Геодезические сети

E = X_изм – X

E = 100,05 – 100 = 0,05 (м)

Чтобы получить значение достаточно произвести одно измерение. Его называют необходимым, но чаще одним измерением не ограничиваются, а повторяют не менее двух раз. Измерения, которые  делают сверх необходимого, называют избыточными (добавочными), они являются весьма важным средством контроля результата измерения.

Абсолютная погрешность  не даёт представления о точности полученного результата. Например, погрешность в 0,06 м может быть получена при измерении l = 100 м или l = 1000 м. Поэтому вычисляют относительную погрешность:

C = E_ср / X

C = 0,06 / 100 = 1/1667, т.е на 1667 м измеряемой l допущена погрешность в 1 метр.

Относительная погрешность – отношение абсолютной погрешности к истинному или измеренному значению. Выражают дробью. По инструкции линия местности должна быть измерена не грубее 1/1000.

Погрешности, происходящие от отдельных факторов, называются элементарными. Погрешность обобщенная – это сумма элементарных.

Возникают:

• грубые (Q),
• систематические (O),
• случайные (∆).

Грубые погрешности измерений возникают в результате грубых промахов, просчётов исполнителя, его невнимательности, незамеченных неисправностях технических средств. Грубые погрешности совершенно недопустимы и должны быть полностью исключены из результатов измерений путем проведения повторных, дополнительных измерений.

Систематические погрешности измерений – постоянная составляющая, связанная с дефектами: зрение, неисправность технических средств, температура. Систематические погрешности могут быть как одностороннего действия, так и переменного (периодические погрешности). Их стремятся по возможности учесть или исключить из результатов измерений при организации и проведении работ.

Случайные погрешности измерений неизбежно сопутствуют всем измерениям. Погрешности случайные исключить нельзя, но можно ослабить их влияние на искомый результат за счет проведения дополнительных измерений. Это самые коварные погрешности, сопутствующие всем измерениям. Могут быть разные как по величине, так и по знаку.

E = Q + O +∆

Если грубые и систематические  погрешности могут быть изучены  и исключены из результата измерений, то случайные могут быть учтены на основе глубокого измерения. Изучение на основе теории вероятностей.

На практике сложность  заключается в том, что измерения  проводятся какое-то ограниченное количество раз и поэтому для оценки точности измерений используют приближённую оценку среднего квадратического отклонения, которую называют среднеквадратической погрешностью (СКП).

Гауссом была предложена формула  среднеквадратической погрешности:

∆²_ср = (∆²₁ + ∆²₂ +… +∆²_n) / n,

∆² = m² = (∆²₁ + ∆²₂ +… +∆²_n) / n,

∆ = m,

∆_ср = m = √(∑∆²_i / n)

Формула применяется, когда  погрешности вычислены по истинным значениям.

Формула Бесселя:

m = √(∑V²_i / (n-1))

Средняя квадратическая погрешность арифметической середины в Ön раз меньше средней квадратической погрешности отдельного измерения

М=m/Ön

При оценке в качестве единицы  меры точности используют среднеквадратическую погрешность с весом равным единице. Её называют средней квадратической погрешностью единицы веса.

µ² = P×m² – µ = m√P, m = µ / √P,

т.е. средняя квадратическая погрешность любого результата измерения равна погрешности измерения с весом 1 (µ) и делённая на корень квадратный из веса этого результата (P).

При достаточно большом числе  измерений можно записать ∑m²P=∑∆²P (так как ∆ = m):

µ = √(∑(∆²×P)/n),

 т.е. средняя квадратическая погрешность измерения с весом, равным 1 равна корню квадратному из дроби в числителе которого сумма произведений квадратов абсолютных погрешностей неравноточных измерений на их веса, а в знаменателе – число неравноточных измерений.

Средняя квадратическая погрешность общей арифметической середины по формуле:

M₀ = µ / √∑P

Подставив вместо µ её значение получим :

M0 = √(∑∆2×P/n) / (√∑P) = √[(∑∆2×P) / n×(∑P)]

M0 = √[ (∆12P1 + ∆22P2 +… + ∆n2Pn) / n×(P1 + P2 + … + Pn) ] – формула Гаусса, средняя квадратическая погрешность общей арифметической середины равна корню квадратному из дроби, в числителе которой сумма произведений квадратов погрешностей неравноточных измерений на их веса, а знаменатель – произведение количества измерений на сумму их весов.

µ = √ [∑( V2×P ) / (n-1)]

Это формула Бесселя для  вычисления средней арифметической погрешности с измерением веса, равным 1 для ряда неравноточных измерений  по их вероятнейшим погрешностям. Она  справедлива для большого ряда измерений, а для ограниченного (часто на практике) содержит погрешности: mµ = µ / [2×(n-1)] – это надёжность оценки µ.

Контрольная задача 1

Для исследования теодолита  им был многократно измерен один и тот же угол. Результаты оказались  следующими: 39˚17.4'; 39˚16.8'; 39˚16.6'; 39˚16.2'; 39˚15.5'; 39˚15.8'; 39˚16.3'; 39˚16.2'. Тот же угол был  измерен высокоточным угломерным прибором, что дало результат 39˚16'42". Приняв это значение за точное, вычислить среднюю квадратическую погрешность, определить надёжность СКП, найти предельную погрешность

Решение:

№ измерения	Результаты измерений, l	Погрешности ∆ = l-X	∆2
1	39˚17.4'	+1.39'	1.93
2	16.8	+0.79	0.62
3	16.6	+0.59	0.34
4	16.2	+0.19	0.036
5	15.5	-0.51	0.26
6	15.8	-0.21	0.044
7	16.3	+0.29	0.084
8	16.2	+0.19	0.036
Сумма			3.35

 

39˚16'42" = 39˚16.7'

Средняя квадратическая погрешность: m = √([∆²]/n),

m = √(3.35/8) = 0.64'.

Оценка надёжности СКП: m_m = m / √2n,

m_m = 0.64 / √16=0.16'.

Предельная погрешность: ∆_пр = 3×m,

∆_пр = 3×0.64' = 1.92'

Контрольная задача 3

При тригонометрическом нивелировании  были получены величины: расстояние, измеренное нитяным дальномером D =210.5 ± 0.8 м; угол наклона визирной оси при наведении  на

верх рейки n = ...0,5'; высота прибора i = 1,30 ± 0,008 м, высота рейки V = 3,00 ± 0,015 м. Вычислить превышение и его  предельную погрешность.

Указание: функция для  оценки точности имеет вид

h = 1/2 D×sin2n + i – V

h=1/2*210.5*sin(2*5°40)+1.30-.00=1/2*210.5*0.18738+1.30-3.00=18.02

 

Контрольная задача 4

При определении расстояния АВ, недоступного для изме-

рения лентой, в треугольнике АВС были измерены:

базис АС = 84,55 ± 0,11 м, углы А = 5б°27' и С= 35°14' с

СКП равной mb = 1'.

Вычислить длину стороны  АВ и ее СКП.

Указание: для решения  задачи применить теорему синусов

=

B=180°-(56°27+35°14)=88°19

=    AB==48.74 м

=

=-

+ + =0.0044

m=0.0663 м

Контрольная задача 5

Определить СКП расстояния вычисленного по формуле

S = √(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

если x2 = 6 068 740 м; y2 = 431 295 м;

x1 = 6 068 500 м; y2 = 431 248 м;

mх = my = 0,1 м.

Решение:

S =√(6 068 740 - 6 068 500 )2 + (431 295 - 431 248)2 =235,36

mm = 0,1/ √4 = 0,05

3.3 Веса измерений

Вес измерения – это отвлеченное число, обратно пропорциональное квадрату СКП результата измерения.

Формула веса:

P = К / m²,

где P – вес результата измерения,

К – произвольное постоянное число для данного ряда измерений,

m – СКП результата измерения.

Из формулы видно, что  чем меньше СКП измерения, тем  оно точнее и его вес больше.

Отношение весов двух измерений  обратнопропорционально квадратам СКП этих измерений, т.е.:

P₁ / P₂ = m₂² / m₁²

Если имеется ряд измерений  l₁, l₂, …, l_n, то очевидно, что вес одного измерения будет меньше веса среднего арифметического этих значений, т.е.:

P_m < P_M,

где m – погрешность одного измерения,

M – погрешность среднего арифметического значения.

Тогда отношение весов  обратнопропорционально отношению квадратов СКП:

P_M/P_m = m²/M²;M = m/√n;

P_M/P_m = m²/ (m/√n) ² = m²/ (m²/n) = m²×n/m² = n.

Таким образом, вес среднего арифметического значения больше отдельно взятого значения в n раз. Следовательно, вес арифметической середины равен числу измерений, из которых она составлена.

Общая арифметическая середина из неравноточных измерений равна  дроби, в числителе которой –  сумма произведений средних арифметических значений из результатов измерений  на их веса, а знаменатель – сумма  всех весов измерений. Следовательно, вес общей арифметической середины равен сумме весов неравноточных измерений:

A₀ = (a₁P₁ + a₂P₂ + … + a_nP_n) / (P₁ + P₂ + … +P_n),

где A₀ – общая арифметическая середина,

a_i – результат отдельно взятого измерения,

P_i – вес отдельно взятого измерения.

СКП любого результата измерения  равна погрешности измерения с весом 1, делимой на корень квадратный из веса этого результата, т.е.:

m = M/√P,

где m – СКП любого результата измерения;

M – погрешность измерения с весом 1;

P – вес данного результата измерения.

СКП измерения с весом 1 равна корню квадратному из дроби, в числителе которой – сумма  произведений квадратов абсолютных погрешностей неравноточных измерений  на их веса, а в знаменателе –  число неравноточных измерений.

M = √ (∑∆²P/n),

где ∆ - абсолютная погрешность  неравноточного измерения;

P –его вес;

n – число измерений.

Контрольная задача 9

Результатам измерения углов  соответствуют m₁ = 0,5; m₂ = 0,7; m₃ = 1,0. Вычислить веса результатов измерений.

Решение:

P = К / m²;

P₁ = 1 / (0,5)² = 4;

P₁ = 1 / (0,7)² = 2,04;

P₁ = 1 / (1,0)² = 1.

Ответ: 4; 2,04; 1.

Контрольная задача 11

Найти вес невязки в  сумме углов треугольника, если все  углы измерены равноточно.

Решение:

m = √[V²] / (n-1), n = 3

P = К / m²

m = √[ V²₁ + V²₂+ V²₃]/(3 – 1) = √[ V²₁ + V²₂+ V²₃]/2

P = К / √[ V²₁ + V²₂+ V²₃]/2 = 2 К / √[ V²₁ + V²₂+ V²₃] = 2/ ∑ V²_i

3.4 Функции по  результатам измерений и оценка их точности

В практике геодезических  работ искомые величины часто  получают в результате вычислений, как функцию измеренных величин. Полученные при этом величины (результаты) будут содержать погрешности, которые  зависят от вида функции и от погрешности  аргументов по которым их вычисляют.

При многократном измерении  одной и той же величины получим  ряд аналогичных соотношений:

∆U₁ = k∆l₁

∆U₂ = k∆l₂

…………..

∆U_n = k∆l_n

Возведём в квадрат  обе части всех равенств и сумму  разделим на n:

(∆U₁² + ∆U₂² + … + ∆U_n²) / n = k²×(∆l₁² + ∆l₂² + ... + ∆l_n²) / n;

∑∆U² / n = k²×(∑∆l² / n);

m = √(∑∆U² / n);

m² = k² × m_l²,

где m_l – СКП дальномерного отсчёта.

m = k × ml.

СКП функции произведения постоянной величины на аргумент равна произведению постоянной величины на СКП аргумента.