Трение - сила знакомая, но таинственная

Конечно, как только эффект был понят, нашлись и достаточно простые инженерные решения, чтобы  преодолеть неприятные последствия: как  и в тех судах, которые возят  настоящие жидкости, трюм был разделен на отсеки, не позволявшие всему ожиженному грузу наваливаться на один борт.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Современная физика далеко ушла от того времени, когда можно  было рассуждать на пальцах. Любое явление  считается познанным, изученным, только если для него найдено строгое  формальное описание, математическая модель, позволяющая рассчитать ход  физического процесса, предсказать  его поведение. Мы уже убедились, что трение - очень непростое явление, а потому его строгое описание требует и очень тонких математических средств.

Начнем с описания стандартного эксперимента.

Закон Ньютона дает

ma = F,

где m - масса тела, a - ускорение, а F - равнодействующая приложенных  к телу сил. Если x - перемещение тела, а u0 - скорость вытягивания, то u0t - x - растяжение пружины, так что

F = c(u0t - x) - Fтр ,

где через c обозначена жесткость  пружины.

Примем простейшую модель трения (XIX век!). Тогда в покое  сила трения уравновешивает упругую  силу, Fтр = c(u0t - x), но вплоть до предела, когда сила достигает уровня FSt , после чего начинается движение, когда сила трения удерживается на более низком, кулоновском уровне FC . Напомним, что скорость есть производная перемещения по времени, а ускорение - производная скорости, то есть вторая производная перемещения. Теперь закон Ньютона приводит к дифференциальному уравнению

причем в момент страгивания t1 тело еще оставалось на месте, то есть x(t1) = 0, и скорость была равна нулю:

Зная простейшие правила  дифференцирования, нетрудно проверить, что в ходе движения, t $ t1 , перемещение и скорость будут изменяться согласно формулам:

где

Видно, что скорость сначала  возрастает, а потом падает и достигает  нуля, то есть тело остановится.

Хорошим упражнением по тригонометрии  может послужить доказательство того, что продолжительность интервала  движения

После остановки тело вновь  прилипает и останется неподвижным, пока упругая сила не преодолеет барьер FSt . Также элементарными средствами можно доказать, что длительность интервала покоя

Очевидно, что дальше все  будет повторяться с периодом T = Tдв + Tп , то есть скорость будет периодически колебаться (рис. 5).

Итак, сравнительно просто удалось  построить формулы, позволяющие  описать движение и предсказать  длительности интервалов покоя, которые, как было показано, не должны зависеть от скорости. Однако тщательные эксперименты показывают обратное: как правило, интервалы  покоя уменьшаются при увеличении скорости. Конечно, дело не в математической ошибке, а в физике: регистрация  силы в момент отрыва показала, что  она падает с увеличением роста, что уже отмечалось выше. Чтобы  учесть этот факт, надо изменить саму классическую модель трения. Среди многих новых  моделей одна отличается наибольшей простотой, позволяя при этом объяснить  основные экспериментальные факты. Основная идея этой модели [4] проста: сила трения определяется упруговязким сопротивлением деформации пиков на неровных поверхностях, а сама средняя скорость деформации зависит от скорости u относительного движения. Формально имеем

где зависимость F(u) соответствует  кривой, представленной на рис. 2, б или  в. Отказавшись для простоты от учета  вязкости, то есть положив c1 = 0, и приняв график на рис. 2, в, исключим переменную z. Тогда для силы сухого трения получим  соотношение

Мы убеждаемся, что сила трения зависит не только от скорости u относительного перемещения контактирующих поверхностей, но и от скорости роста  самой силы. Если жесткость пиков c0 считать бесконечной, то второе слагаемое  пропадет и мы придем к обычной формуле, отличающейся от классической только учетом штрибек-эффекта. Однако чем больше скорость роста силы, тем меньше оснований пренебрегать этим слагаемым.

МАТЕМАТИКА ВИБРАЦИОННОГО  СГЛАЖИВАНИЯ

Для обеспечения вибрационного  сглаживания требуется приложить  быстроменяющуюся силу. Поэтому ясно, что классическая модель может оказаться  непригодной. Однако математическая задача описания даже простого эксперимента становится очень сложной. Действительно, надо учесть управление движения, которое  выглядит как

где учитывается, что трос вытягивается не равномерно, а еще  колеблется по синусоидальному закону с высокой частотой w, а кроме  того, сама сила трения связана со скоростью  еще одним дифференциальным уравнением. Получить явное точное решение здесь  невозможно. Однако удается построить  хорошее приближенное решение используя  идеи замечательных российских математиков  Н.Н. Боголюбова и А.Н. Тихонова. Приводить  строгие формулировки их теорем затруднительно, но их смысл очень прост. Теорема  Боголюбова утверждает: если на тяжелое, инерционное тело действуют быстроколеблющиеся силы, то оно в основном реагирует  только на среднее значение силы, испытывая  лишь дополнительную мелкую дрожь, которой  можно пренебречь. Теорема Тихонова говорит: если в системе могут  совершаться и быстро устанавливающиеся  и медленные движения, то при рассмотрении медленных можно пренебречь процессом  установления быстрых.

Конечно, эти слова не отражают всей глубины математических результатов (см., например, [5, 6]), но помогут  понять суть процедуры, упрощающей анализ проблемы вибрационного сглаживания. Процесс изменения силы трения быстро принимает установившийся периодический  характер (этому способствует большая  величина c0), и на движение самого тела в основном влияет лишь ее среднее  значение, а оно оказывается зависящим  от средней скорости смещения именно тем плавным образом, который  уже описывался на рис. 4. Практически  очень важно, что характеристики средней силы почти не зависят от поведения штрибек-эффекта, нестабильного и трудно оцениваемого экспериментально [7].

В заключение еще раз подчеркнем, что все аспекты науки о  трении - и физические, и математические - очень далеки от окончательного завершения и главная цель этой статьи - привлечь внимание к тайнам трения нового поколения  исследователей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Крагельский И.В., Добычин М.Н., Комбалов В.С. Основы расчетов на трение и износ. М.: Машиностроение, 1977. 526 с.

2. Блехман И.И., Джанелидзе Г.И. Вибрационное перемещение. М.: Наука, 1964. 313 с.

3. Armstrong-Helouvry B., Dupont P., Canudas de Wit C. A Survey of Models, Analysis Tools and Compensation Methods for Control of Machines with Friction // Automatika. 1994. Vol. 30, № 7. P. 1083-1138.

4. Canudas de Wit C., Olsson H., Astrom K.J., Lishinsky P. A New Model for Control of Systems with Friction // IEEE Trans. AC-40. 1995. № 3. P. 419-425.

5. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: Изд-во МГУ, 1971. 507 с.

6. Первозванский А.А. Курс  теории автоматического управления. М.: Наука, 1986. 615 с.

7. Pervozvanski A., Canudas de Wit C. Vibrational Smoothing in Systems with Dynamic Friction // Subm. to Trans. ASME. 1998.

* * *

Анатолий Аркадьевич Первозванский, доктор технических наук, профессор  кафедры "Механика и процессы управления" Санкт-Петербургского технического университета, заслуженный деятель науки и  техники РФ. Область научных интересов: теория управления, теория колебаний, исследование операций. Автор более 200 статей и десяти книг.