Динамика вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

§ 3. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

Основные формулы

• Момент силы F, действующей на тело, относительно оси вращения

,

где — проекция силы F на плоскость, перпендикулярную оси вращения; l — плечо силы F (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).

• Момент инерции относительно оси вращения:

а) материальной точки        

J=mr²,

где т — масса точки; r — расстояние ее от оси вращения;

б) дискретного твердого тела

где — масса i-го элемента тела; r_i — расстояние этого элемента от оси вращения; п — число элементов тела;

в) сплошного твердого тела            

Если тело однородно, т. е. его плотность  одинакова по всему объему, то

dm= dV и

где V — объем тела.

• Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы:

Тело	Ось, относительно которой  определяется момент инерции	Формула момента инерции
Однородный тонкий стержень массой т и длиной l   Тонкое кольцо, обруч, труба радиусом R и массой т, маховик радиусом R и массой т, распределенной по ободу   Круглый однородный диск (цилиндр) радиусом R и массой т Однородный шар массой т и радиусом R	Проходит через центр  тяжести стержня перпендикулярно  стержню  Проходит через конец  стержня перпендикулярно стержню  Проходит через центр  перпендикулярно плоскости основания   Проходит через центр  диска перпендикулярно плоскости  основания  Проходит через центр шара	1/12ml2   1/3ml2     mR2       1/2mR2   2/5mR2

 

• Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной оси

J=J₀+ma²,

где J₀ — момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно заданной оси; а — расстояние между осями; m — масса тела.

• Момент импульса вращающегося тела относительно оси

L=J .

• Закон сохранения момента импульса

где L_i — момент импульса i-го тела, входящего в состав системы. Закон сохранения момента импульса для двух взаимодействующих тел

где — моменты инерции и угловые скорости тел до взаимодействия: — те же величины после взаимодействия.

Закон сохранения момента  импульса для одного тела, момент инерции которого меняется,

где — начальный и конечный моменты инерции; —• начальная и конечная угловые скорости тела.

• Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

Mdt=d(J ), где М — момент силы, действующей на тело в течение времени dt;

J — момент инерции тела; — угловая скорость; J — момент импульса.

Если момент силы и момент инерции постоянны, то это уравнение записывается в виде

М t=J .

В случае постоянного  момента инерции основное уравнение  динамики вращательного движения принимает  вид

M=J , где — угловое ускорение.

• Работа постоянного момента силы М, действующего на вращающееся тело,

A=Mj,

где j — угол поворота тела.

• Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела,

N=M .

• Кинетическая энергия вращающегося тела

T=1/2J .

 

• Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,

T==¹/₂mv²+^l/₂J ,

где ^l/₂mv² — кинетическая энергия поступательного движения тела; v — скорость центра инерции тела; ^l/₂J ,— кинетическая энергия вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр инерции.

• Работа, совершаемая при вращении тела, и изменение кинетической энергии его связаны соотношением

.

• Величины, характеризующие динамику вращательного движения, и формулы, описывающие это движение, аналогичны соответствующим величинам и формулам поступательного движения.

Эта аналогия раскрывается следующей  таблицей:

 

Поступательное движение Вращательное движение

Основной закон динамики

F t=mv₂—mv₁;                                                          M t=J —J ;

F = та                                                                       М = .J

Закон сохранения

импульса                                                             момента импульса

                                                  

Работа  и мощность

A=Fs;                                                                  А=М

,

N=Fv                                                                    N=M

Кинетическая  энергия

Т =1/2 mv²                                                                         T=1/2J

Примеры решения задач

Пример 1. Вычислить момент инерции J_z молекулы NО₂ относительно оси z, проходящей через центр масс молекулы перпендикулярно плоскости, содержащей ядра атомов. Межъядерное расстояние d этой молекулы равно 0,118 нм, валентный угол =140°.

Решение. Молекулу NO₂ можно рассматривать как систему, состоящую из трех материальных точек общей массой

m=2m₁+m₂,                                                  (1)

где m₁ — масса атома кислорода; m₂— масса атома азота.

Расположим молекулу относительно координатных осей так, как  это указано на рис. 3.1 (начало координат совместим с центром

 

масс С молекулы, ось z направим перпендикулярно плоскости чертежа «к нам».)

Для определения J_z воспользуемся теоремой Штейнера:

J=J_c+ma².

Для данного случая эта  теорема запишется в виде J_z' = J_z+ma², где J_z' —момент инерции относительно оси z', параллельной оси z и проходящей через атом азота (точка О на рис. 3.1). Отсюда искомый момент инерции

J_z = J_z' -ma²                            (2)

Момент инерции J_z' находим как сумму моментов инерции двух материальных точек (атомов кислорода):

J_z' = 2m₁ d²                    (3)

Расстояние а между осями z и z' равно координате x_с центра масс системы и поэтому может быть выражено по формуле (см. § 2, с. 20) В данном случае

а=х_с= (2m₁x₁+m₂x₂)/(2m₁+m₂), или, учитывая, что x₁=d cos ( /2) и х₂=0,

                                                                                  (4)

Подставив в формулу (2) значения J_z', т, а соответственно из выражений (3), (1), (4), получим

или после преобразований

                                                                  (5)

Найдем в табл. 23 относительные атомные массы кислорода (A_O=16) и азота (А_N==14) и запишем массы атомов этих элементов в атомных единицах массы (а.е.м.), а затем выразим в килограммах (1 а.е.м. =1,66 •10^-27 кг, см. табл. 9):

m₁= 16 1,66 10^-27 кг=2,66 10^-26 кг;

m₂ = 14 1,66 10^-27 кг = 2,32 10^-26 кг.

Значения m₁, т₁, d и подставим * в формулу (5) и произведем вычисления:

J_z=6,80 10^-46  кг.м².

Пример 2. Физический маятник представляет собой стержень длиной l=1 м и массой m₁=l кг с прикрепленным к одному из его

*Для вычисления выражения, стоящего в скобках, вместо масс атомов можно подставить их относительные атомные массы, так как здесь массы входят в виде отношения.

концов диском массой т₂=0,5 m₁. Определить момент инерции J_z такого маятника относительно оси Оz, проходящей через точку О на стержне перпендикулярно плоскости чертежа (рис. 3.2).

Решение. Общий момент инерции маятника равен сумме моментов инерции стержня J_z1 и диска J_z2.

J_z ⁼ J_z1 + J_z2                                                          (1)

Формулы, по которым вычисляются моменты инерции стержня J_z1 и диска J_z2 относительно осей, проходящих через их центры масс, даны в табл. на с. 41. Чтобы определить моменты инерции J_z1 и J_z2, надо воспользоваться теоремой Штейнера:

J=J_c+ma².                                                            (2)

Выразим момент инерции  стержня согласно формуле (2):

J_z1=^l/₁₂m₁l²+m₁a₁².

Расстояние a₁ между осью О_z и параллельной ей осью, проходящей через центр масс C₁ стержня, как следует из рис. 3.2, равно ¹/₂l—^l/₃l=^l/₆l. С учетом этого запишем

J_z1=^l/₁₂m₁l²+m₁ (^l/₆l )²=¹/₉m₁l²=0,111m₁l².

Момент инерции диска  в соответствии с формулой (2) равен           рис. 3.2    

J_z2=^l/₂m₂R²+m₂a₂².

где R — радиус диска; R=¹/₄l. Расстояние а₂ между осью О_z и параллельной ей осью, проходящей через центр масс диска, равно (рис. 3.2) ²/₃l—^l/₄l=^l1/₁₂l. С учетом этого запишем

J_z2=^l/₂m₂ (¹/₄l)²+m₂(^l1/₁₂l)²= 0,0312 m₁l² + 0,840 m₁l²= 0,871 m₁l².

Подставив полученные выражения J_z1 и J_z2 в формулу (1), найдем

J_z=0,111m₁l²+0,871 m₁l²=)0,111m₁+0,871 m₁)l²,

или, учитывая, что т₂=0,5 m₁,

J_z=0,547m₁l².

Произведя вычисления, получим  значение момента инерции физического  маятника относительно оси О_z:

J_z =0,547.1.1 кг м²=0,547 кг м².

Пример 3. Вал в виде сплошного цилиндра массой m₁=10 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой m₂=2 кг (рис. 3.3). С каким ускорением а будет опускаться гиря, если ее предоставить самой себе?

Решение. Линейное ускорение а гири равно тангенциальному ускорению точек вала, лежащих на его цилиндрической поверхности,

 

и связано с угловым  ускорением s вала соотношением

а= ,                                                                                                                           (1)

где r — радиус вала.

Угловое ускорение вала выражается основным уравнением динамики вращающегося тела:

=M/J,                                                                                                                         (2)

где М — вращающий момент, действующий на вал; J — момент инерции вала. Рассматриваем вал как однородный цилиндр. Тогда его момент инерции относительно геометрической оси равен

J=¹/₂m₁r².

Вращающий момент М, действующий на вал, равен произведению силы натяжения Т шнура на радиус вала: М=Тr.

Силу натяжения шнура  найдем из следующих соображений. На гирю действуют две силы: сила тяжести m₂g, направленная вниз, и сила натяжения Т шнура, направленная вверх. Равнодействующая этих сил вызывает равноускоренное движение гири. По второму закону Ньютона, m₂g-T=m₂a, откуда T=m₂(g-а). Таким образом, вращающий момент M=m₂(g—а)r.

Подставив в формулу (2) полученные выражения М и J, найдем угловое ускорение вала:

Для определения  линейного ускорения гири подставим это

рис. 3.3          выражение в формулу (1). Получим

,

откуда

Пример 4. Через блок в виде диска, имеющий массу m=80 г, перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы массами m₁=100 г и m₂=200 г (рис. 3.4). С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением пренебречь.

Решение. Применим к решению  задачи основные законы поступательного  и вращательного движения. На каждый из движущихся грузов действуют две силы: сила тяжести mg, направленная вниз, и сила Т натяжения нити, направленная вверх.

Так как вектор ускорения  а груза m₁ направлен вверх, то T₁>m₁g. Равнодействующая этих сил вызывает равноускоренное движение и, по второму закону Ньютона, равна T₁ — т₁g=т₁а, откуда                                              

T₁=m₁g+m₁a.                                   (1)  

Рис. 3.4

Вектор ускорения а  груза т₂ направлен вниз; следовательно, T₂<m₂g. Запишем формулу второго закона для этого груза:

m₂g — T₂=m₂a , откуда

T₂=m₂g- m₂а.                                                                                                                 (2)

Согласно основному  закону динамики вращательного движения, вращающий момент М, приложенный к диску, равен произведению момента инерции J диска на его угловое ускорение :