Напівпровідниковий лазер

 

 

1. Основні типи хвиль, що можуть існувати в даному типі резонатора;
2. Енергія, що накопичується у об'ємному резонаторі;
3. Питому провідність активного середовища, необхідну для виникнення коливань у об'ємному резонаторі та активний поверхневий опір;
4. Добротність основних типів коливань об’ємного резонатора;
5. Дифракційні втрати відкритого оптичного резонатора;
6. Добротність лазера як відкритого оптичного резонатора;
7. Поперечне розподілення поля основної моди у оптичному резонаторі;
8. відстань від осі симетрії резонатора, на якій поле ослаблюється у 10 разів, у exp разів;
9. Резонансні частоти власних коливань (мод) у оптичному резонаторі;
10. Різність частот між сусідніми модами резонатора;
11. Коефіцієнти Ейнштейна для спонтанних та вимушених переходів;
12. коефіцієнт підсилення квантового генератора;
13. Інверсію заселеності лазера;
14. Втрати лазерного резонатора;
15. Енергію та потужність випромінювання лазера.

 

 

 

 

11. Напівпровідниковий лазер

 

У 1959 році Н.Г. Басов, Б.М. Вул і Ю.М. Попов запропонували у вигляді робочого тіла використовувати напівпровідник. Вимушене випромінювання на р-п-переході спостерігалось у 1962 році на GаАs. Специфіка напівпровідникових лазерів порівняно з твердотільними, молекулярними і іншими полягає в наступному:

1. У "звичайних" лазерах активні атоми розглядаються як незалежні, тобто енергетичні рівні, між якими виконується перехід, для всіх атомів одні і ті ж. В напівпровідникових кристалах є часткове просторове перекриття хвильових функцій атомів, і кожний енергетичний рівень може бути зайнятий за принципом Паулі тільки двома електронами. Ймовірність заповнення енергетичного рівня описується функцією розподілу Фермі-Дірака,а не Больцмана. Отже, при розгляді міжзонного поглинання або випромінювання світла на даній частоті, потрібно розглядати переходи між двома зонами енергетичних рівнів, а не між двома окремими рівнями.
2. Друга відмінність полягає в поширенні електромагнітного  випромінювання  в  р-п  переходах. Просторові характеристики цього випромінювання визначаються не тільки параметрами оптичного резонатора, як у "звичайних" лазерах, а й оптичними властивостями самого переходу. Ці властивості сильно впливають на порогове значення накачування в інжекційних лазерах.

Концентрація електронів в зоні провідності

Хвильова  функція електрона в зоні представляється у вигляді:                                 

де U_υκ(ř) — періодична функція з періодом кристалічної  ґратки. Хвильовий вектор к в силу періодичності структурнії кристала приймає дискретні значення: 

де і=х,у,z ; s — ціле число, L—довжина кристала в i-ому напрямку. 

Об'єм в к — просторі, який приходиться на один стані електрона, рівний , Звідси число станів, які відповідають значенням к÷к + dк, рівне об'єму кульового шару радіуса к і товщини dк, поділеному на об'єм, що приходиться на один електронний стан, тобто: 

                                                                       (11.3);

де врахований коефіцієнт 2 в силу двох спінових станів, які відповідають кожному значенню к. Ймовірність знаходження електрона на рівні п(Е) визначається статистикою Фермі-Дірака: 

Якщо N _d — концентрація рівнів d, а Е_d — енергія рівня d, то число електронів на рівні п_d = N_dР_п(E) . |

Якщо N_п(E)— кількість рівнів на одиничний інтервалі (густина рівнів), то електронів на рівні: 

тобто:

Енергія електрона  де т_п — його ефективна маса в зоні провідності. Звідси: Зробимо перехід з к простору в Е простір:

 

тобто

 

      — густина станів електронів за енергіями. Отже:

де введені  позначення      — ефективна густина станів;        — інтеграл Фермі-Дірака.

Енергія, пов’язана  з даним станом к в наближенні параболічності зони рівна:

і, отже, є  функцією к, а не к з рисою, причому, т_с — ефективна маса електрона в зоні провідності; ε(к)— відраховується від дна зони. 

На рис. 11.1 показана типова залежність є від к для напівпровідників з прямими переходами (прямозонний напівпровідник), тобто для напівпровідників, у яких мінімум зони провідності і максимум валентної зони мають місце в одній і тій же точці к-простору. Точки на рис. 11.1 відповідають дозволеним енергетичним станам і рівномірно розподілені в к-просторі. 

                        

З (11.3) і (11.4) отримуємо  густину станів в енергетичному (ε) просторі:

                         (11.5)

 

 

Енергія ε вимірюється від екстремума зони. Ймовірність того, що стан з енергією ε зайнятий електроном, визначається розподілом Фермі-Дірака:

                                        (11.6)

де ε_F— енергія Фермі. При тепловій рівновазі існує спільний для валентної зони і зони провідності рівень Фермі. При порушенні теплової рівноваги, наприклад, при проходженні струму через р-п-перехід або при великій концентрації електронів провідності і дірок, викликаних світловим збудженням напівпровідника, для кожної зони можна ввести свої окремі рівні Фермі — квазірівні Фермі ε_Fс і ε_FV. (рис. 11.2,а). Це пояснюється тим, що термодинамічна рівновага в зонах (після виникнення збудження) наступає значно швидше — за 0,1 — 1 пс, ніж міжзонна — за 1 — 10 нc. В легованих напівпровідниках рівень Фермі зміщується:

• або у зону провідності для донорних домішок;

• або у  валентну зону для акцепторних домішок.

Це показано на рис. 11.2,6.

Згідно (11.6) при Т=0К всі стани з енергією меншою ε_F зайняті, а стани з енергією більшою ε_F — вільні. В цьому  розумінні вироджений напівпровідник веде себе

                         

подібно металу, провідність якого не зникає при низьких температурах. Незайняті стани у валентній зоні (дірки) розглядаються подібно електронам, за винятком того, що їх заряд позитивний, а їх енергія відраховується вниз від стелі валентної зони.

Міжзонні переходи і оптичне  поглинання в напівпровідниках

Підсилення (генерація) світла у напівпровіднику є процесом, як і в інших лазерах, прямо протилежним поглинанню, у тому випадку, коли є обернене співвідношення між зайнятими і незайнятими енергетичними станами (інверсна населеність).

Енергія взаємодії  електрона в напівпровіднику  з електричним полем світлової хвилі:                                   

( _с — хвильовий вектор фотона) рівна:

де, — одиничний орт,    е — заряд електрона.

 

Ймовірність переходу електрона з валентної  зони в зону провідності, згідно з теорією збурень, за одиницю часу під впливом поля Е(r,t):

 

де        — матричний елемент оператора збурення; U — хвильові функції станів.

Внаслідок швидкої  зміни фази множника ехр[i( ) ], величина Н'_Vc виявляється надто малою у всіх випадках, окрім .

Поглинаючи  фотон, електрон переходить у більш  високий енергетичний стан. Цей перехід, природно, відбувається з виконанням законів збереження енергії і імпульсу:

(i і f— індекси початкового і кінечного стану електрона). Зробимо оцінку зміни моменту кількості руху електрона під дією фотона при енергії останнього: E = hν = 1,6·10^-19Дж = 1еВ.

 

Отже:     P_{електрона}=8,6·10^-26(н·с)  k_i»10⁹м^-1.

Таким чином, момент Р_ф << Р_l , при тепловому збудженні і перехід відбувається при . Це прямий перехід (рис. 11.3). Значить, згідно з законом збереження імпульсу, з більшою ймовірністю йде поглинання на прямих переходах.

Загалом може виявитись, що мінімум зони провідності  не співпадає з максимумом валентної зони в одній точці к-простору, тоді говорять про непрямі переходи (рис. 11.4).

                                          

Хоча фотон  не може передати значну частину моменту електрона, але якщо в процесі бере участь фонон, то:

де q — момент фонона.

Електрон  поглинає фотон і одночасно поглинає чи випромінює фонон. Такого типу переходи називаються непрямими (рис. 11.4). Непрямі переходи менш ймовірні, ніж прямі. Тому напівпровідники з прямою забороненою зоною оптично більш активні у порівнянні з напівпровідниками з непрямою забороненою зоною.

Розглянуті  вище переходи — міжзонні. Прямі  і непрямі переходи мають місце і всередені зони (внутрішньозонні). І в цьому випадку, звичайно, залишаються в силі закони збереження енергії і імпульсу (хвильового вектора). Внутрішньозонне поглинання може мати місце як для електронів в зоні провідності, так і для дірок у валентній зоні, і тому воно називається поглинанням на вільних носіях. Таке поглинання включає в себе переходи електронів з донорних станів в зону

провідності і переходи з акцепторних станів у валентну зону.

Отримаємо вираз  для коефіцієнта поглинання α(ν) плоскої електромагнітної хвилі частоти ν, яка розповсюджується в об'ємі напівпровідника зі структурою, показаною на рис. 11.5.

Ймовірність переходу зі стану а в стан в:

Згідно (11.4)

Отже, шукана ймовірність рівна:

                                                                           (11.7)

       — приведена ефективна маса.

Загальне  число N переходів в секунду для кристала об'ємом V буде рівне добутку ймовірності переходу на густину станів ρ(к) з наступним інтегруванням за всіма значеннями , тобто:

          

                                               (11.8)

 

де 

 

За означенням коефіцієнт поглинання:

 

 

де п — показник заломлення, с — швидкість світла. Замінивши N, отримаємо:

(11.9)

де                                                     

 

Для зручності  аналізу об'єднаємо всі числові  коефіцієнти в (11.9) і запишемо:

(11.10)

Множник К  визначається з експериментальних  даних. Наприклад, для GаАs характерні наступні величини: ε_к= 1,5 еВ; т_J = 0,1m₀, m_с =0,065m₀, (т₀ =9,1-10^-31 кг), тобто: K@6 • 10⁵ м ^-1 (еВ) ^-1/2. Отже, якщо частота поглинутого фотона перевищує ε _g на 0,01 еВ, то показник поглинання буде рівний α(ω) =6- 10⁴м^-1.

Розглянемо  напівпровідниковий кристал, в якому всі стани в зоні провідності до деякого рівня зайняті, а стани вище деякого рівня у валентній зоні вільні — рис. 11.6.

При Т =0К всі стани провідності заповненні до квазірівня Фермі ε_F , одночасно з цим всі стани з енергією вище квазірівня Фермі ε_Fυ в валентній зоні вільні (двічі вироджений напівпровідник). В такому випадку ми отримаємо підсилення (генерацію).

Дійсно, згідно (11.10):

                 

• це підсилення (генерація). 

  при  >ε_Fc – ε_Fυ—поглинання.     

Таким чином, в напівпровіднику з виродженими  електронами і дірками при Т=0К електромагнітне випромінювання з частотами в діапазоні ε_g< <ε_Fc – ε_Fυ — підсилюється. Випадок інверсії при Т≠0К з частково заповненими станами був розглянутий Дж. Бернаром і Л. Дюрафургом і отримав назву "умова інверсії Бернара-Дюрафурга"- ε_g< <ε_Fc – ε_Fυ. 

Розглянемо  ймовірність електромагнітного  випромінювання частоти ω при переході електронів з верхніх станів в 1 зоні лровідності з енерг ією ε (рис. 11.6) в нижній стан з  енергією ε - валентній зоні. Ймовірність цього випромінювання пропорційна добутку густини верхніх станів ρ_с(ε) f_с(ε) густини нижніх незайнятих станів і квадрату модуля відповідного матричного елемента переходу |М(ε,ω)| . Цей добуток інтегрується за всіма значеннями енергії:

                         

(11.11)

аналогічно  — для поглинання:                                            

                       (11.12)                

Для підсилення необхідно:

                                              (11.13)

Зробивши підстановки f_J, f_c , r_c, r_J, і виконавши інтегрування, отримуємо, що (11.13) еквівалентне:

                                           (11.14)

Ця умова  підсилення була при Т =0К, виходить, що вона справедлива поки можна застосовувати концепцію квазі-рівнів Фермі.

Оскільки  невідомий розподіл енергетичних рівнів, які беруть участь в переході, то зручно розглянути переходи їх аналогічно тому, як це робиться для твердотільних лазерів. Нехай загальне число електронів в зоні провідності в межах активного шару рівне п_г, а загальне число дірок у валентній зоні n₁ тобто можна розглядати n₁ і п_г як еквівалентну заселеність верхнього і нижнього станів. Отже, коефіцієнти підсилення можна записати так: