Законы постоянного тока

 

 

 Вычислим индукции по формуле:

      B1=m0I1/(2pr1), B2=m0I2/(2pr2),

где m0 – магнитная постоянная(m0 =4p∙10-7 Гн/м)                    (2)

Подставив значения величин в формулу (2), найдем модули В1 и В2:

 

=188 мкТл

 1-й случай. Векторы B1 и В2 направлены по одной прямой (рис. 3.3, а); следовательно, результирующая индукция В определяется по формуле (1). Приняв направление вверх положительным, вниз – отрицательным, запишем: В1=-38,2 мкТл, В2=188 мкТл.

Подставив в формулу (1) эти значения В1 и B2, получим

В=В1+В2=-38,2+188=149,8 мкТл.

 2-й случай. Векторы В1 и В2 направлены по одной прямой в одну сторону (рис. 3.3, б). Поэтому можем записать

В1=-38,2 мкТл.

В2=-188 мкТл.

Подставив в формулу (1) значения B1 и В2 получим

В=В1+В2=-38,2-188=-226,2 мкТл.

 3-й случай. Векторы индукций магнитных полей, создаваемых токами в точке, лежащей на расстоянии r1 и r2 от проводов, взаимно перпендикулярны (рис. 3.3, в). Результирующая индукция по модулю и направлению является диагональю прямоугольника, построенного на векторах В1 и В2. По теореме Пифагора найдем

      (3)

  Подставив в формулу (3) значения В1 и В2 и вычислив, получим Рис. 3.4

 

   Задача 3.3. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого отрезком бесконечно длинного прямого провода, в точке, равноудаленной от концов отрезка и находящейся на расстоянии r0=22,6 см от середины его (рис. 3.4). Сила тока I, текущего по проводу, равна 31,1 А, длина l отрезка равна 62,9 см.

Решение. Для определения магнитной индукции поля, создаваемого отрезком провода, воспользуемся законом Био –Савара–Лапласа:

 

(1)

 

 

Прежде чем интегрировать выражение (1), преобразуем его так, чтобы можно было интегрировать по углу a. Выразим длину элемента dl проводника через da. Согласно рис. 3.4, запишем

Рис. 3.4

Подставим это выражение dl в формулу (1):

Но r – величина переменная, зависящая от a и равная Подставив r в предыдущую формулу, найдем

       (2)

Чтобы определить магнитную индукцию поля, создаваемого отрезком проводника, проинтегрируем выражение (2) в пределах от a1 до a2:

  (3)

Заметим, что при симметричном расположении точки A относительно отрезка провода cos a2= – cos a1. С учетом этого формула (3) примет вид

       (4)

Из рис. 3.4 следует

 

  Подставив выражение cos a1 в формулу (4), получим

      (5)

Подставим числовые значения в формулу (5) и произведем вычисления:

 

 

 

  

 

4. Силы, действующие на движущиеся заряды в магнитном поле

 

Задача 4.1. По двум параллельным прямым проводам длиной l=3,09 м каждый, находящимся на расстоянии d=21,8 см друг от друга, текут одинаковые токи I=1,2 кА. Вычислить силу F взаимодействия токов.

Решение. Взаимодействие двух проводников, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток создает магнитное поле, которое действует на другой проводник. Предположим, что оба тока (обозначим их 1г и I2) текут в одном направлении.

Вычислим силу F1,2, с которой магнитное поле, созданное током I1, действует на проводник с током I2. Для этого проведем магнитную силовую линию так (штриховая линия на рис. 4.1), чтобы она касалась проводника с током I2. По касательной к силовой линии проведем вектор магнитной индукции В1. Модуль магнитной индукции B1 определяется соотношением

       (1)

Согласно закону Ампера, на каждый элемент второго проводника с током I2 длиной dl2 действует в магнитном поле сила (длинный проводник (l>>d) можно приближенно рассматривать как бесконечно длинный)

Так как отрезок dl перпендикулярен вектору B1, то и тогда

       (2)

Подставив в выражение (2) В1 из (1), получим

Силу F1,2 взаимодействия (по третьему закону Ньютона, сила, действующая на первый проводник со стороны второго, будет равна найденной по модулю и противоположной по направлению) проводников с током найдем интегрированием по всей длине второго проводника;

Заметив, что I1=I2=I и l2=l, получим

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу силы

 

Произведем вычисления:

 

 

Сила F1,2 сонаправлена с силой dF1,2 (рис. 4.1) и определяется (в данном случае это проще) правилом левой руки.

 

Задача 4.2. Провод в виде тонкого полукольца радиусом R=10,5 см находится в однородном магнитном поле (B=52,8 мТл). По проводу течет ток I=12,2 А. Найти силу F, действующую на провод, если плоскость полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции, а подводящие провода находятся вне поля.

 

 

 Решение. Расположим провод в плоскости чертежа перпендикулярно линиям магнитной индукции (рис. 4.2) и выделим на нем малый элемент dl с током. На этот элемент тока Idl будет действовать по закону Ампера сила dF=I[dlB]. Направление этой силы можно определить по правилу векторного произведения или по правилу левой руки.

Используя симметрию, выберем координатные оси так, как это изображено на рис. 4.2. Силу dF представим в виде

где i и j – единичные векторы (орты); dFx и dFy — проекции вектора dF на координатные оси Ох и Оу.

Силу F, действующую на весь провод, найдем интегрированием:

где символ L указывает на то, что интегрирование ведется по всей длине провода L. Из соображений симметрии первый интеграл равен нулю тогда

      (1)

Из рис. 4.2 следует, что

где dF – модуль вектора Вектор dl перпендикулярен вектору то Выразив длину дуги dl через радиус R и угол α, получим

 Тогда 

Введем dFy под интеграл соотношения (1) и проинтегрируем в пределах от -π/2 до +π/2 (как это следует из рис. 4.2):

Из полученного выражения видно, что сила F сонаправлена с положительным направлением оси Оу (единичным вектором j).

Найдем модуль силы F:

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу силы (Н):

Произведем вычисления:  

F=2∙12,2∙52,8∙10-3∙0,105=135,2∙10-3 Н= 0,14 Н.

 

 

Задача 4.3. На проволочный виток радиусом r=11,2 см, помещенный между полюсами магнита, действует максимальный механический момент Мmax=6,64 мкН∙м. Сила тока I в витке равна 38,4 А. Определить магнитную индукцию В поля между полюсами магнита. Действием магнитного поля Земли пренебречь.

Решение. Индукцию В магнитного поля можно определить из выражения механического момента, действующего на виток с током в магнитном поле,

      (1)

Если учесть, что максимальное значение механический момент принимает при α=π/2(sin α=l), а также что pm=IS, то формула (1) примет вид

Отсюда, учитывая, что S=πr2, находим

      (2)

Произведя вычисления по формуле (2), найдем:

  

 

        

 

5. Закон полного тока. Магнитный поток. Магнитные цепи

 

• Связь между магнитной индукцией В поля в ферромагнетике и напряженностью Н намагничивающего поля выражается графически (рис. 5.1).

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 5.1. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому течет ток I=53,4 А, расположена прямоугольная рамка так, что две большие стороны ее длиной l=67,9 см параллельны проводу, а расстояние от провода до ближайшей из этих сторон равно ее ширине. Каков магнитный поток Ф, пронизывающий рамку?

Решение. Магнитный поток Ф через поверхность площадью S определяется выражением

В нашем случае вектор магнитной индукции В перпендикулярен плоскости рамки. Поэтому для всех точек рамки Вn=В. Магнитная индукция В, создаваемая бесконечно длинным прямым проводником с током, определяется формулой

,

где x— расстояние от провода до точки, в которой определяется В.

Для вычисления магнитного потока заметим, что так как В зависит от х и элементарный поток Ф будет также зависеть от х, то

 dф=B(x)dS.

Разобьем площадь рамки на узкие элементарные площадки длиной l, шириной dx и площадью dS=ldx (рис. 5.2). В пределах этой площадки магнитную индукцию можно считать постоянной, так как все части площадки равноудалены (на расстояние х) от провода. С учетом сделанных замечаний элементарный магнитный поток можно записать в виде

  dФ=

Проинтегрировав полученное выражение в пределах от x1=a до х2=2а, найдем:

|а2а.

Подставив пределы, получим

       (1)

 Убедимся  в том, что правая часть полученного  равенства дает единицу магнитного  потока (Вб): [m0] [I] [l]= Гн/м ×1 А ×1 м=1 Вб. Произведя вычисления по формуле (1), найдем:

 

 

 

Задача 5.2. Определить индукцию В и напряженность Н магнитного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, содержащей N=208 витков, идет ток I=5,76 А. Внешний диаметр d1 тороида равен 31,6 см, внутренний d2= 20,7 см.

Решение. Для определения напряженности магнитного поля внутри тороида вычислим циркуляцию вектора Н вдоль линии магнитной индукции поля:

Из условия симметрии следует, что линии магнитной индукции тороида представляют собой окружности и напряженности во всех точках этой линии одинаковы. Поэтому в выражении циркуляции напряженность Н можно вынести за знак интеграла, а интегрирование проводить в пределах от нуля до 2 pr, где r — радиус окружности, совпадающей с линией индукции, вдоль которой вычисляется циркуляция, т. e.

      (1)

С другой стороны, в соответствии с законом полного тока циркуляция вектора напряженности магнитного поля равна сумме токов, охватываемых контуром, вдоль которого вычисляется циркуляция:

       (2)

Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим

       (3)

Линия, проходящая вдоль тороида, охватывает число токов, равное числу витков тороида. Сила тока во всех витках одинакова. Поэтому формула (3) примет вид 2prH=NI, откуда

       (4)

Для средней линии тороида r=1/2(R1+R2)=1/4(d1+d2). Подставив это выражение r в формулу (4), найдем:

       (5)

Магнитная индукция В0 в вакууме связана с напряженностью поля соотношением B0=m0H. Следовательно,

       (6)

Подставив значения величин в выражения (5) и (6), получим:

  

              [Н]=1А/1м

               B0=m0H=4∙10-7∙1461=1,8∙10-3 Тл=1,8 мТл.

                   [B0]=[1Гн/м∙1А/м]

 

Задача 5.3. Чугунное кольцо имеет воздушный зазор длиной lо=5,15 мм. Длина l средней линии кольца равна 1,07 м. Сколько витков N содержит обмотка на кольце, если при силе тока I=4,09 А индукция В магнитного поля в воздушном зазоре равна 0,67 Тл? Рассеянием магнитного потока в воздушном зазоре можно пренебречь. Явление гистерезиса не учитывать.

Решение. Пренебрегая рассеянием магнитного потока, мы можем принять, что индукция поля в воздушном зазоре равна индукции поля в чугуне. На основании закона полного тока запишем

IN=Hl+H0I0.

По графику (см. рис. 5.1) находим, что при В=0,67 Тл напряженность Н магнитного поля в чугуне равна 3,0 кА/м. Так как для воздуха m=1, то напряженность поля в воздушном зазоре:

H0=B/m0=0,67/4∙3,14∙10-7 =0,053∙107 A/м=0,53 МА/м.

Искомое число витков

N=(Hl+H0 lo)/I=(3000∙1,07+530000∙0,00515)/4,09=1452 (витков)

 

 

 

6. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле. Электромагнитная индукция. Индуктивность

 

Задача 6.1. Виток, по которому течет ток I=21,4 А, свободно установится в однородном магнитном поле В=22 мТл. Диаметр d витка равен 10,3 см. Какую работу нужно совершать, чтобы медленно повернуть виток на угол a=p/2 относительно оси, совпадающей с диаметром?

Решение. При медленном повороте контура в магнитном поле индукционными токами можно пренебречь и считать ток в контуре

неизменным. Работа сил поля в этом случае определяется выражением

где Ф1 и Ф2 – магнитные потоки, пронизывающие контур в начальном и конечном положениях.

Работа внешних сил будет равна модулю работе сил поля и противоположна ей по знаку, т. е.

      (1)

Так как в начальном положении контур установился свободно (положение устойчивого равновесия), то момент внешних сил, действующий на контур, равен нулю. В этом положении вектор магнитного момента pm контура сонаправлен с вектором В (рис. 6.1, а) и магнитный поток Ф1 максимален (a=0, cos a=1), т. е. Ф1=ВS (где S – площадь контура). В конечном положении (рис. 6.1, б) вектор pm перпендикулярен вектору B (a=p/2, cos a=0) и магнитный поток Ф2=0. Перепишем выражение (1) с учетом сделанных замечаний:

Так как площадь контура S=pd2/4. то работа