Определение момента инерции махового колеса

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Колесо насажено на ось, вместе с  которой может вращаться в  вертикальной плоскости. Для уменьшения трения используются шариковые подшипники. Колесо находится в состоянии  безразличного равновесия, так как  ось вращения проходит через его  центр тяжести. На выступающий из подшипника копен оси насажен металлический шкив. На ободе колеса имеется штырек, па который можно навертывать дополнительный груз (железный цилиндр). При дополнительном грузе на ободе центр тяжести колеса оказывается смещенным на некоторое расстояние от оси вращения, и в этом случае колесо превращается в физический маятник. С помощью данной установки требуется определить момент инерции колеса двумя методами: методом вращения и методом колебаний.

1. МЕТОД ВРАЩЕНИЯ

На шкиве имеется шпилька, на которую накидывается петелька нити с привязанным к другому ее концу грузом. Вращением колеса нить наматывается на шкив, груз при этом от иола поднимается на максимальную высоту h. Если в таком положении колесо остановить и предоставить самому себе, то груз под действием разности силы тяжести и силы натяжения нити приобретает ускорение и начинает опускаться, приводя при этом шкив, а вместе с ним колесо во вращательное движение. Вращение здесь возможно, конечно, только в том случае, когда вращающий момент силы натяжения нити больше противодействующего момента силы трения, т. е. при условии:

где т — масса груза, r — радиус шкива, r' — радиус трущейся части оси.

Потенциальная энергия Е_p поднятого груза при его опускании переходит частично в кинетическую Е_k того же груза, частично в кинетическую Е'_k вращательного движения системы (колесо, ось, шкив), и частично превращается в тепловую энергию. Работа А_тр против силы трения равна выделяемой тепловой энергии. На основании закона сохранения энергии можно написать:

(1)

Посмотрим, как выражаются отдельные  члены, входящие в это уравнение.

1. Е_р = mgh, где m — масса поднятого груза, h — высота его поднятия (от пола до нижнего основания груза в верхнем положении).

2. , где V — скорость груза в момент достижения им пола.

3. ,

где I — момент инерции вращающемся системы, ω — угловая скорость в момент достижения грузом пола. В отношении силы трения сделаем упрощающее предположение: будем считать, что она не зависит от скорости вращения. Ясно, что работа против силы трения при этом будет зависеть только от числа совершенных оборотов, т. е. , где А_тр — работа против силы трения, совершаемая за один оборот, n₁ — число оборотов колеса, совершенное в процессе опускания груза. Уравнение (1) можем записать в виде

(2)

Из уравнения (2) можно вычислить I, если экспериментально определить все остальные, входящие в него величины, т. е. m, h, V, ω, А’_тр и n₁.

 Масса m определяется при помощи весов, высота h измеряется линейкой.

 Для определения V используют закон движения груза. Так как моменты сил, действующие на колесо, постоянны, то колесо вращается с постоянным угловым ускорением, а груз падает равноускоренно. Тогда V легко вычислить из соотношения , если измерить время падения секундомером. Так как нить разматывается со шкива без скольжения, линейная скорость любой точки на поверхности шкива всегда равна скорости груза, т. е. угловая скорость шкива в момент достижения грузом пола.

, или 

Работу А'_тр против силы трения за один оборот колеса легко определить из закона сохранения энергии. После остановки груза (он остается на полу) колесо обладает кинетической энергией, которая к моменту остановки колеса целиком расходуется па работу против сил трения.

,

где n₂ — число оборотов колеса с момента остановки груза до момента остановки колеса.

Для более точного определения n₂ удобно сначала заметить положение окрашенной спицы при касании грузом пола. В опыте сосчитать число полных оборотов, а долю последнего неполного оборота отсчитать по положению окрашенной спицы остановившегося колеса.

Число оборотов n₁ колеса при опускании груза (с высоты h) легко подсчитать, если принять во внимание, что за одни оборот груз опускается па расстояние 2 πr.

 

Воспользовавшись формулой (3), (4), (5), можем переписать (2) в виде:

Отсюда и определим I.

Опыт следует повторить три  раза, из результатов каждого  опыта по формуле (7) вычислить I и взять среднее из этих найденных значений. То же самое проделать со вторым грузом и взять среднее из двух найденных при разных грузах значений I. Найденное таким образом I является моментом инерции всей вращающейся системы.

Для того, чтобы найти интересующий нас момент инерции I^k колеса, следует из I вычесть моменты инерции I’ и I” оси и шкива, которые легко вычислить:

ПРИМЕЧАНИЕ: Так как  ось имеет утолщение, то I’ следует подсчитать как сумму моментов инерции отдельных ее участков.

Момент инерции сплошного цилиндра (рис. 2) вычисляется по формуле:

Момент инерции полого цилиндра (рис. 3) вычисляется по формуле:

Масса М в обоих случаях вычисляется по формуле М = Vρ, где V — определяется из размеров, измеренных штангенциркулем. Плотность стали ρ ⁼ 7,8 г/см³.

 

2. МЕТОД КОЛЕБАНИЙ

При дополнительном грузе А на ободе колесо превращается в физический маятник, который может совершать колебания около положения устойчивого равновесия, соответствующего самому низкому положению груза А.

Если колесо повернуть от этого  положения на некоторый угол, то вес груза А создаст относительно оси колеса вращающий момент: ; где l — расстояние центра тяжести груза A от оси вращения.

Уравнение движения колеса можно записать в виде:

где I — момент инерции вращающейся системы, а ее угловое ускорение.

Для малых углов можно приближенно принять sinφ=φ и написать уравнение (8) в виде:

Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Его решение:

где , а А и α произвольные постоянные, определяющиеся начальными условиями.

Если при t = 0 груз неподвижен и угол φ имеет максимальное значение φ₀, то решение (10) принимает вид:

Угол φ — меняется по гармоническому закону с периодом

Соотношение (12) указывает простой путь для измерения момента инерции физического маятника. Очевидно:

и для вычисления момента инерции достаточно измерить массу дополнительного груза m, расстояние центра тяжести этого груза от оси вращения l и период колебаний маятника Т.

Масса m легко определяется взвешиванием, а l измеряется с помощью линейки и штангенциркуля.

Основной частью опыта в этом случае является определение периода колебаний Т. Для этого даем колесу отклонения φ°, не более 15 градусов (от положения равновесия), секундомером определяем время t возможно большего числа колебаний п и вычисляем

Измерение Т нужно повторить не менее пяти раз и взять среднее из полученных значении. Найденное таким образом значение T_ср подставляем в (13) и вычисляем момент инерции I колеблющейся системы. Чтобы получить момент инерции I^k колеса, следует из I вычесть момент инерции оси и шкива (как в первом методе), а также момент инерции I"' относительно оси вращения колеса дополнительного груза I^к = I – I' – I" – I"'

Дополнительный груз имеет форму цилиндра. Воспользовавшись теоремой Штейнера, можно вычислить I"':

Описанным способом определить I^k дважды (с двумя имеющимися при установке дополнительными грузами) и взять из полученных результатов среднее значение.

Вычислить абсолютную и относительную ошибки при измерении момента инерции колеса методом вращения и методом колебаний. Указать основные источники ошибок в первом и втором методах.