Оптика и строение атома. Элементы физики атома

ОПТИКА И СТРОЕНИЕ АТОМА. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ АТОМА

Руководство к лабораторным работам 315, 316

 

1. Экспериментальные данные о  спектрах излучения

Эксперименты показывают, что при нагревании различных чистых веществ (см. таблицу  Менделеева), вещества испускают электромагнитное излучение различных частот или длин волн. Набор излучаемых частот или длин волн (частоты и длины волн связаны через скорость света в вакууме соотношением ν = c/λ ) называют спектром излучения. Для каждого вещества он оказался спецефичным и по нему можно определять тип чистого вещества и его наличие в смесях различных веществ. Этот метод изучения строения вещества называется оптическим спектральным анализом. Обычно, в спектральных аппаратах излучение наблюдается в виде соответственных цветных линий, поэтому говорят о “линиях спектра”. Например было обнаружено, что спектр атома водорода в видимой области состоит из дискретного набора частот (длин волн), которые располагается в определенном порядке (Рис.1)

 

                 

                                                  Спектр излучения атомов водорода

 

                 

         Рис.1. Спектры излучения атомов в видимом диапозоне (длины волн даны в нанометрах).

 

Излучаемые спектры веществ наблюдаются также в инфракрасной и ультрафиолетовой областях частот. Спектры делятся на линейчатые, полосатые и сплошные в соответствии от структуры “линий” спектра. Линейчатые спектры состоят из отдельных частот (как у водорода), образованных вследствие излучений одноатомных газов и паров металлов. Полосатые спектры, характерны для многоатомных молекул, они образованы большим числом отдельных частот. Сплошные (непрерывные) спектры принадлежат нагретым жидкостям и твердым веществам (спектр Солнца тоже непрерывный). Все три вида спектров обусловлены особенностями энергетического состояния электронов в атомах и молекулах вещества.

 Рассмотрим спектр простейшего атома - атома водорода. Спектральный анализ показал, что спектр атомов водорода состоят из нескольких серий. У атома водорода  было обнаружено несколько серий частот излучения, наиболее известные описываются формулами для частот:

          серия Лаймана для ультрафиолетового излучения,

 серия Бальмераа  для видимого излучения,                                                  (1)

                  серия Пашена для инфракрасного излучения,                                      

                    

здесь R-постоянная Ридберга, n – номер частоты (номер линии спектра излучения) в серии.  Кроме серии Пашеиа в инфракрасной области спектра были обнаружены серии Брэккета, Пфунда. Анализ всех экспериментальных данных позволил установить обобщенную эмпирическую формулу, называемую формулой Бальмера-Ритца, которая описывает значения всех частот (положение всех спектральных линий) атома водорода на шкале частот:

 

                                                         (2)

где n – номер серии, m – номер линии в спектре. Для серии Лаймана n = 1, а частоты соответствующих спектральных линий могут быть определены по формуле (2) при m = 2, 3, …; для серии Бальмера n = 2, m = 2, 3, … , часть линий серии Бальмера лежит в видимой области спектра и поэтому доступна визуальному наблюдению; частоты спектральных линий серий Пашена. Брэккета, Пфунда также могут быть вычислены по формуле (2) при n = 3, 4, 5 соответственно.

 

2. Строение атома водорода и элементарная теория излучения по Бору.

 

В в 1911г. английский ученый Резерфорд предложил планетарную модель атома. Согласно этой модели атом построен по типу Солнечной системы - в центре атома в очень малой области (10-14 м) находится положительно заряженное ядро, в котором сосредоточена почти вся масса атома, а вокруг ядра под действием сил Кулоновского притяжения двигаются по замкнутым орбитам электроны (примерный радиус орбит -10-10м). При этом суммарный заряд электронов равен по величине заряду ядра, поэтому в целом атом нейтрален. Согласно классической электродинамике электрон, двигающийся по орбите вокруг ядра должен испускать электромагнитные волны непрерывного спектра частот. При этом он теряет свою энергию и через малый интервал времени (10-8 с) должен упасть на ядро, то есть такой атом нестабилен и имеет очень малое время жизни. Но, как известно, атомы отличаются большим временем жизни, а спектр излучения имеет дискретный характер. Таким образом, планетарная модель атома требовала серьезных доработок.

Для объяснения спектров излучения и поглощения атома водорода  в 1913г. датский ученый Бор добавил к этой модели три ограничения  (постулата), которые не соответствовали законам классической механики.

1. Атом может находиться в различных состояниях, в этих состояниях электрон двигается по определенным стационарным орбитам без излучения и без потери энергии. Эти орбиты называют Боровскими орбитами.

2. При движении по Боровским орбитам электрон имеет строго определенный (дискретный) момент импульса L (L равен произведению массы электрона, его скорости и радиуса  орбиты). Его значение задается формулой квантования Бора

              ,                                              (3)

 

где момент импульса  связывается с постоянной Планка h и квантовым числом n. Квантовое число n является номером состояния атома и номером Боровской орбиты электрона. В этих состояниях радиусы орбит электрона и его скорости различны, атом также имеет различные энергии. Обычно атом находится в основном или невозбужденном состоянии n=1 с наименьшим значением энергии, состояния с n = 2, 3, 4 имеют большие энергии и называются возбужденными.

3. При передаче атому энергии он переходит в какое-либо возбужденное состояние с n = 2, 3, 4… (если передача энергии производится с помощью электромагнитного излучения, то происходит поглощение атомом порции излучения), в возбужденном состоянии атом находится недолго (»10-8с), он испускает порцию (квант)  электромагнитного излучения и переходит в какое-либо состояние с меньшим квантовым числом. При всех переходах, в соответствии с законом сохранения энергии, энергия кванта e точно равна разности энергий атома

 

 e = En–Em.                                                                                        (4)

 

При использовании этих постулатов, расчет полной энергии атома Е, которая складывается из кинетической энергии вращения электрона и потенциальной энергии электростатического взаимодействия электрона с ядром приводит к соотношению  En = -hR/n2. Отсюда, используя  формулу немецкого ученого Планка для кванта электромагнитного излучения e  = hn и закон сохранения энергии в виде e = En-Em , можно получить n = (En-Em)/h = R(1/n2 - 1/n2), что полностью соответствует результатам  экспериментов (1). Таким образом, данная модель позволила рассчитывать и объяснять спектры атома водорода, за что в 1922 г. Бор был удостоен Нобелевской премии по физике. Изложенная выше теория была обобщена (Теория Бора-Зоммерфельда, 1915г.) и для описания "водородоподобных" атомов, содержащих один электрон, движущийся в поле ядра с положительным зарядом (таких как однократно ионизированный гелий, двукратно ионизированный литий, трехкратно ионизированный бериллий  и т.д.), но для более сложных атомов она оказалась непригодной. Строгое и точное объяснение структур спектров всех атомов и молекул было получено с помощью квантовой механики, созданной Гейзенбергом, Шредингером,  Борном и многими другими учеными начала ХХ века для описания поведения микрочастиц.

 

3. Строение атомов и теория излучения согласно квантовой механики

 

3.1. Основные положения квантовой  механики

 

Квантовая механика базируется, как и любая другая физическая теория, на ряде постулатов. Основные постулаты можно представить упрощенно в следующем виде.

1.Движение микрочастиц в пространстве имеет вероятностный (стохастический) характер. Это относится не только к совокупности (ансамблю) частиц, но и к каждой отдельной частице. Согласно этому постулату, микрочастица, находясь в силовых полях или в вакууме (при отсутствии полей), испытывает такое воздействие, что нельзя в любой момент времени определить точно параметры ее движения. Например, нельзя одновременно характеризовать ее траекторию точными значениями координат и скорости или точными значениями энергии и времени какого-либо процесса у частицы.

2.Стохастический характер  движения микрочастиц требует  применения понятий математики  теории вероятности для описания  и расчета определенных значений  параметров частиц в эксперименте. С точки зрения математики, отсюда следует, что движение таких частиц должно описываться с помощью некоторой «особой» волновой функции, которая должна характеризовать вероятностные особенности микрочастиц. Интерпретацию волновой функции дал в 1926г. немецкий физик Макс Борн следующим образом - волновая функция ψ (х, у, z) характеризует вероятность нахождения частицы в данный момент времени в некоторой точке пространства. Согласно Борну, физический смысл имеет не сама функция, а квадрат модуля волновой функции |ψ|2, который равен вероятности  dP того, что частица будет обнаружена в пределах рассматриваемого малого объема dV. (Для совокупности частиц под вероятностью понимают отношение числа частиц в малом объеме к общему числу частиц, а для одной частицы – отношение времени пребывания частицы в малом объеме к общему времени рассмотрения движения частицы.)

3.Волновая функция является  основной характеристикой состояния  микрообъекта, с помощью волновой функции можно рассчитать вероятность пребывания  частицы в различных точках пространства в различные моменты времени, а также средние значения различных ее параметров. Соответственно вероятностному смыслу волновой функции и используя формулы теории вероятности, средние значения параметров находятся путем усреднения соответствующих операторов с помощью волновой функции. Например среднее значение для модуля радиуса-вектора частицы <r> можно найти по формуле

.

Так как в физических экспериментах определяются именно средние значения параметров частицы, то можно говорить, что состояние  частицы полностью задается ее волновой функцией.

4.Вид волновой функции зависит  от типа частицы и от внешних  силовых полей, действующих на  частицу. Вид функции находится с помощью специального дифференциального уравнения, называемого уравнением Шредингера.

5.Если в эксперименте наблюдается суперпозиция (объединение) микрочастиц, описываемых разными волновыми функциями, то объединенный ансамбль этих частиц будет описываться суммой их волновых функций.

Например, если при интерференции микрочастиц на двух щелях, их можно по отдельности описать двумя функциями ψ1 и ψ2, тогда совокупность этих частиц в районе экрана должна описываться функцией ψ = ψ1+ψ2. Так как вероятность распределения частиц на экране dP определяется квадратом модуля волновой функции, то получаем dP » |ψ|2 = |ψ1|2 + 2|ψ1ψ2| + |ψ2|2. Отсюда следует, что распределение зависит не только от простого сложения вероятностей двух независимых ансамблей |ψ1|2 + |ψ2|2, но и от результата их специфичного квантового «взаимодействия» 2|ψ1ψ2|, вследствие чего и наблюдается интерференция частиц. Имеется еще ряд постулатов, но они имеют более частный характер, о некоторых из них будет сказано далее.

 

3.2. Уравнение Шредингера. Стационарные  состояния атома.

 

Для расчета волновой функции необходимо иметь уравнение, которое позволяло бы для любого момента времени определить эту функцию с учетом действующих на частицу внешних силовых полей. Чтобы искомое уравнение учитывало  волновые свойства микрочастиц, необходимо чтобы оно по форме было волновым уравнением, подобно тем, которые описывают звуковые или электромагнитные волны. Известно, что для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение – это дифференциальное уравнение в частных производных, где независимыми переменными являются координаты и время. Учитывая такие аналогии, австрийский физик Эрвин Шредингер получил в 1926 г. основное уравнение квантовой механики для ψ (х, у, z, t)

 

  ,                                                             (5)

 

где m – масса частицы, i – мнимая единица, U – потенциальная энергия частицы, Δ-оператор Лапласа, который представляет собой сумму вторых частных производных по координатам, т.е.

 

Из уравнения Шредингера следует, что конкретный вид волновой функции зависит от потенциальной энергии U, т.е. определяется характером сил, действующих на частицу. Уравнение Шредингера оказалось комплексным (включающим в себя мнимую единицу), поэтому и волновая функция также комплексная, при этом реальный физический смысл имеет квадрат модуля волновой функции, который всегда действителен.

Уравнение Шредингера, будучи дифференциальным уравнением, может иметь множество решений. Из этих решений смысл имеют только те, в которых волновая функция будет однозначной, непрерывной и конечной, что соответствует физической реальности. Эти требования должны относиться и к частным производным от функции по времени и координатам, так как они тоже входят в уравнения Шредингера. Кроме этих требований на волновую функцию накладывается условие нормировки

 

,

которое следует из того факта, что частица реально существует и обязательно находится где-либо в окружающем пространстве. Поэтому суммарная вероятность нахождения частицы во всем бесконечном пространстве равна единице, т.е. это достоверное событие. Смысл и назначение уравнения Шредингера заключается в том, что если известна волновая функция некоторой частицы в начальный момент времени и известно силовое поле, в котором  она движется, то, решив это уравнение, можно найти волновую функцию и узнать характеристики состояния частицы в последующие моменты времени.

Если силовое поле, в котором движется частица, постоянно во времени, то U не зависит от времени и волновую функцию можно представить в виде   , где  Е – полная энергия частицы. Если мы подставим такую функцию в уравнение Шредингера, проведем дифференцирование и сокращение, то получим уравнение