Гармонические волны: основные понятия и определения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание:

1. Гармонические волны: основные понятия и определения..................3

2. Постановка  задачи.......................................................................................8

3. Исследование  модельных задач...............................................................12

3.1. Частоты  толщиных резонансов...................................................12

3.2. Дисперсионные уравнения Рэлея-Лэмба........................................16

3.3. Асимпттотики дисперсионного уравнения Релея-Лэмба...........21

4. Список использованных источников и литературы...........................25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Гармонические  волны: основные понятия и определения

Изменения состояния  среды, распространяющиеся в этой среде и несущие с собой энергию, называются волнами.[1]

Для волн любой природы  характерно распространение с конечной скоростью и перенос энергии  без переноса вещества.

В [2] приведён следующий  критерий: если характерный размер системы  (где - скорость распространения возмущения, - время заметного изменения этого возмущения), о процессе следует говорить как о колебательном, происходящем в системе с сосредоточенными параметрами; если , то систему следует считать распределённой, а происходящий в ней процесс – волновым.

Волны могут иметь  различную форму. Различают одиночные  волны или импульсы – сравнительно короткие возмущения; цуги волн – ограниченный ряд повторяющихся возмущений (например, отрезок синусоиды); гармонические волны (бесконечно синусоидальные волны).

Задачи распространения  гармонических волн относятся к  задачам стационарной динамики. В  задачах нестационарной динамики закон изменения искомых величин по времени неизвестен и требует определения. В задачах стационарной динамики предполагается, что все величины изменяются по времени по гармоническому закону:

 

                             (1.1)

или

,                                 (1.2)

 

где круговая частота, ;

 - период волны;

 - волновое число;

 - длина волны;

 

 - переменная фаза колебаний;

 - сдвиг фазы;

 - амплитуда.

Наряду с (1.1), (1.2) используются комплексные представления:

,

,                                              (1.3)

где - комплексная амплитуда;

.

В задачах стационарной динамики  начальные условия не ставятся. определена с точностью до произвольной постоянной : . Обычно полагают .

Если требуется, чтобы  решение в виде (1.1) удовлетворяло  всем граничным условиям на поверхности  ограниченного тела, то говорят, что  изучаются установившиеся колебания  тела.

Если рассматривается  бесконечное тело, то говорят, что изучается распространение гармонических волн.

Гармоническая волна  является идеализированной, её возбуждение  в реальных условиях проблематично. Однако, её важное значение заключается  в том, что волну любой формы  можно представить как сумму  гармонических волн различных частот (гармоник). В линейных распределённых системах выполняется принцип суперпозиции, приводящий к тому, что эффекты, вызываемые негармоническими волнами, могут быть определены как сумма эффектов, создаваемых в отдельности каждой из её гармонических составляющих.

Если  является линейной функцией , то говорят, что в теле распространяется плоская волна.

Если  имеет вид , то говорят, что плоская волна распространяется в направлении оси .

Пусть тело представляет собой волновод, например, представляет собой цилиндр с направляющей параллельной оси  или слой конечной толщины. В этом случае ищется решение вида:

                                        (1.4)

и требуется, чтобы оно  удовлетворяло граничным условиям на боковой поверхности волновода. В комплексной форме плоская волна, распространяющаяся в направлении оси имеет вид:

,                                (1.5)

Модами называют частные  решения, или волны, распространяющиеся вдоль оси волновода и удовлетворяющие граничным условиям на боковой поверхности волновода. Так же их называют нормальными волнами.

Запишем уравнение движения постоянной фазы:

, тогда                              (1.6)

Поверхность постоянной фазы представляет собой плоскость, перпендикулярную оси  . Эта плоскость перемещается параллельно самой себе со скоростью

,                                                 (1.7)

называемой  фазовой  скоростью. Таким образом, фазовая  скорость – это скорость движения поверхности постоянной фазы.

Путь, проходимый поверхностью постоянной фазы за время равному  периоду колебаний  , называется длиной волны.

Решение в виде (1.4) должно удовлетворять граничным условиям на боковой поверхности. Из-за этого  величины и не являются независимыми: . Тогда фазовая скорость также является зависимой от волнового числа:

.

Явление зависимости  фазовой скорости гармонической  волны от волнового числа или  частоты называется дисперсией. Дисперсия  может быть вызвана не только наличием границ, но и физическими свойствами среды (в идеально упругом теле этот вид дисперсии отсутствует).

Соотношение, связывающее  и , называется дисперсионным уравнением. В общем виде записывают следующим образом:

.

Если фазовая скорость является постоянной , то говорят, что дисперсия отсутствует. В этом случае частота и волновое число линейно зависимы .

Частота, на которой нормальная волна перестаёт быть распространяющейся, называется частотой запирания.   Полагая  в дисперсионном уравнении, можно получить уравнение для определения частот запирания.

Рассмотрим распространение  волнового пакета с длинами волн, близкими к некоторой длине волны  . В этом случае ,  где ,  . Тогда

.

Если дисперсия отсутствует, то заменяем и получаем . Следовательно, в случае отсутствия дисперсии волновой пакет распространяется со скоростью .

Рассмотрим случай, когда  дисперсия есть, то есть . Разложим в окрестности в ряд Тейлора:

.

Обозначим , а и подставим в интеграл:

 

.

Следовательно, волновой пакет распространяется со скоростью  , называемый групповой скоростью.

 

 

2. Постановка задачи

Изучим распространение  волн в бесконечном изотропном слое, толщиной . Слой находится в условиях плоского напряжённого состояния.

Введём декартовую систему  координат: ось  направлена по нормали, а вдоль срединной линии слоя, , .

 

 

Рис.2.1

 

 

Выпишем уравнение движения в перемещениях:

                    (2.1)

 

где - компоненты вектора перемещения;

 - время;

 - скорость распространения продольной волны в изотропном слое;

 - скорость распространения поперечной волны;

 - постоянные Ламе;

 - объёмная плотность.

 

 

Используя формулы Коши, запишем соотношения, связывающие компоненты тензора напряжений и вектора перемещений:

 

                     (2.2)

 

 

Здесь , , - компоненты тензора напряжений. 

Введём безразмерные переменные, безразмерные компоненты вектора перемещений и тензора  напряжений; а также безразмерные фазовую скорость и волновое число.

;

Подставим безразмерные величины в (2.2)

Подставим безразмерные величины в (2.1)

Умножим эти уравнения  на

Введем  , получим

Опустим тильду, тогда  уравнения движения в перемещениях (2.1) и граничные условия (2.3), соответственно, примут следующий вид:

 

                                 (2.4)

где .

 

Таким образом, требуется  найти решение краевой задачи для уравнения(2.4), граничные условия  выбираются в зависимости от условий  закрепления границ. Рассмотрим простые  модельные задачи, а именно, задачу о распространении гармонических волн в упругом слое со свободными и задачу об определении частот толщинных резонансов.

3. Исследование  модельных задач

3.1. Частоты толщинных резонансов

Введём в рассмотрение безразмерные потенциалы поля перемещений  , такие, что

                                                                                                   (3.1)

Они должны удовлетворять  волновым уравнениям:

 

     где  - оператор Лапласа.     (3.2)

 

Далее опустим тильду. Используя формулы (2.2), выразим напряжения через потенциалы:

разделим на и опустим тильду

                                      (3.3)

 

Будем считать, что границы рассматриваемого слоя свободны от напряжений, тогда граничные условия имеют вид:

 при                        (3.4)

Частоты толщинных резонансов – это частоты собственных  колебаний бесконечно тонких поперечных волокон слоя [3]. В этом случае перемещения не зависят от координаты .

Решение краевой задачи (3.2), (3.4) ищем в виде:

                                                       (3.5)

Определим частоты толщинного резонанса растяжения-сжатия. Считаем, что

Тогда из (3.2), (3.4) получим  краевую задачу для нахождения функции  :

                                            (3.6)

 

Общее решение уравнения (3.6) имеет вид:

.                                    (3.7)

Используя граничные  условия, из условия существования  нетривиального решения, получим

.                                                   (3.8)

Отсюда находим частоты  толщинного резонанса растяжения-сжатия:

.                                            (3.9)

Если перемещение  является чётным относительно координаты , то функция должна быть нечётной, и из (3.6), (3.7) можно получить частоты для так называемого антисимметричного напряженного состояния

                                                  (3.10)

Если перемещение  является нечётным относительно , то - чётная, а частоты толщинного резонанса растяжения сжатия для симметричного напряжённого состояния:

                                            (3.11)

Определим частоты сдвигового толщинного резонанса. Считаем, что 

                                                         (3.12)

 

 

Из (3.2), (3.4) получим краевую  задачу для определения функции  :

                                                 (3.13)

Общее решение задачи (3.13) имеет вид:

.                             (3.14)

Используя граничные  условия задачи (3.13), из условия существования  нетривиального решения получим:

.                                                      (3.15)