбивается на миллиметры и оцифровывается. В правом конце отрезка проводится вертикальная линия и откладывается отрезок 500м в главном масштабе аэрофотоснимка. Например, если главный масштаб аэрофотоснимка 1:8000, то в 1см аэрофотоснимка 80м на местности, а отрезок 500м на аэрофотоснимке будет иметь длину 6,25см. Соединяется конец вертикального отрезка с левым концом горизонтального. Проводят вертикальные прямые, как показано на рис. 4.      Для определения длины линии с помощью клинового масштаба измеряют ее при помощи циркуля на аэрофотоснимке. Устанавливается циркуль на клиновом масштабе так, чтобы одна игла находилась на горизонтальной линии, а вторая – на наклонной (отрезок ab). По горизонтальной шкале можно отсчитать длину отрезка на местности (120м). Повернув циркуль вокруг точки а и установив иглу, которая была на наклонной линии в точке о, получают в растворе циркуля длину линии,

которую требуется отложить на плане.

Рис.4. Выбор на аэрофотоснимке базисов [Кандыбо С.Н., 2007].

Если линия измерена на местности или на плане (например, 360м), то для определения ее длины в масштабе аэрофотоснимка откладывается ее измерителем на горизонтальной шкале. Одна игла измерителя будет находиться в точке о, а вторая – в точке е. Повернув циркуль вокруг точки е, устанавливается игла, которая находилась в точке о, на наклонную линию. Отрезок ed будет длиной линии в главном масштабе аэрофотоснимка [Кандыбо С.Н., 2007].

 

2.2.3. Частные и  главные масштабы 

В картографических проекциях степень уменьшения изображения в разных частях получается разной, а, следовательно, и масштаб карты получается величиной переменной.       В нашем примере экватор и меридиан остались той же длины, что и на глобусе. Все параллели сильно растянуты. Так, например, параллель с широтой φ = 750 изобразилась такой же длины, как и на экваторе, хотя в действительности длина дуги в 10 у них разная. На экваторе она равна 111,3км, а на широте φ = 750 только 28,9 км. Следовательно, параллель растянулась почти в четыре раза.       Меридианы и экватор изобразились в масштабе глобуса. В таком случае говорят, что по всем меридианам и экватору сохранился главный масштаб.            При вычислении картографической проекции для составления карты, всегда задаются определенным масштабом, который должен сохраняться в определенных местах или по определенным направлениям (по среднему меридиану или по всем параллелям, или только по экватору). Такой масштаб, называемый главным, подписывают на карте. Он показывает общую степень уменьшения, принятую для данной карты.      Во всех остальных местах карты масштабы будут отличаться от главного, они будут крупнее или мельче главного, эти масштабы называют частными и обозначают буквой μ.         Под масштабом в картографии понимают отношение бесконечно малого отрезка, взятого на карте, к соответствующему ему отрезку на земном эллипсоиде (земном шаре). Все зависит от того, что берется за основу при построении проекции – земной шар или эллипсоид.     Чем меньше будет изменение масштаба в пределах данного участка, тем совершеннее будет картографическая проекция.     Для выполнения картографических работ необходимо знать распределение на карте величин частных масштабов, чтобы можно было вносить поправки в результаты измерений. На картах указывается только главный числовой масштаб, но, к сожалению, не указывается, к каким линиям он относится.         Частные масштабы вычисляют по специальным формулам. Анализ вычисления частных масштабов показывает, что среди них имеется одно направление с наибольшим масштабом, а другое – с наименьшим.  В квадратной проекции наибольший масштаб совпадает с направлением параллели, а наименьший – с направлением меридиана. Наибольший масштаб, выраженный в долях главного масштаба, обозначают буквой «а», а наименьший – буквой «в».    Направления наибольшего и наименьшего масштабов называют главными направлениями. Главные направления только тогда совпадают с меридианами и параллелями, когда меридианы и параллели пересекаются под прямыми углами.          В таких случаях масштаб по меридианам обозначают буквой «m», а по параллелям – буквой «n».         Для удобства теоретических расчетов и анализа искажений длин, обычно главный масштаб принимают за единицу. Тогда отклонение частных масштабов от единицы будет характеризовать величину искажений на карте. Разность между частным и главным масштабом называется относительным искажением длин, т.е.

υ = μ – 1 (1).

Рассмотрим это на примере. Пусть главный масштаб карты 1:200000000 (в 1 см – 2 000км на земном эллипсоиде), а частный масштаб μ = 4. Абсолютное значение частного масштаба будет равно: 4:200000000 = 1:50000000.          

Рис. 5. Шкала масштабов для различных широт в проекции Меркатора (главный масштаб на экваторе) [http://geoman.ru/books/item/f00/s00/z0000060/st070.shtml]

Относительное искажение длин определится так: υ = 4 – 1 = 3. Искажения длин чаще всего выражают в процентах, тогда υ = 300 %. Каким бы способом не развертывать земную поверхность на плоскость, обязательно возникнут разрывы и перекрытия, что в свою очередь приводит к растяжениям и сжатиям.         Но на карте вместе с тем будут места, в которых не будет сжатий и растяжений.           Линии или точки на географической карте, в которых нет искажений, называют линиями или точками нулевых искажений.     По мере удаления от них искажения возрастают [Серапинас Б.Б., 2005, Фокина Л.А., 2055, http://murzim.ru].

Ниже приводится определения главного, среднего и частного масштабов аэрофотоснимка.

Главный масштаб аэрофотоснимка вычисляют по формуле:

, (2)

где – высота фотографирования над средней плоскостью.  Например, значение главного масштаба аэрофотоснимка:

 

Для определения среднего масштаба планового аэрофотоснимка с относительно ровным рельефом измеряется длины неискаженных отрезков (базисов) АB и DF на снимке и фотоплане.      Для каждого из отрезков вычисляется масштаб по формуле

, (3)

где – знаменатель масштаба; – длина отрезка, измеренная по аэрофотоснимку; – длина отрезка, измеренная по фотоплану; – знаменатель масштаба фотоплана.       Средний масштаб аэрофотоснимка вычисляют как среднее из масштабов по базисам АB и DF.        При вычислениях удобней использовать не масштаб  знаменатель масштаба аэрофотоснимка по данному базису. Из формулы (3) знаменатель масштаба для каждого из базисов.       Результаты определения среднего масштаба аэрофотоснимка сводят в таблицу 5.

Таблица 5

 Определение среднего масштаба аэрофотоснимка [Кандыбо С.Н., 2007]

Отрезки	, мм	, мм
AB	20,5	25,0	12195	121	11840
DF	21,7	26,2	12074

 

Выполняется оценку точности определения  среднего масштаба аэрофотоснимка, для чего вычисляется значение . Найдят относительную погрешность определения среднего масштаба как отношение к . В нашем примере она будет равна 1/77.    Относительная погрешность измерения длин линий по аэрофотоснимку и относительная погрешность определения среднего масштаба находятся в следующей зависимости:

. (4)

Используя эту формулу, можно найти предельную длину линии, которая может быть измерена по аэрофотоснимку с требуемой точностью при использовании среднего масштаба. Например, требуется измерить линию с погрешностью =0,5м, тогда предельная длина линии, вычисленная по формуле (4), будет равна 38,5м. На основании этих расчетов может быть сделан вывод, что длина неискаженных отрезков должна быть больше длины линий, которые будут измеряться на аэрофотоснимке.    Если превышения точек А, В, D и Е над средней плоскостью больше величины

, (5)

то для измерений длин неискаженных отрезков на аэрофотоснимке используют точки А", В", D" и Е", исправленные за рельеф.  Частный масштаб аэрофотоснимка. Масштаб планового аэрофотоснимка в произвольной его точке по направлению, составляющему угол с направлением главной вертикали, может быть вычислен по следующей приближенной формуле:

, (6)

где , – кординаты точки в системе плоских прямоугольных координат с началом в главной точке снимка о.        Из анализа формулы (6) видно, что средний масштаб в точке, вычисленный по двум взаимно перпендикулярным направлениям (угол и угол (), не зависит от значения угла . Таким образом, для определения частного масштаба в зоне достаточно определить частные масштабы по двум взаимно перпендикулярным линиям.    На гиростабилизированном аэрофотоснимке и фотоплане с точностью до 0,1мм измеряется расстояние между контурными точками АА1, АА2, ВВ1, ВВ2, DD1, DD2, ЕЕ1, ЕЕ2, которые отвечают вышеуказанному условию, и записывается их в графу 2 и 3 бланка (табл. 6).     Знаменатели масштабов вычисляется для каждого отрезка по формуле (3) и записывается в графу 4 (табл. 6).      Вычисляется среднее значение частного масштаба для зон А, В, D, Е, взяв для этого среднее из значений частных масштабов соответствующих отрезков. Например, для зоны А среднее значение частного масштаба находится как среднее арифметическое между частными масштабами для отрезков АА1 и АА2. Результат записывается в графу 5 табл. 6.  Значение частного среднего масштаба для всего аэрофотоснимка вычисляется по формуле

, (7)

и записывается в графу 6 табл. 6. Затем, сравнивается частное среднее значение масштаба с главным масштабом аэрофотоснимка, средним масштабом и выполняется анализ расхождений по каждой зоне.   Далее устанавливается частные масштабы по отрезкам, зонам и средний масштаб по точкам, исправленным за рельеф местности, т. е. берется точки А", А1", А2", В", В1", В2", D", D1", D2", Е", Е1", Е2". Все записи ведутся в бланке (табл. 6). Среднее значение масштаба, определенное по этим точкам, будет ближе к главному масштабу аэрофотоснимка. Расхождение должно быть в пределах точности выполнения графических работ по определению длин отрезков.