Дифракция света. Принцип Гюйгенса Френеля. Расчет дифракции света на одной щели

Дифракционная картина, наблюдаемая на экране, поставленном за перегородкой с одной щелью, может  быть рассчитана на основании принципа суперпозиции и интерференции волн. Пусть на щель падает монохроматический пучок света длиной l. Размеры щели d сравнимы с l: d ~ l. Расстояние от щели до экрана L >> d. Каждая точка щели является, согласно принципу Гюйгенса, источником вторичной сферической волны. Эти волны интерферируют между собой, так что истинное положение фронта результирующей волны является огибающей вторичных волн с учетом их интерференции. Рассмотрим наложение двух таких волн, идущих от середины щели и от одного из краев, и вычислим разность хода таких волн в произвольной точке экрана. Из простых геометрических соображений с учетом малости угла q можно получить, что разность хода этих двух волн равна:

где y - координата точки наблюдения на экране. Интерференция двух волн будет деструктивной, если разность хода будет равна целому числу полуволн . Отсюда находятся координаты тех точек на экране, где возникают темные полосы:

Распределение интенсивности света в дифракционной картине имеет резкий максимум. Следует отметить, что измерения положения минимумов позволяют (при известных параметрах d и L) определить длину волны света.  

 

 

 

 

 

 

Дифракция Фраунгофера на одной щели 

 

Немецкий физик  И. Фраунгофер (1787-1826) рассмотрел дифракцию плюсках световых волн, или дифракцию в параллельных лучах. Дифракция Фраунгофера, имеющая большое практическое значение, наблюдается в том случае, когда источник света и точка наблюдения бесконечно удалены от препятствия, вызвавшего дифракцию. Чтобы этот тип дифракции осуществить, достаточно точечный источник света поместить в фокусе собирающей линзы, а дифракционную картину исследовать в фокальной плоскости второй собирающей линзы, установленной за препятствием.

Рассмотрим  дифракцию Фраунгофера от бесконечно длинной щели (для этого практически достаточно, чтобы длина щели была значительно больше ее ширины). Пусть плоская монохроматическая световая волна падает нормально плоскости узкой щели шириной а (рис 6) . Оптическая разность хода между крайними лучами МС и ND, идущими от щели в произвольном направлении j,

        (1.1) 

 

где  F- основание  перпендикуляра, опущенного из точки  М на луч ND.

                                 Рис. 6 

 

Разобьем открытую часть волновой поверхности в плоскости щели MN на зоны Френеля, имеющие вид полос, параллельных ребру М щели. Ширина каждой зоны выбирается так, чтобы разность хода от краев этих зон была равна l/2, т. е. всего на ширине щели уместится D:l/2 зон. Так как свет на щель падает нормально, то плоскость щели совпадает с волновым фронтом; следовательно, все точки волнового фронта в плоскости щели будут колебаться в одинаковой фазе. Амплитуды вторичных волн в плоскости щели будут равны, так как выбранные зоны Френеля имеют одинаковые площади и одинаково наклонены к направлению наблюдения.

Из выражения (1.1) вытекает, что число зон Френеля, укладывающихся на ширине щели, зависит  от угла j. От числа зон Френеля, в свою очередь, зависит результат наложения всех вторичных волн. Из приведенного построения следует, что при интерференции света от каждой пары соседних зон Френеля амплитуда результирующих колебаний равна нулю, так как колебания от каждой пары соседних зон взаимно гасят друг друга. Следовательно, если число зон Френеля четное, то

                                    (2.2)

 и в точке  В наблюдается дифракционный  минимум (полная темнота), если  же число зон Френеля нечетное, то

                        (2.3)

 и наблюдается  дифракционный максимум, соответствующий  действию одной не скомпенсированной  зоны Френеля. Отметим, что  в направлении j = 0 щель действует как одна зона Френеля, и в этом направлении свет распространяется с наибольшей интенсивностью, т. е. в точке В₀ наблюдается центральный дифракционный максимум.

Из условий (2.2) и (2.3) можно найти направления  на точки экрана, в которых амплитуда (а следовательно и интенсивность) равна нулю

или максимальна 

 Распределение  интенсивности на экране, получаемое  вследствие дифракции (дифракционный  спектр), приведено на рис 6. Расчеты  показывают, что интенсивности в  центральном и последующих максимумах относятся как 1 : 0,047 : 0,017 : 0,0083 : ..., т. е. основная часть световой энергии сосредоточена в центральном максимуме. Из опыта и соответствующих расчетов следует, что сужение щели приводит к тому, что центральный максимум расплывается, а интенсивность уменьшается (это, естественно, относится и к другим максимумам). Наоборот, чем щель шире (а > l), тем картина ярче, но дифракционные полосы уже, а число самих полос больше. При а > l в центре получается резкое изображение источника света, т. е. имеет место прямолинейное распространение света.

Положение дифракционных  максимумов зависит от длины волны l, поэтому рассмотренная выше дифракционная картина имеет место лишь для монохроматического света. При освещении щели белым светом центральный максимум наблюдается в виде белой полоски; он общий для всех длин волн (при j = 0 разность хода равна нулю для всех l). Боковые максимумы радужно окрашены, так как условие максимума при любых m различно для разных l. Таким образом, справа и слева от центрального максимума наблюдаются максимумы первого (m = 1), второго (m = 2) и других порядков, обращенные фиолетовым краем к центру дифракционной картины. Однако они настолько расплывчаты, что отчетливого разделения различных длин волн с помощью дифракции на одной щели получить невозможно. 

 

 

 

 

 

Практическая  часть.

Задача  по теме Дифракция Френеля на щели.

• Условие задачи:

На щель шириной a=0,1 мм нормально падает параллельный пучок света от монохроматического источника (λ=0,6 мкм). Определить ширину l центрального максимума в дифракционной картине, проецируемой с помощью линзы, находящейся непосредственно за щелью, на экран, отстоящий от линзы на расстоянии L=1 м.

• Решение задачи:

Центральный максимум интенсивности света занимает область  между ближайшими от него справа и слева минимумами интенсивности. Поэтому ширину центрального максимума интенсивности примем равной расстоянию между этими двумя минимумами интенсивности (рис 7).

Минимумы интенсивности  света при дифракции от одной  щели наблюдаются под углами φ, определяемыми условием

 

 

Рис 7.

Где r – порядок минимума; в нашем случае равен единице.

Расстояние  между двумя минимумами на экране определим непосредственно по чертежу : .

Заметив, что  при малых углах  , перепишем эту формулу в виде .

Выразим sin j из формулы (1) и подставим его в равенство (2):

Произведя вычисления по формуле(3), получим см

 

 

Список  литературы 

 

1. Горелик Г. С., Колебания  и волны. М., 2000.

2. Дягилев Ф.М. Из  истории физики и жизни ее  творцов. М., 1996.

3. Киттель Ч.М. Введение  в физику. М., 1998.

4. Ландсберг Г. С., Оптика (Общий курс физики, т. 3). М., 1997.

5. Савельев, Трофимов  Курс физики, т.3. М., 1989.

6. Спасский Б.И. Физика  в ее развитии. М., 1999.

7. Эйген М. , Шустер  П. Большой энциклопедический  словарь. М., 2005.