Простейшие движения абсолютно твердых тел (поступательное, вращательное, плоско-параллельное)

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Челябинский Государственный Педагогический Университет 
 
 
 
 

Контрольная работа

по Технической механике

на  тему: Простейшие движения абсолютно твердых тел (поступательное, вращательное, плоско-параллельное) 
 
 
 
 

                     Выполнил:

Проверил:  
 
 
 
 
 
 

Челябинск

2009 

 Содержание

Введение…………………………………………….…………………………….3

1. Поступательное движение …………………….……………………………...4

2. Вращательное движение………………………………………………………5

       2.1 Равнопеременное вращательное движение…………………………….7

       2.2 Неравномерное вращательное движение………………………………7

       2.3 Равнопеременное вращательное движение…………………….…..….8

3. Плоскопараллельное движение……………………………...………….…….8

       3.1 Метод мгновенных скоростей…………………………………….….…9

       3.2 Разложение плоскопараллельного движения на поступательное и

             вращательное…………………………………..……………………….10             
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

     Абсолютно твердым телом называется тело, деформациями которого по условиям задачи можно пренебречь. У абсолютно твердого тела расстояние между любыми его точками с течением времени не меняется. В термодинамическом смысле такое тело не обязательно должно быть твердым.  Например, легкий резиновый шарик, наполненный водородом, можно рассматривать как абсолютно твердое тело, если нас интересует его движение в атмосфере. Положение абсолютно твердого тела в пространстве характеризуются шестью координатами. Это видно из следующих соображений. Положение абсолютно твердого тела полностью фиксируется заданием трех точек, жестко связанных с телом. Положение трех точек задается девятью координатами, но поскольку расстояния между точками неизменны, то эти девять координат будут связаны тремя уравнениями.

     Следовательно, независимых координат, определяющих положение твердого тела в пространстве, останется шесть. Числу независимых координат соответствует число независимых видов движения, на которые может быть разложено произвольное движение тела. У абсолютно твердого тела таких движений шесть. Говорят, что абсолютно твердое тело обладает шестью степенями свободы. Независимые виды движения тела можно выбрать по-разному. Например, поступим следующим образом. Свяжем с твердым телом "жестко" одну точку и будем следить за ее движением и за движением тела вокруг этой точки. Движение одной точки описывается тремя координатами, т.е включает в себя три степени свободы. Их называют поступательными степенями свободы. Три другие степени свободы приходятся на вращательное движение тела вокруг выбранной точки. Соответствующие степени свободы называются вращательными. 
        Таким образом, движение твердого тела можно разделить на поступательное, вращательное вокруг неподвижной точки и плоско-параллельное.  
 

1. Поступательное  движение

      Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором всякая прямая, проведенная в этом теле, остается параллельной своему начальному положению. 

     Проведенная в теле прямая АВ (рис. 1) во время  движения перемещаются параллельно своему начальному положению. Рассмотрим перемещение тела за малый промежуток времени ∆t.  При этом можно считать что точки А и В перемещаются по прямолинейным и параллельным прямым. За время ∆t они пройдут одинаковые пути ∆s. Следовательно, скорости этих точек будут одинаковы по величине

 

υ_А= υ_В = υ  = 

и направлены в одну сторону, т.е.

 

     Аналогично  доказывается равенство ускорений  точек тела при поступательном движении:

 

      Следовательно, при поступательном движении тела все  его точки описывают одинаковые траектории и в любой момент времени имеют равные по величине и параллельно направленные скорости и ускорения.

      Поступательное  движение тела вполне характеризуется  движением одной его точки, которое  может быть задано координатами или  естественным способом. Однако поступательное движение может совершать только твердое тело, а не отдельная точка. Примерами поступательного движения служат движение кузова вагона трамвая на прямолинейном участке пути, движение кабинок колеса обозрения, педалей велосипеда, поступательно движется стол продольно-строгального станка, поршень стационарного двигателя внутреннего сгорания. 

2. Вращательное движение

    Другим простейшим видом механического движения является вращательное движение абсолютно твердого тела. При таком движении его точки  описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат на одном прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения.

    Вращательное  движение тела или точки характеризуется  углом поворота, угловой скоростью  и угловым ускорением (рис. 2). 

   Угол  поворота φ - это угол между двумя последовательными положениями радиуса вектора r, соединяющего тело или материальную точку с осью вращения. Угловое перемещение измеряется в радианах.

   Угловая скорость  - векторная физическая величина, показывающая, как изменяется угол поворота в единицу времени и численно равная первой производной от угла поворота по времени, т.е.  . Направление вектора угловой скорости   совпадает с направлением вектора углового перемещения, т.е. вектора, численно равного углу φ и параллельного оси вращения; оно определяется по правилу буравчика: если совместить ось буравчика с осью вращения и поворачивать его в сторону движения вращающейся точки, то направление поступательного перемещения буравчика определит направление вектора угловой скорости. Точка приложения вектора произвольна, это может быть любая точка плоскости, в которой лежит траектория движения. Удобно совмещать этот вектор с осью вращения. Рассмотрим следующие виды вращения: равномерное, неравномерное и равнопеременное.

   2.1 Равномерное вращательное движение

Если  тело вращается вокруг неподвижной  оси с постоянной угловой скоростью, то движение называется равномерным. Формулы равномерного вращательного движения:

ω = const, φ = ωt

Угловая скоpость показывает, на какой угол повоpачивается тело в секунду. 
Угловая скоpость хаpактеpизуется знаком. Она    меньше нуля,  если  угол меняется в напpавлении, обpатном    положительному     напpавлению   его отсчета. 
        Если   тело   вpащается   в   одну    стоpону,   то  его  движение   иногда описываетсячислом обоpотов N. Число обоpотов N связано с углом повоpота фоpмулой 
                                                        
                                                                                                                          
        В этом   случае   вместо   угловой  скоpости   вводят   понятие частоты вpащения   (число  обоpотов в  секунду).  Частота  вpащения pавна пеpвой пpоизводной от числа обоpотов по вpемени, т. е. 
 
                                                                                                                                                                                                          
        Если вpащение pавномеpное, то угловую скоpость можно   опpеделить

известной формулой:  
                                                   

      Пример: Маховое колесо вращается равномерно с угловой скоростью 4π рад/с. Сколько оборотов колесо сделает за 2мин?

      Решение: Применим формулу равномерного вращательного  движения и определим угловое  перемещение колеса за время t=2мин=120с:

Далее определим число оборотов N тела за тот же промежуток времени:

= 480π/2 π= 240 об.

2.2 Неравномерное вращательное  движение

      Если  угловая скорость вращающегося тела с течение времени меняется, то движение называется неравномерным. В самом общем виде формулы неравномерного вращательного движения запишутся так:

, ω

Выражение обозначают α и называют угловым ускорением. Угловое ускорение есть кинематическая мера изменения угловой скорости вращающегося тела:  

α

.

Угловое ускорение равно первой производной  угловой скорости или второй производной углового перемещения по времени. Нормальное ускорение определяется по формуле: α_n = ω²r.

2.3 Равнопеременное  вращательное движение

      Если  тело вращается вокруг неподвижной  оси с постоянным угловым ускорением, то движение называется равнопеременным. Формулы этого вида вращательного движения могут быть получены таким же способом, каким были выведены формулы равнопеременного движения точки, т.е. с помощью интегрального исчисления.

      Итак, если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси равнопеременно, то

α

= const,

откуда dω = αdt.

Интегрируя  это равенство по t, получим dω= αdt,

где ω₀ – начальная угловая скорость.

Угловая скорость показывает, на какой угол поворачивается тело в секунду. 
Окончательно получим формулу угловой скорости в таком виде:

 ω = ω₀ + αt. 

3. Плоскопараллельное движение

   Плоскопараллельным движением твердого тела называется такое движение, при котором все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных какой-то одной плоскости, называемой основной.

    Примерами плоскопараллельного движения могут служить движение колеса на прямолинейном участке пути, движение шатуна кривошипно-ползунного механизма.

            Из определения плоскопараллельного движения следует, что любая прямая  АВ, проведенная в теле перпендикулярно основной плоскости, движется поступательно (рис. 3). Для определения движения тела на каждой прямой, перпендикулярной основной плоскости, надо знать движение только одной точки. Взяв эти точки в одной плоскости Q, параллельной основной, получим сечение S, движение которого определяет движение тела. Но плоское движение сечения S вполне определяется движением двух любых его точек C и D или отрезка CD.