Лекции по "Геодезические работы"

2. При копировании на световом столе или на копировальном пульте с  предварительным  вычерчиванием   копии  карандашом влияют ошибки:

а) копирования (карандашом),

б) вычерчивания копии тушью.

3. При перечерчивании через графитную бумагу или при передавливании непосредственно на копию влияют ошибки:

а) передавливания,

б) вычерчивания копии тушью.

4. При копировании с предварительным составлением копии на восковке влияют ошибки:

а) одновременного копирования и вычерчивания на восковке (тушью),

б) копирования с восковки на  бумагу  (через световой стол или путем передавливания),

в) вычерчивания копии тушью.

Если при этом способе  копия вычерчивается тушью непосредственно на световом столе, то ошибка вычерчивания тушью не учитывается.

5. При копировании с помощью пантографа возникают ошибки:

а)  обвода контуров оригинала обводным шпилем,

б) инструментальные (пантографа),

в) вычерчивания копии тушью.

6. При копировании с помощью сетки квадратов с применением пропорционального циркуля возникают ошибки:

а)  построения сетки на оригинале,

б)  построения сетки на копии,

в)  построений при помощи циркуля,

г)  обобщения линий при проведении их между контурными точками,

д)  вычерчивания копии тушью.

Каждая из перечисленных ошибок (кроме инструментальных ошибок пантографа и обобщения линий при проведении их между контурными точками) может быть приравнена к графической точности, равной 0,08 мм.

Инструментальные  ошибки пантографа могут быть различными по величине в зависимости от конструктивных особенностей инструмента. В редких случаях величина этих ошибок приближается к графической точности, в других она превышает ее в 2— 3 раза и даже более. Если пантографирование производится на увеличение или уменьшение, то помимо перечисленных ошибок будут соответственно увеличиваться или уменьшаться на копии все ошибки, характеризующие точность плана оригинала, т. е. ошибки положения точек участков и контуров на плане, а также ошибки обвода контуров оригинала обводным шпилем.

Ошибка положения  контурной точки на копии в  первых четырех случаях определится по формуле

 

    (3.2)

 

в пятом случае

 

,    (3.3)

 

в шестом —

 

,    (3.4)

 

при фотомеханическом копировании

 

   . (3.5)

 

В этих формулах m_t — ошибка положения точки на оригинале в мм; п — количество отдельных действий, связанных с составлением копии; k — отношение масштаба копии к масштабу оригинала.

В формулах (3.З) и (3.4) величина 0,08 мм в скобках есть ошибка совмещения обводного шпиля пантографа или ножек пропорционального циркуля с точками на оригинале. В формуле (3.З) величина 5-0,08² = (2-0,08)² + 0,08² состоит из ошибки, свойственной конструктивной особенности пантографа (2-0.08 мм), и ошибки вычерчивания копии тушью (0,08 мм). В формуле (3.4) предпоследняя величина 0,15 мм — ошибка обобщения линий, которые проводят между точками, наносимыми на копию при помощи пропорционального циркуля, а последняя величина 0,08 мм есть также ошибка вычерчивания копии тушью. В формулах (3.2) — (3.5) не учитывается деформация бумаги копии и оригинала, а в формуле (3.5) не учитываются оптико-механические недостатки копировальных приборов.

Примеры значений ошибок, вычисленных по этим формулам, приведены в табл. 1.

 

Таблица   1

Случаи	Ошибки т., (мм) по формулам
	(3.2)	(3.3)	(3.4)	(3.5)
Масштаб копии  равен масштабу оригинала, к = 1, mt = 0,4 мм, n = 2	0,42	0,45	0,44	0,4
Масштаб копии 1:5000, масштаб  оригинала 1:10000, к = 2, mt = 0,4 мм	-	0,83	0,83	0.8
Масштаб копии 1 :10000, масштаб оригинала 1 : 5000, к = 0,5, mt = 0,4 мм	-	0,27	0,27	0,2

 

Таблица 1 показывает, что главной ошибкой, характеризующей точность копии, является ошибка, характеризующая точность оригинала, и при аккуратном копировании не вносятся ощутимые дополнительные ошибки, которые заметно бы снизили точность копии по сравнению с точностью оригинала. Лишь при уменьшении масштаба копии ошибки копирования оказываются ощутимыми, если их сравнивать с ошибками положения контурных точек на копии.

Точность  изображения рельефа на плане обычно характеризуют средней квадратической ошибкой отметки точки, лежащей на горизонтали, т. е. средней квадратической ошибкой положения точки на горизонтали по высоте. Эту ошибку определяют формулой Коппе

               (3.6)

 

 

 

 

Рисунок 3

 

где а — величина, характеризующая точность определения положения точки земной поверхности по высоте (рис.3), куда входят ошибки:  определения отметки станции и превышения между станцией и пикетом, определения превышения по таблицам, номограммам и пр., из-за влияния топографической шероховатости земной поверхности и за неоднородность ската между пикетами (обобщения рельефа); b — величина, характеризующая сдвиг точки в горизонтальной плоскости вследствие ошибок определения планового положения станции, с которой определяются пикеты, планового положения пикетов, интерполирования горизонталей между пикетами, проведения горизонталей и вычерчивания их тушью; v — угол наклона местности.

Для формулы (3.6) многими исследователями  определялись величины а и b применительно к различным масштабам планов и для различных условий местности.

Так, профессор  Н. Г. Видуев предложил формулу для определения ошибки положения горизонтали по высоте в зависимости от высоты сечения рельефа h_c, масштаба плана 1/М и уклона местности I

 

 (3.7)

Точность  расстояний на плане

Если положение отдельных  точек на плане ошибочно, то расстояния и направления между этими точками будут определены ошибочно независимо от способа определения.

Ошибка определения  расстояния между точками 1 и 2 по плану при помощи измерителя и масштабной линейки, с учетом точности плана, получится по формуле

 

 

При m_t = 0,4 мм _и т_Г = 0,08 мм = 0,41 мм, т. е. точность измерения расстояний между точками по плану определяется главным образом точностью плана.

Точность  направлений на плане

Точность направления, характеризующегося азимутом (дирекционным углом) линии между двумя точками, на плане зависит от ошибок положения этих точек.

Пусть положение  каждой из точек определяется координатами х₁ и у₁, x₂ и у₂ со средними квадратическими ошибками и , и .

Тогда дирекционный угол линии в направлении с  точки 1 на точку 2 определится по формуле

     (3.8)

Ошибка определения  направления по плану при помощи транспортира с учетом точности плана получится по формуле

 

Если  , а угол при помощи транспортира измеряют с точностью , то , т.е. точность направления между точками по плану определяется главным образом точностью планам/

Точность  площадей контуров на плане

Ошибки положения  точек контура вызывают ошибку его  площади. Чтобы определить ошибку площади контура в зависимости от ошибок положения поворотных точек этого контура, надо как и в предыдущих двух параграфах, (представить, что каждая точка определяется на плане независимо от других и положение ее характеризуется координатами x_t, y_t со средними квадратическими ошибками , .

Зависимость между площадью контура и координатами его поворотных точек можно представить известной формулой

 (3.9)

Искажение линий и площадей в проекции Гаусса

Если план составлен на плоскости в проекции Гаусса, то длины линий и значения площадей участков, измеренных на плане или вычисленных по координатам точек, всегда больше соответствующих горизонтальных проложений этих же линий и площадей на местности.

Иными словами, масштаб изображений линий на плоскости в проекции Гаусса всегда крупнее того масштаба, который принят для составления плана, при этом укрупнение масштаба тем больше, чем дальше линия или участок расположены от осевого меридиана зоны.

Известно, что  линия, измеренная на местности, при  перенесении (редуцировании) ее на плоскость проекции Гаусса должна быть увеличена, т. е.

, (3.10)

здесь s — горизонтальное проложение линии местности; у — ордината (расстояние от осевого меридиана) середины этой линии; R — средний радиус кривизны земного сфероида, который можно принять равным 6370 км.

Величину  называют относительным искажением линии.

Значение  ординаты на краю шестиградусной зоны в средних широтах приблизительно равно 200 км (для широты 53°), в южных широтах (40°) эта величина превышает 250 км.

При у — 200 км величина относительного искажения линии равна

Следовательно, если по плану (или вычислением по координатам) в проекции Гаусса получено горизонтальное проложение линии длиной 1000 м, то на местности оно будет короче на 0,5 м. По мере приближения линии к осевому меридиану относительное искажение ее будет уменьшаться пропорционально квадрату расстояния от осевого меридиана, и даже при у = 100 км оно приблизительно равно 1/8000.

Таким образом, искажением линий на плоскости в проекции Гаусса в ряде случаев можно пренебречь; однако на краю шестиградусной зоны его следует учитывать, особенно если значение линии требуется знать с повышенной точностью.

Искажение линий  вызывает соответственно и искажение  площадей участков (контуров).

Проекция  Гаусса — равноугольная (конформная), поэтому для небольшого участка (практически в несколько тысяч или даже десятков тысяч гектаров) его изображение на плоскости в проекции Гаусса можно считать подобным его горизонтальному проложению на местности.

Тогда значение площади этого участка на местности Р и полученное по плану в проекции Р_г будут относиться как квадраты сходственных сторон, т. е.

или

Умножая числитель и  знаменатель правой части на и пренебрегая малыми величинами порядка и меньше, получим

    (3.11)

 — относительное  искажение площади,   которое  в два раза больше относительного искажения линии.

Если у = 200 км, относительное искажение площади равно 1/1000, то площадь в 1000 га, полученную по плану или вычисленную по координатам в проекции Гаусса, надо уменьшить на 1 га.

Из этого примера  видно, что для небольших площадей поправку за исключение можно не учитывать, а для больших площадей ее следует учитывать только на краях шестиградусных зон.

Следует иметь в виду, что если вычисленные тем или  иным способом площади участков (контуров) увязаны в трапеции установленной в СССР разграфки, причем площадь трапеции определена по специальным таблицам (в которых она дается неискаженной), то поправки в площади участка не вводят, так как они уже механически введены в процессе увязывания площадей.

Точность определения  отметок, превышений и уклонов по горизонталям плана

Среднюю квадратическую ошибку превышения h между точками 1 и 2 с отметками Н₁ и Н₂, равного h = Н₂ — Н₁  можно вычислить по формуле

 

При получим

    (3.12)

Строго говоря, формулу (3.12) можно применить в  том случае, если Н₁ и H₂ есть отметки точек, которые находятся на значительном расстоянии и определены независимо одна от другой, т. е. по несмежным горизонталям, для проведения которых использованы разные пикеты. Кроме того, на ошибку положения каждой горизонтали при малых высотах сечения рельефа влияют главным образом ошибки из-за топографической шероховатости и обобщения рельефа (имеются в виду небольшие углубления и возвышенности между пикетами, которые не замечаются топографом при съемке или фотограмметристом при рисовке рельефа на стереоприборах и не учитываются при проведении горизонталей). Эти ошибки при небольшом расстоянии между точками позволяют считать величины Н и Н зависимыми, вследствие чего более правильно в таких случаях принимать