Понятие хаоса. Понятие аттрактора. Влияние аттрактора на хаос

В результате постоянной сходимости – расходимости хаотичного аттрактора неопределенность стремительно нарастает, что с каждым моментом времени лишает нас возможности  делать точные прогнозы. То, чем так гордится наука – способностью устанавливать  связи между причинами и следствиями в хаотических системах невозможно.

Причинно – следственной связи между прошлым и будущем  в хаосе нет. Здесь же необходимо отметить, что скорость схождения-расхождения  является мерой хаоса, т.е. численным  выражением того, насколько система  хаотична. Другой статистической мерой  хаоса служит размерность аттрактора.    

К хаосу системы могут переходить разными путями. Среди последних  выделяют бифуркации, которые изучает  теория бифуркаций. Бифуркация (от лат. bifurcus - раздвоенный) представляет собой процесс качественного перехода от состояния равновесия к хаосу через последовательное очень малое изменение (например, удвоение Фейгенбаума при бифуркации удвоения) периодических точек. Обязательно необходимо отметить, что происходит качественное изменение свойств системы, т.н. катастрофический скачок.

 Момент скачка (раздвоения при бифуркации удвоения) происходит в точке бифуркации. Хаос может возникнуть через бифуркацию, что показал Митчел Фейгенбаум (Feigenbaum). При создании собственной теории о фракталах Фейгенбаум, в основном, анализировал логистическое уравнение Xn+1=CXn - С(Хn)2, где С - внешний параметр, откуда вывел, что при некоторых ограничениях во всех подобных уравнениях происходит переход от равновесного состояния к хаосу. Ниже рассмотрен классический биологический пример этого уравнения. Например, изолированно живет популяция особей нормированной численностью Xn. Через год появляется потомство численностью Xn+1. Рост популяции описывается первым членом правой части уравнения (СХn), где коэффициент С определяет скорость роста и является определяющим параметром. Убыль животных (за счет перенаселенности, недостатка пищи и т.п.) определяется вторым, нелинейным членом (С(Хn)2). Результатом расчетов являются следующие выводы: - при С < 1 популяция с ростом n вымирает; - в области 1 < С < 3 численность популяции приближается к постоянному значению Х0 = 1 - 1/С, что является областью стационарных, фиксированных решений. При значении C = 3 точка бифуркации становится отталкивающей фиксированной точкой. С этого момента функция уже никогда не сходится к одной точке. До этого точка была притягивающая фиксированная; - в диапазоне 3 < С < 3.57 начинают появляться бифуркации и разветвление каждой кривой на две. Здесь функция (численность популяции) колеблется между двумя значениями, лежащими на этих ветвях. Сначала популяция резко возрастает, на следующий год возникает перенаселенность и через год численность снова уменьшается; - при C > 3.57 происходит перекрывание областей различных решений (они как бы закрашиваются) и поведение системы становится хаотическим. Отсюда вывод - заключительным состоянием эволюционирующих физических систем является состояние динамического хаоса.

Динамические  переменные Xn принимают значения, которые  сильно зависят от начальных условий. При проведенных на компьютере расчетах даже для очень близких начальных  значений С итоговые значения могут  резко отличаться. Более того, расчеты  становятся некорректными, так как  начинают зависеть от случайных процессов  в самом компьютере (скачки напряжения и т.п.).      

Таким образом, состояние системы в  момент бифуркации является крайне неустойчивым и бесконечно малое воздействие  может привести к выбору дальнейшего  пути движения, а это, как мы уже  знаем, является главным признаком  хаотической системы (существенная зависимость от начальных условий).

 Фейгенбаум установил универсальные  закономерности перехода к динамическому  хаосу при удвоении периода, которые  были экспериментально подтверждены для  широкого класса механических, гидродинамических, химических и других систем. Результатом исследований Фейгенбаум стало «дерево Фейгенбаума».

Что же такое бифуркации в обыденности, по простому. Как мы знаем из определения, бифуркации возникают при переходе системы от состояния видимой  стабильности и равновесия к хаосу. Примерами таких переходов являются дым, вода и многие другие самые обычные  природные явления. Так, поднимающийся  вверх дым сначала выглядит как  упорядоченный столб. Однако через  некоторое время он начинает претерпевать изменения, которые сначала кажутся  упорядоченными, однако затем становятся хаотически непредсказуемыми. Фактически первый переход от стабильности к  некоторой форме видимой упорядоченности, но уже изменчивости, происходит в  первой точке бифуркации. Далее количество бифуркаций увеличивается, достигая огромных величин. С каждой бифуркацией функция  турбулентности дыма приближается к  хаосу. С помощью теории бифуркаций можно предсказать характер движения, возникающего при переходе системы в качественно иное состояние, а также область существования системы и оценить ее устойчивость.

Движение бильярдного  шарика.     

Любой, кто, когда-либо брал в руки кий для  бильярда, знает, что ключ к игре - точность. Малейшая ошибка в угле начального удара может быстро привести к огромной ошибке в положении шарика всего после нескольких столкновений. Эта чувствительность к начальным условиям называемая хаосом возникает непреодолимым барьером для любого, кто надеется предсказать или управлять траекторией движения шарика больше чем после шести или семи столкновений. И не стоит думать, что проблема заключается в пыли на столе или в нетвердой руке. Фактически, если используется компьютер для построения модели, содержащей бильярдный стол, не обладающий ни каким трением, нечеловеческим контролем точности позиционирования кия, все равно не удастся предсказывать траекторию шарика достаточно долго.

Насколько долго? Это зависит частично от точности компьютера, но в большей степени от формы стола. Для совершенно круглого стола, можно просчитать приблизительно до 500 положений столкновений с ошибкой около 0.1 процента. Но стоит изменить форму стола так, чтобы она стала хотя бы немножко неправильной (овальной), и непредсказуемость траектории может превышать 90 градусов уже после 10 столкновений!        

Как можно видеть форма стола, использованного  для этих экспериментов является основной частью аттракторных областей, которые повторяются последовательно  в уменьшающемся масштабе.

Области применения теории хаоса     

При появлении новых теорий, все хотят  узнать что же в них хорошего. Итак, что хорошего в теории хаоса?    

Первое  и самое важное, что теория хаоса - это теория. А значит, что большая ее часть используется больше как научная основа, нежели как непосредственно применимое знание.

Теория хаоса является очень  хорошим средством взглянуть  на события, происходящие в мире отлично от более традиционного четко детерминистического взгляда, который доминировал в науке со времен Ньютона. Зрители, которые посмотрели Парк Юрского периода, без сомнения боятся, что теория хаоса может очень сильно повлиять на человеческое восприятие мира, и, в действительности, теория хаоса полезна как средство интерпретации научных данных по-новому.

Вместо традиционных X-Y графиков, ученые теперь могут интерпретировать фазово-пространственные диаграммы которые - вместо того, чтобы  описывать точное положение какой-либо переменной в определенный момент времени - представляют общее поведение системы.

Вместо того, чтобы смотреть на точные равенства, основанные на статистических данных, теперь мы можем взглянуть  на динамические системы с поведением похожим по своей природе на статические данные - т.е. системы с похожими аттракторами. Теория хаоса обеспечивает прочный каркас для развития научных знаний.    

Теория  хаоса находит приложения в широком  спектре наук. Одним из самых ранних стало ее применение к анализу  турбулентности в жидкости. Движение жидкости бывает либо ламинарным (гладким  и регулярным), либо турбулентным (сложным  и нерегулярным).

До появления теории хаоса существовали две конкурирующие  теории турбулентности. Первая из них  представляла турбулентность как накопление все новых и новых периодических  движений; вторая объясняла неприменимость стандартной физической модели невозможностью описания жидкости как сплошной среды  в молекулярных масштабах.

В 1970 математики Д. Рюэль и Ф. Такенс предложили третью версию: турбулентность - это хаос в  жидкости. Их предположение поначалу считалось весьма спорным, но с тех  пор оно было подтверждено для нескольких случаев, в частности, для  ранних стадий развития турбулентности в течении между двумя вращающимися цилиндрами.

Развитая турбулентность по-прежнему остается загадочным явлением, но хаоса вряд ли удается избежать в любом возможном ее объяснении.    

Ранняя  работа Э. Лоренца в области метеорологии получила дальнейшее развитие, и теперь известно, что полные уравнения поведения  атмосферы, используемые при прогнозировании  погоды, могут вести себя хаотически. Это означает, что долгосрочные прогнозы погоды на основе данных о ее прошлом  состоянии подвержены "эффекту  бабочки", так что погода обычно не может быть предсказана более  чем на четыре или пять дней вперед - независимо от мощности используемых компьютеров.

Движение в Солнечной  системе тоже, как известно, хаотично, но здесь требуются десятки миллионов  лет, прежде чем какое-то изменение  станет непредсказуемым.

Хаос проявляет  себя многообразными способами. Например, спутник Сатурна Гиперион обращается по регулярной, предсказуемой орбите вокруг своей планеты, но при этом он хаотически кувыркается, изменяя  направление оси собственного вращения.

Теория хаоса объясняет это кувыркание как побочное действие приливных  сил, создаваемых Сатурном. Теория хаоса  объясняет также распределение  тел в поясе астероидов между  Марсом и Юпитером. Оно неравномерно: на одних расстояниях от Солнца существуют сгущения, на других - пустые промежутки. И сгущения, и пустые промежутки их гелиоцентрических орбит находятся  на расстояниях, образующих "резонансы" с Юпитером, т.е. период обращения каждого астероида составляет некую простую дробь с периодом обращения Юпитера. Например, в резонансе 2:3 период обращения астероида равен 2/3 периода обращения Юпитера. Теория хаоса показывает, что одни резонансы порождают устойчивое поведение (сгущения), тогда как другие - неустойчивое (пустые промежутки). В частности, астероиды в резонансе 1:3 с Юпитером имеют неустойчивые орбиты и могут испытать возмущения, заставляющие их пересечь орбиту Марса, после чего они могут испытать дальнейшие возмущения и пересечь орбиту Земли.

В 1995 Ж. Ласкар установил, что на временных масштабах десятков миллионов лет вся Солнечная система хаотична. Однако хаос не делает все черты движения в Солнечной системе непредсказуемыми. Например, форма планетной орбиты может быть предсказуемой, однако точное положение планеты на орбите остается непредсказуемым.

Ласкар предсказал вероятное будущее  Солнечной системы в целом  на следующие несколько миллиардов лет. Согласно его вычислениям, ничего существенного не случится с орбитами внешних планет - Юпитера, Сатурна, Урана, Нептуна и Плутона.

Орбиты Земли и Венеры тоже не претерпели бы существенных изменений, если бы не Марс, орбита которого изменится  настолько, что он едва не столкнется с Землей. Меркурий тоже приблизится  к Венере и будет либо выброшен из Солнечной системы, либо поменяется местами с Венерой. Хаос имеет место также в биологии и экологии.

В конце 19 в. было установлено, что  популяции животных редко бывают стабильными; им свойственны нерегулярно  чередующиеся периоды быстрого роста  и почти полного вымирания. Теория хаоса показывает, что простые законы изменения численности популяций могут объяснить эти флуктуации без введения случайных внешних воздействий. Теория хаоса также объясняет динамику эпидемий, т. е. флуктуирующих популяций микроорганизмов в организмах людей.

Может создаться впечатление, что теория хаоса не должна иметь каких-либо полезных применений, поскольку хаотические системы непредсказуемы. Однако это неверно, во-первых, потому, что лишь некоторые аспекты хаотических систем непредсказуемы, и, во-вторых, потому, что полезность теории не ограничивается способностью прямого прогнозирования.

В частности, теория хаоса предлагает новые методы анализа данных и  обнаружения скрытых закономерностей  там, где прежде систему считали  случайной и никаких закономерностей  в ее поведении не искали, полагая, что их просто не существует. Одним из приложений этого подхода служит машина FRACMAT, обеспечивающая дешевую и быструю процедуру контроля качества пружинной проволоки. К числу наиболее перспективных применений теории хаоса принадлежит "хаотическое управление".

В 1950 Дж. фон Нейман предположил, что  неустойчивость погоды может в один прекрасный день обернуться благом, поскольку  неустойчивость означает, что желаемый эффект может быть достигнут очень  малым возмущением.

В 1990 С.Гребоджи, Э. Отт и Дж. Йорке опубликовали теоретическую схему использования этого вида неустойчивости для управления хаотическими системами. Их схема представляет собой общую форму того метода, с помощью которого в 1985 инженеры НАСА послали космический зонд на встречу с кометой Джакобини - Циннера. Зонд пять раз облетел Луну, используя хаотичность взаимодействия трех тел, позволяющую совершать большие изменения траектории с малыми затратами топлива. Тот же метод был применен для синхронизации батареи лазеров; для управления нерегулярностями сердцебиения, что открывает возможность создать "интеллектуальный" стимулятор сердечного ритма; для управления биотоками мозга, что, в частности, может помочь контролировать эпилептические припадки; наконец, для ламинаризации турбулентного течения жидкости - метод, который способен уменьшить расход топлива самолетами.⁸    

Теория  хаоса имеет применение и в  современности. Техники теории хаоса использовались для моделирования биологических систем, которые, бесспорно, являются одними из наиболее хаотических систем из всех что можно себе представить. Системы динамических равенств использовались для моделирования всего - от роста популяций и эпидемий до аритмических сердцебиений.