Простые ставки ссудных процентов

Предположим теперь, что  уровень ставки сложных процентов  будет разным на различных интервалах начисления.

Пусть n1, п2, ..., пN— продолжительность интервалов начисления в годах; i1, i2, ..., iN — годовые ставки процентов, соответствующие данным интервалам. Тогда наращенная сумма в конце первого интервала начисления в соответствии с формулой (1.7), составит

S₁ = Р(1+ n₁i₁).

В конце второго интервала:

S₂=P(l+n₁i₁)(l+i₂)

и т.д.

При N интервалах начисления наращенная сумма в конце всего  периода начисления составит

 

(3.4)

 

Если все интервалы  начисления одинаковы (как и бывает обычно на практике) и ставка сложных процентов одна и та же, формула (3.4) принимает вид:

 

94

 

S_N= P(1 +тi)^N.

(3.5)

Начисление сложных процентов  может осуществляться не один, а  несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов у — годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.

При т равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке j эта величина считается равной j/m.

Если срок ссуды составляет п лет, то, аналогично формуле (3.1), получаем выражение для определения наращенной суммы:

S_mn=P(1+j/m)^mn,

(3.6)

где тп — общее число интервалов начисления за весь срок ссуды.

Если общее число интервалов начисления не является целым числом (mn — целое число интервалов начисления, I — часть интервала начисления), то выражение (3.6) принимает вид:

S=P(1+j/m)^mn(1+Ij/m).                                                  (3.7)

Для целого числа периодов начисления используется формула сложных  процентов (3.1), а для оставшейся части  — формула простых процентов (1.7).

В России в настоящее  время наиболее распространенным является начисление процентов по полугодиям, поквартальное и ежемесячное (иногда интервалом начисления может являться и день). Такие проценты, начисляемые с определенной периодичностью, называются дискретными.

В мировой практике часто  применяется также непрерывное  начисление сложных процентов (т. е. продолжительность интервала начисления стремится к нулю, а т — к бесконечности).

В этом случае для вычисления наращенной суммы служит следующее выражение:

 

                                                                   (3.8)

 

Для расчетов можно использовать известную в математике формулу:

 

где е= 2,71828...

 

Из этой формулы следует:

 

95

 

 

Тогда для наращенной суммы  получаем

S= Ре^jn

(3.9)

Здесь

k_н.с=e^jn

(3.10)

Значения наращенной суммы  S можно вычислять с помощью финансового калькулятора или находя значения е^jn и других требуемых величин в специальных таблицах.

Очевидно, что непрерывный  способ начисления процентов дает максимальную величину наращенной суммы при прочих равных условиях (т. е. при одинаковых n,j, Р).

Аналогично случаю простых  процентов полученные формулы можно  преобразовывать, выражая одни величины через другие, в зависимости от того, что известно, а что требуется  найти.

Так, из формулы (3.1) получаем

 

(3.11)

Напомним, что, как и в  случае простых процентов, определение  современной величины суммы S называется дисконтированием.

Коэффициент дисконтирования  а является величиной, обратной коэффициенту наращения, т. е. k_н.с* а = 1.

Формула (3.11), а также соответствующие  формулы для случая простых ставок ссудного процента и для учетных  ставок дают легко понять, что текущий финансовый эквивалент будущей денежной суммы тем ниже, чем отдаленнее срок ее получения и чем выше норма доходности.

Также из формулы (3.1) имеем

 

(3.12)

Из формулы (3.6):

 

(3.13)

Применяя операцию логарифмирования к обеим частям формулы (3.1), получаем

 

(3.14)

 

Подобным же образом из формулы (3.6) получаем формулу:

 

96

 

(3.15)

 

Если нет специального калькулятора, значения логарифмов также  находят по таблицам.

Существует несколько  правил, позволяющих быстро рассчитать срок удвоения первоначальной суммы  для конкретной процентной ставки.

Правило «72»:

 

 

Правило «69» (более точное):

 

 

Здесь, однако, следует иметь  в виду, что при выводе этих правил используются математические формулы, дающие верный результат не для любых значений входящих в них величин. Например, выражение 1/х <= х (х > 0) неверно при х < 1.

Данные правила дают весьма точный результат при небольших  значениях i_с(%). До i_c(%) = 100(%) отклонения достаточно малы и ими можно пренебречь. При процентной ставке, равной, например, 120%, погрешность (для правила «69») составляет 5,2% (для правила «72» она будет больше) и растет с ростом i_c. При этом срок удвоения, полученный по правилу «69», будет больше, чем в действительности, а по правилу «72» — меньше.

В качестве примера найдем срок удвоения капитала при годовых ставках: а) 20% и б) 110% по формуле (3.14) и по правилам «б9» и «72».

а) n = ln 2/ln 1,2 = 3,8 года,    или

n = 72/20 = 3,6 года,        или

n = 69/20 + 0,35 = 3,8 года;

б) л = ln 2/ln 2,1 = 0,93 года,   или

n = 72/110 = 0,65 года,      или

n = 69/110 + 0,35 = 0,98 года (разница с точным значением — 18 дней).

Следующие примеры иллюстрируют использование полученных формул.

Пример 10

Первоначальная вложенная  сумма равна 200 000 руб. Определить наращенную сумму через пять лет при использовании простой и сложной ставок процентов в размере 28% годовых. Решить

 

97

 

 этот пример также  для случаев, когда проценты  начисляются по полугодиям, поквартально, непрерывно.

Решение

По формуле (1.7) для простых  процентных ставок имеем

S = 200 000 (1 +5 *0,28) = 480 000 (руб.). По формуле (3.1) для сложных процентов:

S = 200 000 (1 + 0,28)⁵ = 687 194,7 (руб.). По формуле (3.6) для начисления по полугодиям:

S= 200000(1 + 0,14)¹⁰ = 741 444,18 (руб.). Из той же формулы для поквартального начисления:

S=200 000 (1 + 0,07)²⁰ = 773 936,66 (руб.). По формуле (3.9) для непрерывного начисления:

S = 200 000 е^1,4 = 811 000 (руб.).

Пример 11

Первоначальная сумма  долга равна 50 000 000 руб. Определить наращенную сумму через 2,5 года, используя два  способа начисления сложных процентов по ставке 25% годовых.

Решение

По формуле (3.3) получаем S=50000000(1 +0,25)2(1 +0,125) =87890625 (руб.).

Для второго способа используем формулу (3.1) с нецелым показателем степени:

S = 50 000 000 (1 + 0,25)2'5 = 87 346 390 (руб.).

Отчетливо видно расхождение: при использовании приблизительного метода упущенная выгода могла бы составить около 550 000 руб.

Пример 12

Определить современную (текущую, настоящую, приведенную) величину суммы 100 000 000 руб., выплачиваемую через  три года, при использовании ставки сложных процентов 24% годовых.

Решение

Воспользуемся формулой (3.11):

Р = 100 000 000/0 + 0,24)³ == 52 449 386 (руб.).

Пример 13

За какой срок первоначальный капитал в 50 000 000 руб. увеличится до 200 000 000 руб., если:

 

98

 

а) на него будут начисляться  сложные проценты по ставке 28% годовых;

б) проценты будут начисляться  ежеквартально?

Решение

По формулам (3.14) и (3.15) имеем:

а) n = 1n(200 000 000/50 000 000)/ln(l + 0,28) = 5,6 года;

б) n = ln(200 000 000/50 000 000)/4 ln(l + 0,07) = 5,1 года.

Пример 14

Какова должна быть сложная  ставка ссудного процента, чтобы первоначальный капитал утроился за пять лет? Решить пример также для случая начисления процентов по полугодиям.

Решение

По формулам (3.12) и (3.13) вычисляем:

 

 

2.4. Сложные учетные  ставки

Рассмотрим теперь антисипативный способ начисления сложных процентов. Пусть dc (%) — сложная годовая учетная ставка;

d_c(%)     — относительная величина сложной учетной ставки;

k_н.у   — коэффициент наращения для случая учетной ставки;

f    — номинальная  годовая учетная ставка.

Тогда по прошествии первого года наращенная сумма S^ в соответствии с формулой (2.5) составит

 

 

Еще через год эта формула  будет применяться уже к сумме S,:

 

 

и т. д., аналогично случаю сложных  ставок ссудных процентов. По прошествии п лет наращенная сумма составит

 

(4.1)

 

Отсюда для множителя  наращения имеем

 

99

СТРАТЕГИЧЕСКИЙ И ОПЕРАТИВНО-ТАКТИЧЕСКИЙ  ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ

 Стратегия финансового  менеджмента  Тактика финансового  менеджмента Сочетание стратегии  и тактики финансового менеджмента   Риск-менеджмент  Практикум

 

(4.2)

 

Сравнивая формулы (3.1) и (4.1), легко видеть, что при равенстве ссудного процента и учетной ставки наращение первоначальной суммы во втором случае (антисипативный метод) идет быстрее.

Поэтому в литературе часто  можно встретить утверждение, чтс декурсивный метод начисления более выгоден для заемщика, а антисипативный — для кредитора. Это можно считать справедли вым лишь для небольших процентных ставок, когда расхождение не столь значительно (рис. 2). Но с ростом процентной ставки разница в величине наращенной суммы становится огромной (при этом она сама растет с ростом п), и сравнение двух методом с точки зрения выгодности утрачивает смысл. Представить себе эту разницу можно с помощью графика на рис. 3.

 

Рис. 2. Декурсивный (нижняя кривая) и антисипативный (верхняя кривая) способы начисления сложных процентов при i_с (%) = d_c (%) = 10%

 

Из формулы (4.1) также явствует, что для периодов начисления, превышающих один год, учетная ставка может принимать значения только строго меньшие (т. е. не достигающие) 100%. Иначе величины Р или S не будут иметь смысла, становясь бесконечными или даже отрицательными. Наращенная сумма Сочень быстро увеличивается с ростом d, стремясь к бесконечности, когда d (%) приближается к 100%.

В следующем разделе рассмотрим, какие учетные ставки дают результаты, одинаковые с наиболее распространенными  в настоящее время ставками ссудных процентов.

 

100

 

 

Рис. 3. Декурсивный (нижняя кривая) и антисинативный (верхняя кривая) методы начисления сложных процентов при iс (%) = dc (%) - 30%

Так же, как и при декурсивном способе, возможны различные варианты начисления антисипативных процентов (начисление за короткий — меньше года — интервал, начисление т раз в году и т. д.). Им будут соответствовать формулы, полученные аналогичным образом.

Так, для периода начисления, не являющегося целым числом, имеем

 

(4.3)

 

При учетной ставке, изменяющейся в течение срока ссуды, наращенная сумма превращается в

 

(4.4)

 

Здесь n1,n2,...,nN— продолжительность интервалов начисления в годах, d1, d2, ..., dN— учетные ставки, соответствующие данным интервалам.

Для начисления процентов  т раз в году формула имеет  такой вип-

 

(4.5)

 

или

(4.6)

 

При этом тп — целое число интервалов начисления за весь период начисления, l — часть интервала начисления.

 

101

 

При непрерывном начислении процентов S расчитывается по формуле:

 

(4.7)

 

Из полученных формул путем  преобразований получаем формулы для нахождения первоначальной суммы, срока начисления и величины учетной ставки:

 

(4.8)

 

(4.9)

 

(4.10)

 

(4.11)

 

(4.12)

 

Мы рассмотрели различные  способы начисления процентов. В  заключение составим таблицу, дающую возможность  наглядного представления результатов, получаемых при этих способах для  одной и той же первоначальной суммы, одинаковых по величине процентных ставок и периодов начисления п.

Таблица 1. Величина наращенной суммы в зависимости от вида процентной ставки

Р = 10 000 ам. долл., величина процентной ставки — 10%

 

Величина наращенной суммы	n= 1	n=3	n=6
S=P (1 + in)	11 000	13000	16000
S= P(l + i)n	11 000	13310	17716
S= Рein	11 052	13499	18222
S =P/(1 – dn)	11 111	14286	25000
S= P/(1- d)n	11 111	13717	18816

 

Результаты вычислений, вероятно, будут неожиданными для большинства  читателей — наибольший рост капитала мы имели бы в случае начисления процентов по простои учетной  ставке. (Следует заметить, что на практике она не применяется на длительных, больше года, периодах начисления.)

 

102

 

Однако, для  того, чтобы  выбрать в каждом конкретном случае наиболее выгодную процентную ставку, не обязательно считать получаемые суммы. Можно воспользоваться эквивалентными процентным» ставками, о которых пойдет речь в следующем разделе.