Лекции по "Молекулярная физика"

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

ЛЕКЦИЯ N 1 
Основные понятия молекулярной физики Молекулярно-кинетическая теория идеального газа

Основные понятия молекулярной физики.  
Статистический и термодинамический методы исследования.  
Основные положения молекулярно-кинетической теории.  
Молекулярно-кинетическая теория идеального газа.  
Уравнение состояния идеального газа -уравнение Клапейрона-Менделеева.  
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа. 
Молекулярно-кинетический смысл температуры.  
Средняя энергия одной молекулы  

§1. Основные понятия молекулярной физики

Молекулярная физика - это раздел физики, в котором изучаются физические свойства тел на основе рассмотрения их микроскопического, молекулярного строения.

Молекула - это наименьшая устойчивая частица вещества, обладающая его основными химическими и физическими свойствами. Состоит молекула из атомов, связанных друг с другом за счет валентных электронов.

Размеры молекул зависят от числа атомов в молекуле, которое составляет от двух (H₂,O₂, HCL) до сотен и тысяч (молекулы белков).

Размеры атомов порядка 10^-10 м. Несложные молекулы имеют размеры того же порядка. В атомной физике удобна внесистемная единица длины - ангстрем:

Моль - единица количества вещества в системе СИ.

В одном моле вещества содержатся такое число его структурных элементов (т.е. составляющих его атомов или молекул), которое равно числу атомов в 12 граммах изотопа углерода ¹²С.

Число частиц, содержащихся в одном  моле называют, числом Авогадро - N_A. Численное значение числа Авогадро

N_A = 6,022 × 10²³ моль^-1.

Относительная атомная  масса, или атомная масса химического  элемента - это отношение массы атома этого элемента к 1/12 массы атома ¹²С. Относительные атомные массы химических элементов приводятся в таблице Менделеева.

Молекулярная масса вещества - это отношение массы молекулы этого вещества к 1/12 массы атома углерода ¹²С. Зная химическую формулу вещества можно найти молекулярную массу как сумму атомных масс элементов, составляющих данное вещество. Например, у воды химическая формула H₂O, атомная масса водорода равна 1, умножаем ее на 2 и прибавляем атомную массу кислорода, 16, получаем, что молекулярная масса воды равна 18. Это безразмерное число, т. к. речь идет об относительной молекулярной массе.

Можно говорить и просто о массе атома, о массе молекулы, которые измеряют обычно в атомных единицах массы (а.е.м.). Внесистемная единица массы - а.е.м. - это 1/12 массы атома углерода ¹²С, которая в системе СИ равна 1,6605655 × 10^-27 кг. Таким образом, масса молекулы воды равна 18 а.е.м.

Молярная масса - это масса одного моля вещества, выраженная в кг на моль (система СИ). Обозначается молярная масса буквой M (или µ). Из определения моля следует, что молярная масса M, выраженная в граммах, численно равна относительной молекулярной массе. Так масса одного моля воды равна 18 г. Из определения моля следует также, что M = N_Am_{молекулы}.  

§ 2. Статистический и термодинамический  методы исследования.  
Основные положения молекулярно-кинетической теории

Окружающие нас тела состоят  из невообразимо огромного числа частиц, молекул или атомов. Ориентиром здесь служит число Авогадро N_A = 6,022 × 10²³ моль^-1, например 18 грамм воды (1 моль) содержит N_A молекул. Поэтому, окружающие нас тела называют макроскопическими, от греческого слова makros - большой. В противоположность этому атомы и молекулы называют микроскопическими телами, от греческого слова mikros - малый.

Молекулярно-кинетическая теория объясняет физические свойства макроскопических тел на основе представлений о том, что все тела состоят из микроскопических частиц - атомов и молекул. При этом молекулярно-кинетическая теория не интересуется движением каждой отдельной молекулы, а только такими средними величинами, которые характеризуют движение огромного числа молекул. Эти средние величины связаны с параметрами, характеризующими состояние макроскопического тела. Поэтому метод молекулярно-кинетической теории называют статистическим методом исследования.

Термодинамика в противоположность молекулярно-кинетической теории изучает макроскопические свойства тел, не интересуясь их микроскопической природой.

Статистическая термодинамика посвящена обоснованию законов термодинамики на основе законов взаимодействия частиц составляющих физические системы.  

Основные положения молекулярно-кинетической теории:

1. Все тела состоят из мельчайших частиц - атомов и молекул.
2. Эти частицы хаотически движутся.
3. Атомы и молекулы взаимодействуют друг с другом: на малых расстояниях отталкиваются, силы отталкивания резко уменьшаются с увеличением расстояния и обращаются на каком-то расстоянии r₀ в ноль; затем, при дальнейшем увеличении расстояния переходят в силы притяжения. Силы притяжения при увеличении расстояния сначала растут, затем, достигнув максимального значения, убывают до нуля. Все сказанное иллюстрируется приведенным графиком зависимости силы взаимодействия двух молекул от расстояния между ними (рис. 1.1):

Рис. 1.1

Необыкновенную важность основных положений молекулярно-кинетической теории очень образно и ярко выразил  выдающийся физик современности, лауреат Нобелевской премии Ричард Фейнман: "Если бы в результате какой-то мировой катастрофы все накопленные научные знания оказались бы уничтоженными и к грядущим поколениям живых существ пережила бы только одна фраза, то какое утверждение составленное из наименьшего количества слов, принесло бы наибольшую информацию?

Я считаю, что это - атомная гипотеза (можете называть ее не гипотезой, а  фактом, но это ничего не меняет): все тела состоят из атомов - маленьких телец, которые находятся в беспрерывном движении, притягиваются на небольшом расстоянии, но отталкиваются, если одно из них прижать плотнее друг к другому. В одной этой фразе, как вы убедились, содержится невероятное количество информации о мире, стоит лишь приложить к ней немного воображения и чуть соображения (Р. Фейнман. Р. Лейтон, М. Сэндс "Фейнмановские лекции по физике" Том 1, М. "Мир", 1976, с.23). 

§ 3. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа

Идеальный газ - это физическая модель, в которой:

а) пренебрегают собственными размерами  молекул;  
б) пренебрегают энергией взаимодействия между молекулами;  
в) в процессе столкновения между собой и со стенками сосуда молекулы ведут себя как абсолютно упругие тела.

Опыт показывает, что при давлениях, близких к атмосферному, и температурах, близких к комнатной, многие газы (азот, кислород, водород, пары воды и т.д.) можно считать идеальными. Энергией взаимодействия молекул между собой здесь можно пренебречь потому, что в этих условиях лишь небольшая доля молекул находится в каждый момент времени в состоянии соударения.

Молекулярно-кинетическая теория позволяет  выразить макроскопические параметры  термодинамической системы (давление, температуру и т.д.) через усредненные  микроскопические величины.

Давлением p, в случае равномерного распределения сил вдоль поверхности, называется величина

Где F - сумма приложенных перпендикулярно к участку поверхности сил, 
     S - площадь участка поверхности.

Прибор для измерения давления называется манометром.

За единицу абсолютной температуры T в системе СИ принят Кельвин (К). Температура в градусах Цельсия (t, ^oC) связана с T (в К) следующим равенством:

T = t + 273,15 K ,

причем 1^oC = 1К.

Прибор для измерения температуры  называется термометром.  

§ 4. Уравнение состояния  идеального газа - уравнение Клапейрона-Менделеева

Состояние некоторой массы идеального газа определяется тремя параметрами состояния:

p - давлением; 
V - объемом; 
T - абсолютной температурой.

Связь между этими параметрами  называется уравнением состояния.

Для идеального газа уравнение состояния, установленное опытным, путем имеет следующий вид:

Это уравнение называется уравнением Клапейрона-Менделеева, в нем:

p - давление газа; 
V - его объем;  
T - абсолютная температура; 
m - масса газа;  
M - молярная масса данного газа;  
R - универсальная газовая постоянная.

Рис. 1.2

Проверить на опыте уравнение Клапейрона-Менделеева можно с помощью экспериментальной  установки, идеализированная схема  которой приведена на приведенном  выше рисунке. Газ в этой установке  помещен в цилиндр под подвижным  поршнем.

Температуру газа T измеряют термометром, объем V = Sh. Давление можно найти, поделив силу F′ , с которой поршень давит на газ на его площадь S, поршень находится в равновесии и сила F′ уравновешена слой давления газа F = pS.

Из (1.2) получим связь давления идеального газа с концентрацией молекул и температурой - еще одну формулу уравнения состояния идеального газа.

Для этого выразим из уравнения  Клапейрона-Менделеева давление

Величина

В самом деле, m - масса всего газа, а M - масса одного моля. Помножим и поделим правую часть выражения для р на число Авогадро N_A:

здесь N = vN_A - число молекул газа; 
        k = R/N_A = 1,38 × 10^-23 - постоянная Больцмана.

Концентрация молекул

с учетом этого получим связь  давления идеального газа с его концентрацией  и температурой

Это еще одна форма опытного уравнения  состояния идеального газа.

Идеальным газом обычно бывает и  смесь нескольких простых идеальных  газов. Идеальный газ - это такой  газ, размерами молекулы в котором  можно пренебречь и давление на стенки сосуда создается независимыми ударами по ней отдельных молекул. В этом случае давление смеси:

где p_i- парциальное давление газов смеси.

Парциальное давление - это такое давление, которое создавалось бы одним из газов смеси, если бы один занимал весь объем, занимаемый смесью. Согласно (1.5):

где - суммарная концентрация молекул смеси газов.

Формула (1.6) - это закон Дальтона: давление смеси идеальных газов равно сумме их парциальных давлений.

Надо отметить, что суммарная  концентрация молекул смеси не должна быть слишком большой, иначе газ перестанет быть идеальным. Это является критерием применимости как уравнения Менделеева-Клапейрона, так и закона Дальтона.  

§ 5. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа

Пусть газ находится в сосуде слева от стенки, на которой мы выделим площадку S. Направим ось x вправо, перпендикулярно стенке сосуда. Пусть молекула массой m₀ летит вдоль оси x со скоростью по направлению к стенке (рис.1.3а). После упругого удара о стенку скорость молекулы изменит свое направление на противоположное , откуда для проекций на ось х: V_2x = -V_1x(рис. 1.3б).

Рис. 1.3а,б

По второму закону Ньютона, средняя  сила <F′_x> , действующая со стороны стенки на одну молекулу равна:

здесь v - модуль скорости молекулы.

По третьему закону Ньютона, со стороны молекулы на стенку действует в течение промежутка времени Δt средняя сила:

Давление p найдем, если силу <F_x> помножим на N_x - число ударов молекул о стенку за время Δt, а затем, согласно (1.1), поделим на S:

За время Δt до стенки долетят лишь те молекулы, которые находятся от стенки не дальше, чем на расстоянии vΔt и имеют положительную проекцию скорости V_x (летят к стенке). В силу хаотичности движения молекул можно принять, что в положительном направлении оси x, к стенке, движется 1/6 часть всех молекул, 1/6 движется в отрицательном направлении оси x, аналогично - по осям y и z. Выразим число молекул в объеме SvΔt (см. рис. 1.4) через их концентрацию n (1.4):

N = nSvΔt .

Рис. 1.4

Тогда

Предыдущие рассуждения велись так, как будто бы скорости всех молекул одинаковы. Чтобы учесть различие скоростей молекул надо вместо v² взять <v²> - среднее значение этой величины Тогда для давления получим:

Полученное выражение и есть основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа:

здесь - средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы.  

§ 6. Молекулярно-кинетический смысл температуры. 
Средняя энергия одной молекулы

Запишем рядом два уравнения: уравнение  состояния идеального газа в форме, полученной в (§ 4) и основное уравнение молекулярно-кинетической теории:

p = nkT см. (1.5), 
 

Приравнивая правые части получим:

Таким образом молекулярно-кинетическая теория раскрывает физический смысл  абсолютной температуры (молекулярно-кинетический смысл температуры):

T - это величина, пропорциональная средней энергии поступательного движения одной (!) молекулы.

Как выяснилось, такая связь между  средней энергией поступательного  движения и абсолютной температурой справедлива для вещества, находящегося и в жидком, и в твердом состоянии.

При T = 0 <ε> = 0.

Число степеней свободы механической системы - это минимальное число независимых координат, которые полностью определяет пространственное положение рассматриваемой системы. В частности можно говорить и о числе степеней свободы молекулы. Обозначается число степеней свободы буквой i (рис. 1.5).

Рис. 1.5

Для материальной точки это число  равно трем, т. к. ее положение (3.4) полностью  определяется тремя координатами x, y, z.

Материальная точка используется в качестве модели одноатомной молекулы идеального газа, таким образом, для нее i = 3.

Для жесткой двухатомной молекулы к трем пространственным координатам  необходимо добавить два угла поворота вокруг осей, перпендикулярных оси  молекулы. Вращение вокруг оси молекулы не приводит изменение ее пространственного положения. Итак, для двухатомной жесткой молекулы i = 3 + 2 = 5.

Для жесткой многоатомной молекулы, с количеством атомов больше двух, число степеней свободы i = 6. Здесь добавляется еще один угол поворота, изменяющего пространственное положение молекулы.

Если модель жесткой молекулы неприменима, то необходимо учитывать и колебательные  степени свободы.

Законом равнораспределения энергии по степеням свободы в классической статистической физике называется следующие утверждения: средняя кинетическая энергия <ε₁>, приходящаяся на одну поступательную и вращательную степень свободы молекулы равна (1/2) kT, т.е.:

средняя потенциальная энергия, приходящаяся на колебательную степень свободы, равна (1/2) kT.

Точно также средняя кинетическая энергия, приходящаяся на колебательную  степень свободы, равна (1/2) kT.

Таким образом средняя энергия одной молекулы

причем всегда i_пост = 3.  

Итоги лекции N 1

1. К основным понятиям молекулярной физики относятся: молекула, моль, число Авогадро, атомная единица массы, атомная масса, молекулярная масса, молярная масса.
2. Основное положение молекулярно-кинетической теории:

а) все тела состоят из мельчайших частиц - атомов и молекул; 
б) эти частицы хаотически двигаются;  
в) атомы и молекулы на очень близких расстояниях отталкиваются, при удалении друг от друга отталкивание переходит в притяжение. На больших расстояниях атомы и молекулы не взаимодействуют друг с другом.

3. Идеальный газ - это физическая модель, в которой:

а) пренебрегают собственными размерами  молекул;  
б) пренебрегают силами взаимодействия между молекулами, за исключением процесса их столкновения;  
в) столкновения молекул между собой и со стенками являются упругими.

4. Уравнением состояния вещества называют уравнение, связывающее параметры его состояния. Уравнение состояния идеального газа является уравнение Клапейрона-Менделеева (1.2). Оно имеет вид:

где m - масса газа, М - молярная масса исследуемого газа, - универсальная газовая постоянная, р - давление газа, V - объем, Т - абсолютная температура.

5. Еще одна форма записи полученного из опыта уравнения состояния идеального газа (1.5):

p = nkT ,

здесь - концентрация молекул газа.

Если смесь газов является идеальным  газом, то, согласно закону Дальтона:

где давление р_i называют парциальным давлением, 
      - суммарная концентрация молекул смеси.

6. Согласно молекулярно-кинетическим представлениям, давление идеального газа на стенку сосуда создается упругими ударами молекул о стенку. Из этих представлений получено основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа для давления (1.7):

где - средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы.

7. Из сравнения последней формулы для давления с формулой p = nkT получается соотношение (1.8):

раскрывающее молекулярно-кинетический смысл температуры: температура - это  величина, пропорциональная средней  кинетической энергии поступательного  движения одной молекулы.

8. Согласно закону равнораспределения энергии молекул по степеням свободы, средняя энергия одной молекулы:

где i_пост = 3 - число степеней свободы поступательного движения молекулы, i_вр - число степеней свободы вращательного движения, i_колеб - число колебательных степеней свободы.  

ЛЕКЦИЯ N 2 
Распределение Больцмана.  
Распределение Максвелла

Основные понятия классической и квантовой статистики  
Барометрическая формула Распределение Больцмана  
Распределение Максвелла-Больцмана  

§ 1. Основные понятия классической и квантовой статистики

Классическая статистика описывает макросистемы, состоящие из микрочастиц, движение которых в рассматриваемых условиях можно описывать законами классической механики (механики Ньютона). Примером такой системы, подчиняющейся законам классической статистики является идеальный газ.

В общем случае для описания движения микрочастиц, необходимо применять законы квантовой механики. Статистическая физика, описывающая макросистемы, состоящие из микрочастиц, движение которых описывается законами квантовой механики, называется квантовой статистикой. Основы квантовой статистики будут даны в этих лекциях после изложения раздела "Квантовая физика".

Одним из основных понятий статистики (как классической, так и квантовой) является вероятность. Пусть какая-либо физическая система может находиться в различных физических состояниях. Предположим, что эти состояния дискретны, т.е. характеризующие их физические величины изменяются скачками и каждое состояние характеризуется определенным значением х_i некоторой физической величины х. В некоторых состояниях система будет проводить большее время, в некоторых - меньшее. Будем измерять величину х некоторое число раз N. Обозначим N_i - число измерений, каждое из которых дает значение измеряемой величины х, равное х_i. Вероятность w_i того, что величина х имеет значение х_i, называется предел отношения числа N_i к полному числу измерений N при стремлении N к бесконечности, т.е.:

Дискретное значение физических величин - характерная особенность всех микрочастиц (атомов, молекул). Например, энергия  вращательного и колебательного движения молекулы может меняться только дискретно, скачками. Про такую величину говорят, что она квантуется.

Вместе с тем, можно с большой  точностью считать, что энергия  поступательного движения молекул  не квантуется, т.е. изменяется непрерывно, значит, непрерывно меняется и скорость молекул газа, а также и координата молекул в пространстве. Для непрерывной случайной величины, например, скорости молекулы v, вероятность dw_v того, что скорость молекулы v принимает значения в интервале от v до v + dv вычисляется так:

здесь N - полное число измерений скорости, dN_v - число измерений, в которых скорость молекулы попали в интервал от v до v + dv.

Очевидно, что:

Это следует из определения вероятности (2.1):

Аналогично и для непрерывной  случайной величины. Из (2.2) следует, что:

§ 2. Барометрическая формула

Пусть идеально термодинамически равновесный газ, имеющий везде одну и ту же температуру находится в однородном поле тяготения Земли. При этом каждая молекула газа имеет потенциальную энергию:

где g - ускорение свободного падения (g=9,81 м/с²), z - высота, на которой находится молекула над поверхностью Земли. Газ, кроме всего прочего, находится и в механическом равновесии. Запишем условия механического равновесия для элементарного участка столба газа (воздуха, например) высотой dz, изображенного на рис. 2.1:

Рис. 2.1

где dm - масса рассматриваемого участка столба, dm = ρ(z)Sdz, причем ρ(z) - плотность вещества в газовом столбе, а S - площадь его поперечного сечения.

Из уравнения состояния идеального газа (1.2) для плотности газа ρ следует, что:

Спроецируем векторное уравнение  на ось z:

Выразим силы через давление, в  соответствии с (1.1), а dm подставим из (2.6), тогда:

или разделим переменные p и z, получим:

Это дифференциальное уравнение для неизвестной функции р(z). При условии, что температура Т не зависит от z, зависимость p(z) можно найти интегрированием:

После потенцирования этого выражения  получаем:

Эту полученную Больцманом формулу  называют барометрической формулой. В ней р_о - давление на поверхности Земли, где z = 0.

Воспользовавшись соотношениями M = m_oN_A и R = kN_A (1.3), барометрическую формулу можно привести к виду:

где ε_n(z) - потенциальная энергия одной молекулы газа в рассматриваемом однородном поле тяготения.  

§ 3. Распределение Больцмана 

Формулу (2.8), воспользовавшись соотношением (1.5) p=nkT и независимостью температуры Т от z, можно привести к виду:

Согласно (2.9) число молекул, находящихся  в малом прямоугольном участке  пространства, изображенном на рис. 2.2.:

А вероятность нахождения в этом объеме:

Рис. 2.2

Это полученное Больцманом соотношение  называется распределением Больцмана. Оно выполняется в любом потенциальном  поле, например, в неоднородном поле тяготения. В этих случаях:

где - вероятность того, что молекула имеет координаты от х до х + dx, от y до y + dy, от z до z + dz; В - постоянный множитель, получаемый из условия нормировки (2.4):

§ 4. Распределение Максвелла-Больцмана 

Молекулы идеального газа, находящегося в термодинамическом равновесии, вполне определенным образом распределены не только по координатам, но и по проекциям своих скоростей. Максвеллом было получено следующее соотношение:

где ε_k - кинетическая энергия молекулы.

Учтем, что

тогда:

здесь - вероятность обнаружения молекулы в бесконечно малом прямоугольном параллелепипеде в пространстве скоростей, изображенном на рис. 2.3. Другими словами, это вероятность того, что молекула имеет проекцию скорости на ось х в интервале от v_х до v_х + dv_х и в подобных же интервалах для значений v_y и v_z.

Рис. 2.3

В распределении (2.12) А - константа, выражение для которой можно найти из условия нормировки (2.4):

Распределение (2.12а) принято называть распределением Максвелла по компонентам  скоростей.

Перемножив  из (2.12) и из (2.10), получим - вероятность того, что молекула имеет определенный вектор скорости (с точностью до dv_х, dv_y ,dv_z) и находится в определенном месте пространства с точностью до dxdydz.

где ε = ε_k + ε_n- полная энергия молекулы, а - так называемый фактор Больцмана.

Формула (2.14) и есть распределение  Максвелла-Больцмана.  

ИТОГИ ЛЕКЦИИ N 2

1. Для непрерывной случайной величины, например, скорости молекулы v, вероятность dW_v того, что скорость v принимает значения в интервале от v до v+dv определяется следующим образом (2.2):

здесь N - полное число измерений скорости, dN_v - число измерений, в которых скорость молекулы попали в интервал от v до v+dv.

2. Барометрическая формула (2.8) дает зависимость от высоты z давления р идеального газа, находящегося в однородном поле тяжести при постоянной температуре Т:

где p_o - давление при z = 0, m_o - масса молекулы, k - постоянная Больцмана.

3. Распределение Больцмана (2.10) позволяет для молекулы, находящейся во внешнем потенциальном поле с энергией ε_n(x,y,z), найти вероятность того, что эта молекула имеет координаты x,y,z в интервалах dx,dy,dz, соответственно:

здесь В - постоянный множитель, определяемый из условия нормировки (2.11):

4. Распределение Максвелла-Больцмана (2.14) дает вероятность того, что молекула имеет определенный с точностью до dv_х, dv_y ,dv_z вектор скорости и находится, с точностью до dx,dy,dz, в определенном месте пространства:

где ε = ε_k + ε_n - сумма кинетической и потенциальной энергии молекулы, а - фактор Больцмана.  

ЛЕКЦИЯ N 3  
Свойства распределения молекул по модулю скорости (свойства распределения Максвелла)

Распределение Максвелла Как найти  число молекул идеального газа, величина скоростей которых не находится  в интервале от v₁ до v₂ .  
Наиболее вероятная, средняя и средняя квадратичная скорости молекул

§ 1. Распределение Максвелла

Подставим в распределение (2.12а) константу А из (2.13) и запишем его в следующем виде:

Из (3.1) видно, что вероятность  не зависит от направления вектора , а зависит только от его модуля. Поэтому в формуле (3.1) в качестве элементарного объема в пространстве скоростей вместо прямоугольного параллелепипеда можно взять бесконечно тонкий сферический слой (см. рис. 3.1), радиус которого v, а толщина dv. В этом элементарном объеме все модули скоростей с отклонением, не превышающем dv, равны v. Перейдем, таким образом, от dv_х, dv_y ,dv_z к 4πv²dv, где 4πv² - площадь сферы в пространстве скоростей, изображенной на рис. 3.1.

Рис. 3.1

После чего формула (3.1) принимает вид:

где dw_v- вероятность того, что молекула имеет скорость в интервале от v до v + dv.

Формулу (3.2) обычно записывают в виде:

где

Полученную Д.К. Максвеллом функцию F(v) принято называть функцией распределения вероятностей или функцией распределения Максвелла.

Из (3.3) следует, что:

поэтому F(v) называют еще и плотностью вероятности.

График функции распределения  Максвелла приведен на рис. 3.2.

Рис. 3.2

При v = 0 множитель v² функции F(v) обращает ее в ноль. При v > 0 функция F(v) сначала растет за счет множителя v², а затем при v → ∞ быстро стремится к нулю за счет экспоненциального множителя.

Как видно из формулы (3.3) и рис. 3.2, вероятность dw_v равна площади заштрихованной полоски. Ясно, что вероятность того, что молекула имеет любую скорость, равна сумме площадей всех тонких полосок и, таким образом, площади, ограниченной графиком F(v) и осью скоростей. А площадь этой фигуры ничто иное, как интеграл, который, согласно условию нормировки (2.4) и соотношению (3.3), равен единице:

§ 2 Как найти число молекул  идеального газа, величина скоростей которых не находится в интервале от v₁ до v₂

Пусть общее число молекул исследуемого идеального газа равно N. Выразим dw в формуле (3.3) в соответствии с формулой (2.2), F(v) подставим из формулы (3.4), тогда число молекул dN_v (см. формулу (3.3)), имеющих скорости в интервале от V до v+dv , можно найти из формулы:

Эту формулу обычно и называют распределением Максвелла.

Ответить на поставленный выше вопрос можно, проинтегрировав выражение (3.6) по v в пределах от v₁ до v₂:

где - вероятность того, что молекула имеет значение скорости в интервале от v₁ до v₂ . В отличие от рис. 3.2 это уже площадь заштрихованной криволинейной трапеции (см. рис. (3.3)), а не бесконечно узкой полоски.

Рис. 3.3.

Пользуясь формулой (3.7) можно найти  число молекул, скорости которых:

а) v < v₁; б) v > v₂(см. рис. 3.4).

Рис. 3.4 а,б 

§ 3. Наиболее вероятная, средняя  и средняя квадратичная скорости молекул 

Наиболее вероятной скоростью  молекул идеального газа, находящегося в термодинамическом равновесии, называют (что следует из физического смысла F(v)) скорость, при которой функция F(v) достигает максимального значения.

Традиционным способом исследуем произведение на максимум, для чего возьмем от него производную по v и приравняем ее к нулю:

Из равенства нулю первого и второго из трех сомножителей получается значения скорости v₁ = 0 и v₂ = ∞, отвечающие минимумам функции F(v).

Из равенства нулю третьего сомножителя получается наиболее вероятная  скорость:

Воспользовавшись функцией распределения  можно найти и среднюю скорость молекулы. По определению среднего:

Отсюда и из (3.2) получим:

Сделав замену v² = x и, проинтегрировав по частям, получим:

Средняя квадратичная скорость v_ср.кв. характеризует среднюю энергию поступательного движения молекулы. По определению:

Так как

то:

Подставляя F(v) из (3.4) и интегрируя, получим:

Отсюда средняя кинетическая энергия  поступательного движения одной  молекулы:

Получен уже известный нам результат (см. (1.8)).

Из (3.9), (3.11) и (3.13) следует:

v_вер : <v> : v_{ср.кв .}= 1 : 1,13 : 1,22.

Из (3.6) и (3.4) получим:

Отсюда и формулы (3.9) видно, что  при увеличении температуры максимум функции F(v) смещается вправо и становится ниже - см. рис. 3.5.

Рис. 3.5

При увеличении массы молекулы максимум функции F(v) смещается влево, так как Он становится выше, так как

Напомним, что площадь, ограниченная функцией F(v), остается постоянной и равной единице (см. (3.5)). 

ИТОГИ ЛЕКЦИИ N3

1. Распределение молекул по модулю скорости имеет вид:

Функцию принято называть функцией распределения Максвелла. Здесь dw_v - вероятность того, что молекула имеет скорость в интервале от v до v + dv. Число этих молекул dN_v = NF(v)dv, если N - полное число молекул.

2. Число молекул, имеющих скорости в интервале от v₁ до v₂, можно найти из распределения Максвелла:

3. Наиболее вероятной скоростью молекулы называется скорость, при которой функция F(v) имеет максимум:

4. Средней скоростью молекулы называют:

5. Средней квадратичной скоростью называется:

где: .

Таким образом,