Разработка системы связи для передачи непрерывных сообщений дискретными сигналами

Показать на графике значения A, s, z(t₀).

Определить, какой  символ ("1" или "0") будет зарегистрирован приемником, используя отношение правдоподобия. Предварительно пояснив, что такое отношение правдоподобия, привести общее выражение для его вычисления применительно к варианту задания и сделать необходимые расчеты.

Привести выражение и поясните смысл критерия идеального наблюдателя.

Выполнение:

Если бы на входе  приемника отсутствовали помехи, то задача разделения сигналов была бы очень проста. При наличии же помех  сигналы искажаются, и для их описания приходится использовать вероятностное пространство. Сигналы вместе с помехами описываются функциями плотности вероятности w(z/s₁) и w(z/s₂), где w(z/s_i) представляет собой плотность вероятности того, что принятый сигнал Z образовался при передаче сигнала S_i, также называется функцией правдоподобия.

Отношение называется отношением правдоподобия, и чем больше значение w(Z/S_i), тем более вероятно, что Z содержит сигнал S_i

Выражение называется пороговым отношением правдоподобия.

Приемник вычисляет отношение правдоподобия l(z), и далее по известным априорным вероятностям P(s₁) и P(s₂) и весовым коэффициентам P₁₂, P₂₁ (риск), вычисляется пороговое отношение правдоподобия l₀.

Если l(z) > l_0, то приемник выдает сигнал S₁, если нет то сигнал S₂.

Приём сигналов фазовой модуляции возможен только с помощью синхронного (когерентного) детектора, различающего фазы принимаемых сигналов.

Помеха в канале связи (флуктуационная) с нормальным законом  распределения мгновенных значений.

w (x) =

Плотность вероятности  сигнала Z(t) = S_i (t)+ x(t) имеет вид.

w (Z/S₁) =

w (Z/S₂) =

При отсутствии сигнала, плотность вероятности  будет находиться по формуле

.

Алгоритм различения двух и более сигналов на фоне белого Гауссовского шума по методу идеального наблюдателя имеет следующий смысл – наиболее вероятным переданным сигналом считается тот сигнал, который меньше отличается от принятого сигнала. Таким образом, оптимальный приемник манипулирует средней вероятностью ошибки. В аналитической форме алгоритм оптимального приемника имеет вид:

если это  условие выполняется то принимаем S₁(t), иначе S₂(t).

Результаты  вычислений

Z,10-3	-8,29	-7,29	-6,29	-5,29	-4,29
W(z/S1)	4,93789∙10-20	1,9245∙10-16	3,555∙10-13	3,112∙10-10	1,29∙10-7
W(z/S2)	0,022667994	0,652733554	8,9076845	57,610248	176,57967
W(x)	1,88637∙10-10	6,31942∙10-7	0,0001003	0,0075491	0,2691929

 

Z,10-3	-3,29	-2,29	-1,29	0	1,29	2,29	3,29
W(z/S1)	2,53798∙10-5	0,00236481	0,1044263	4,5492303	57,610248	176,57967	256,50018
W(z/S2)	256,5001848	176,579669	57,610248	4,5492303	0,1044263	0,0023648	2,538∙10-5
W(x)	4,549230307	36,43495242	138,29438	256,50018	138,29438	36,434952	4,5492303

 

Z,10-3	4,29	5,29	6,29	7,29	8,29
W(z/S1)	176,579669	57,61024822	8,9076845	0,6527336	0,022668
W(z/S2)	1,29088E-07	3,11166E-10	3,555E-13	1,925E-16	4,938E-20
W(x)	0,269192944	0,007549105	0,0001003	6,319E-07	1,886E-09

 

График рассчитанных плотностей вероятностей.

; ;

Рисунок 3. Кривые плотностей распределения W(x), W(z/0) и W(z/1).

 

 

В данном случае приемник, оптимальный по критерию идеального наблюдателя (минимума средней вероятности  ошибки), последствия ошибок   и равнозначны и весовые коэффициенты P₁₂= P₂₁=1, тогда средняя вероятность ошибки минимизируется:

P(Z_i/S_j) - условные вероятности ошибочного приема, чем она меньше тем меньше вероятность ошибки.

P(S_i) - априорные вероятности излучения.

Отсюда найдем пороговое отношение правдоподобия:

 

 

Отношение правдоподобия:

 
 l(z)>l₀, (56,36>2,704), значит приемником будет зарегистрирован символ ("1").

 

3.4. Вероятность ошибки на выходе приемника.

Данные:

Вид сигнала в канале связи  – (ДФМ).

Способ приема сигнала (КГ).

Задание:

Рассчитать  вероятность неправильного приема двоичного символа (среднюю вероятность  ошибки) в рассматриваемом приемнике для вида сигнала (ДФМ) и способа приема (КГ), а также зависимость p(h).

Построить график p(h) для 4-5 значений h с учетом реальной полосы пропускания приемника (на этом графике показать точку, соответствующую рассчитанной величине h и вычисленной вероятности ошибки).

Выполнение:

Средняя вероятность ошибки при ДФМ равна

.

Рассчитаем среднюю вероятность  ошибки для заданного вида сигнала  и способа приема:

; 

Оптимальная полоса пропускания фильтра:

 Гц;  .

Т - длительность элемента сигнала.

В итоге: Гц.

Таблица зависимости 

.

h	0	0,5	1	2	2,5	3
	0,5	0,24196	0,08076	0,002255	1,93*10-4	£3,2*10-5

 

График зависимости  .

Рисунок 4. Зависимость 

. 
3.5. Выигрыш в отношении сигнал/шум при применении оптимального приемника.

Задание:

В предположении оптимального приема (фильтрации) сигналов определить:

выигрыш в отношении  сигнал/шум оптимального приемника  по сравнению с рассчитываемым;

максимально возможное  отношение сигнал/шум h²₀;

Выполнение:

При оптимальной  фильтрации основная задача – обеспечение максимального отношения мощности сигнала к мощности помехи на выходе.

Максимально возможное отношение  сигнал/шум:

;

- спектральная плотность помехи.

;  ;

Рассчитанное отношение сигнал/шум  для данного приема:

;

;

Энергетический выигрыш в отношении  сигнал/шум оптимального приемника  по сравнению рассчитываемым энергетическим выигрышем больше в 2 раза.

; 

При оптимальном приеме форма сигнала  на выходе не сохраняется. Обеспечивается максимальное отношение сигнал/помеха ( в точке t₀), потому что характеристика k(w) является неравномерной. Применяют сигнал большей длительности. В схеме неоптимального приемника после синхронного детектора нет интегратора, который есть в приемнике Котельникова, перед синхронными детекторами стоят фильтры. Оптимальные фильтры дают на выходе отношение сигнал/шум равное 2, следовательно и выигрыш в отношении сигнал/шум при оптимальном приеме равен 2.

 

3.6. Максимально возможная помехоустойчивость при заданном виде сигнала.

Задание:

Дать определение  потенциальной помехоустойчивости, и описать условия, при которых она достигается.

Определить потенциальную помехоустойчивость приема символов.

 

 

Выполнение.

Помехоустойчивостью системы  связи называется способность системы  различать (восстанавливать) сигналы  с заданной достоверностью. Задача определения помехоустойчивости всей системы в целом весьма сложна. Поэтому часто определяют помехоустойчивость отдельных звеньев системы: приемника при заданном способе передачи, системы кодирования, или системы модуляции при заданном способе приема и т. д. Согласно теории потенциальной помехоустойчивости: любая система передачи информации с заданным ансамблем сигналов, в условиях конкретных помех имеет предельную помехоустойчивость, которая не может быть улучшена путем совершенствования приемника и поэтому называется потенциальной помехоустойчивостью.

Предельно достижимая помехоустойчивость называется, по Котельникову, потенциальной помехоустойчивостью. Потенциальная помехоустойчивость достигается тогда, когда приемник сохраняет все параметры сигнала, как несущие информацию, так и не несущие. Сравнение потенциальной и реальной помехоустойчивости устройства позволяет дать оценку качества реального устройства и найти еще неиспользованные резервы. Зная, например, потенциальную помехоустойчивость приемника, можно судить, насколько близка к ней реальная помехоустойчивость существующих способов приема и насколько целесообразно их дальнейшее усовершенствование при заданном способе передачи.

Условия, при которых  она достигается:

Приемник должен быть оптимальным (воспроизводящий передаваемое сообщение наилучшим образом в смысле выбранного критерия, отношение сигнал/шум должно быть максимальным).

Оптимальный приёмник – это приемник с оптимальным фильтром и когерентным  способом приёма.

Потенциальная помехоустойчивость приема символов:

Так как количественной мерой помехоустойчивости для данного вида сигнала является вероятность ошибочного приема, то нужно определить среднюю вероятность ошибки при оптимальном приеме:

 

3.7. Принятие решения приемником по трем независимым отсчетам.

Задание:

Определить, какой символ будет зарегистрирован на приеме при условии, что решение о переданном символе принимается по совокупности трех некоррелированных (независимых) отсчетов:

Z₁= Z(t₁) = 0,8215∙10^-3 в 
Z₂=Z(t₂) =0,429∙10^-3 в 
Z₃ = Z(t₃) =0,903∙10^-3 в

на длительности элемента сигнала Т (метод многократных отсчетов или метод дискретного синхронного накопления).

Предварительно  вывести общее выражение для вычисления отношения правдоподобия применительно к варианту задания и сделать необходимые расчеты.

Выполнение:

Так как на протяжении сигнала производятся три отсчета, то для нахождения отношения  правдоподобия требуется найти  трехмерную плотность вероятностей W. Учитывая, что отсчеты некоррелированы (Dt больше интервала корреляции), а помеха распределена по Гауссовскому закону, эти отсчеты можно считать независимыми. В этом случае трехмерная плотность вероятностей равна произведению одномерных плотностей.

;

;

Пороговое отношение  правдоподобия:

;

Из отношения правдоподобия  найдем:

 

, значит, была передана "1".

 

3.8. Вероятность ошибки при использовании метода синхронного накопления

Задание:

Найти ожидаемую  среднюю вероятность ошибки в  приемнике, использующем метод синхронного накопления.

Пояснить физически, за счет чего, во сколько раз и  какой ценой достигается повышение  помехоустойчивости приема дискретных сообщений при методе синхронного накопления (увеличение отношения сигнал/шум и уменьшение вероятности ошибки).

Выполнение.

При синхронном накоплении происходит “n” отсчетов, которые суммируются. Этот метод применим в том случае, если на протяжении сигнала длительность t намного превышает интервал корреляции помехи, что в нашем случае применимо.

Отсчеты берутся на расстоянии, равном интервалу корреляции. Решения приемником принимаются по всей совокупности из N отсчетов. Это позволяет увеличить помехоустойчивость системы, но при этом скорость уменьшается в N раз.

 

Расчет средней  вероятности ошибки в приемнике, использующем метод синхронного накопления.

N=3;

;

;

 

В методе синхронного  накопления амплитуда возросла в N раза, т.е., в нашем случае, в 3 раза. Помеха в разных сечениях имеет разные фазы и возрастает по мощности в 3 раза. Однако, сигнал накапливается лучше, чем помеха. За счет этого повышается помехоустойчивость системы.

 

3.9. Применение импульсно-кодовой модуляции для передачи аналоговых сигналов.

Задание:

Описать сущность, достоинства и недостатки ИКМ  с приведением необходимых графических иллюстраций, поясняющих полный процесс преобразования непрерывного сообщения в сигнал ИКМ.

Рассчитать  мощность шума квантования и отношение  сигнал/шум квантования h²_кв для случая поступления на вход приёмника сигнала с максимальной амплитудой.

Пояснить соображения  выбора значения шага квантования (в  том числе и с учётом уровня шума).