Простые ставки ссудных процентов

2.1. Простые ставки  ссудных процентов

Простые ставки ссудных (де курсивных) процентов применяются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда интервал начисления совпадает с периодом начисления (и составляет, как правило, срок менее одного года), или когда после каждого интервала начисления кредитору выплачиваются проценты. Естественно, простые ставки ссудных процентов могут применяться и в любых других случаях по договоренности участвующих в операции сторон.

Введем следующие обозначения:

i (%) — простая годовая  ставка ссудного процента;

i    — относительная  величина годовой ставки процентов;

Is   — сумма процентных денег, выплачиваемых за год;

I    — общая сумма  процентных денег за весь период  начисления;

Р   — величина первоначальной денежной суммы;

S   — наращенная сумма;

kн   — коэффициент наращения;

п    — продолжительность периода начисления в годах;

д    — продолжительность  периода начисления в днях;

К   — продолжительность года в днях.

Величина К является временной базой для расчета процентов.

В зависимости от способа  определения продолжительности  финансовой оперции рассчитывается либо точный, либо обыкновенный (коммерческий) процент.

Дата выдачи и дата погашения  ссуды всегда считаются за один день. При этом возможны два варианта:

вариант 1: используется точное число дней ссуды, определяемое по специальной таблице, где показаны порядковые номера каждого дня года; из номера, соответствующего дню окончания займа, вычитают номер первого дня;

вариант 2. берется приблизительное  число дней ссуды, когда продолжительность полного месяца принимается равной 30 дням;

этот метод используется, когда не требуется большая точность, например, при частичном погашении  займа.

 

86

 

Точный процент получают, когда за временную базу берут  фактическое число дней в году (365 или 366) и точное число дней ссуды.

Приведенным выше определениям соответствуют формулы:

 

(1.1)

 

(1.2)

 

 

(1.3)

 

 

(1.4)

 

(1.5)

 

(1.6)

 

Применяя последовательно  формулы (1.4), (1.3), (1.2) и (1.6), получаем основную формулу для определения наращенной суммы*:

 

(1.7)

 

или

 

(1.8)

 

На практике часто возникает  обратная задача: узнать величину суммы  Р, которая в будущем должна составить заданную величину S. В этом случае Р называется современной (текущей, настоящей**, приведенной) величиной суммы S.

Определение современной  величины Р наращенной суммы S называется дисконтированием, а определение величины наращенной суммы S — компаундингом.

В применении к ставке ссудного процента может также встретиться название математическое дисконтирование, несовместимое, кстати говоря, с учетными ставками, которые будут рассматриваться в следующем разделе.

Из формулы (1.7) получаем формулу, соответствующую операции дисконтирования:

В литературе нередко можно  встретить синонимы термина «наращенная сумма»: «будущая сумма», «будущая стоимость денег» (от англ. Future Value of Money) и т. п.

От англ. Present Value of Money.

 

87

 

 

(1.9)

Преобразуя формулу (1.7) (т. е. заменяя входящие в нее выражения на эквивалентные и выражая одни величины через другие), получаем еще несколько формул для определения неизвестных величин в различных случаях:

 

(1.10)

 

(1.11)

 

(1.12)

 

(1.13)

 

Иногда на разных интервалах начисления применяются разные процентные ставки. Если на последовательных интервалах начисления n₁,n₂,…,n_Nиспользуются ставки процентов i₁,i₂,…,i_N, то по формулам (1.2) и (1.3) сумма процентных денег в конце первого интервала составит

 

в конце второго интервала:

 

и т. д.

При N интервалах начисления наращенная сумма составит

 

(1.14)

Для множителя наращения, следовательно, имеем

 

(1.15)

 

Рассмотрим несколько  примеров, соответствующих различным  наборам исходных данных.

Пример 1

Ссуда в размере 50 000 руб. выдана на полгода по простой ставке процентов 28% годовых. Определить наращенную сумму. Решение

По формуле (1.7)

S = 50 000 (1 + 0,5 . 0,28) = 57 000 (руб.).

 

88

 

Пример 2

Кредит в размере 10 000 000 руб. выдан 2 марта до 11 декабря под 30% годовых, гол високосный. Определить размер наращенной суммы для различных вариантов (обыкновенного и точного) расчета процентов.

Решение

1. В случае точных процентов  берем ð = 284. По формуле (1.8) получаем

S = 10 000 000 (1 + 284/366 0,30) = 12 327 868 (руб.).

2. Для обыкновенных процентов  с точным числом дней ссуды  имеем

S = 10 000 000 (1 + 284/360 . 0,30) = 12 366 666 (руб.).

3. Для обыкновенных процентов  с приближенным числом дней  ссуды (д = 280) по формуле (1.8) получаем

S = 10 000 000 (1+280/360 • 0,30) = 12 333 333 (руб.).

Пример З

Кредит в размере 20 000 000 руб. выдается на 3,5 года. Ставка процентов  за первый год — 30%, а за каждое последующее  полугодие она уменьшается на 1%. Определить множитель наращения и наращенную сумму. Решение По формуле (1.15):

kн = 1 + 0,3 + 0,5 (0,29 + 0,28 + 0,27 + 0,26 + 0,25) = 1,975. По формуле (1.14):

S = 20 000 000 • 1,975 = 39 500 000 (руб.).

Пример 4

Определить период начисления, за который первоначальный капитал  в размере 25 000 000 руб. вырастет до 40 000 000 руб., если используется простая ставка процентов 28% годовых.

Решение

По формуле (1.10) получаем

n = (40 000 000 - 25 000 000)/(25 000 000 • 0,28) = 2,14 года.

Пример 5

Определить простую ставку процентов, при которой первоначальный капитал в размере 24 000 000 руб. достигнет 30 000 000 руб. через год.

Решение

По формуле (1.13) определяем i = (30 000 000 - 24 000 000)/(24 000 000 • 1) = 0,25 = 25%.

 

89

 

 Пример 6

Кредит выдается под простую  ставку 26% годовых на 250 дней. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и сумму  процентных денег, если требуется возвратить 40 000 000 руб.

Решение

По формуле (1.9) (операция дисконтирования) имеем

Р = 40 000 000 /(1 + 250/365 • 0,26) = 33 955 857 (руб.).

Из формулы (1.4) получаем

I = 40 000 000 - 33 955 857 = 6 044 143 (руб.).

 

2.2. Простые учетные  ставки

При антисипативном способе начисления процентов сумма получаемого дохода рассчитывается исходя из суммы, получаемой по прошествии интервала начисления (т. е. из наращенной суммы). Эта сумма и считается величиной получаемого кредита (или ссуды). Так как в данном случае проценты начисляются в начале каждого интервала начисления, заемщик, естественно, получает эту сумму за вычетом процентных денег. Такая операция называется дисконтированием по учетной ставке, а также коммерческим или банковским учетом.

Дисконт — это доход, полученный по учетной ставке, т. е. разница между размером кредита и непосредственно выдаваемой суммой.

Пусть теперь d(%} — простая годовая учетная ставка;

d    — относительная величина учетной ставки;

Dς   — сумма процентных денег, выплачиваемая за год;

D   — общая сумма  процентных денег;

S   — сумма, которая должна быть возвращена;

Р   — сумма, получаемая заемщиком.

Тогда, согласно определениям, имеем следующие формулы:

 

(2.1)

 

D ς =dS;

(2.2)

D = n D ς, = n d S;

(2.3)

P=S-D=S(1-nd) = S[1-( ð /K)d].

(2.4)

Преобразуя последнее  выражение, получаем формулу для  определения наращенной суммы:

 

90

 

(2.5)

 

Из этой формулы легко  видеть, что в отличие от случая простых ставок ссудного процента простые  учетные ставки не могут принимать любые значения. Именно для того, чтобы выражение (2.5) имело смысл, необходимо, чтобы знаменатель дроби в правой части был строго больше нуля, т. е. (1 — nd) > 0, или d < 1/n. Правда, со значениями d, близкими к предельным, вряд ли можно встретиться в жизни.

На практике учетные ставки применяются главным образом  при учете (т. е. покупке) векселей и  других денежных обязательств. Вопрос получения дохода по векселям будет подробно рассмотрен в разделе 2.8.

Из приведенных формул можно вывести еще две формулы  для определения периода начисления и учетной ставки при прочих заданных условиях:

 

(2.6)

 

(2.7)

Пример 7

Кредит выдается на полгода  по простой учетной ставке 20%. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и величину дисконта, если требуется возвратить 30 000 000 руб. Решение По формуле (2.4) получаем

Р = 30 000 000 (1 - 0,5 • 0,2) = 27 000 000 (руб.). Далее

D = S - Р = 30 000 000 - 27 000 000 = 3 000 000 (руб.).

Пример 8

Кредит в размере 40 000 000 руб. выдается по простой учетной  ставке 25% годовых. Определить срок, на который предоставляется кредит, если заемщик желает получить 35 000 000 руб.

Решение

Расчет проводится по формуле (2.6):

п = (40 000 000 - 35 000 000)/(40 000 000 • 0,25) = 0,5 года.

 

91

 

 Пример 9

Рассчитать учетную ставку, которая обеспечивает получение 9 000 000 руб., если сумма в 10 000 000 руб. выдается в ссуду на полгода.

Решение

По формуле (2.7):

d=(10000000-9000000)/(10000000-0,5) =0,2=20%.

2.3. Сложные ставки  ссудных процентов

Если после очередного интервала начисления доход (т. е. начисленные за данный интервал проценты) не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяют формулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты в настоящее время являются весьма распространенным видом применяемых в различных финансовых операциях процентных ставок.

Пусть

i_с   — относительная величина годовой ставки сложных ссудных процентов;

kн.с — коэффициент наращения в случае сложных процентов;

j    — номинальная ставка сложных ссудных процентов (ее определение будет дано в дальнейшем).

Если за интервал начисления принимается год, то по прошествии первого года наращенная сумма в соответствии с формулой (1.7), составит

S1=P(1+ i_c).

 Еще через год это  выражение применяется уже к  сумме S₁:

S₂ = S₁ ( l + i_c) = P (l + i_c)²

и так далее. Очевидно, что  по прошествии п лет наращенная сумма составит

S=P(1+i_c)ⁿ                                                             (3.1)

 

Множитель наращения k н.с соответственно будет равен

k_н.с = (1 + i_с)ⁿ                                                         (3.2)

При начислении простых процентов  он составил бы по формулам (1.5) и (1.7):

k_н = (1 + n i).

 

92

 

Сравнивая два последних  выражения для коэффициентов  наращения, можно видеть, что чем больше период начисления, тем больше разница в величине наращенной суммы при начислении простых и сложных процентов.

Эту разницу можно наглядно представить с помощью графиков, изображенных на рис. 1. Здесь, как и на всех последующих рисунках, по горизонтальной оси откладываются годы, по вертикальной — тысячи рублей. Первоначальная сумма составляет 1000 руб., процентная ставка — 30% годовых. Верхняя линия соответствует наращению денежной массы в случае применения сложной процентной ставки. Она представляет собой пример экспоненциального роста (чем больше п, тем круче кривая уходит вверх), в то время как нижняя линия (соответствующая случаю простых процентов) является прямой с очень небольшим углом наклона.

Поэтому, когда возникает  возможность выбора межцу низкой сложной процентной ставкой и более высокой простой, следует отдавать предпочтение первому варианту. Естественно, если в нашем распоряжении более или менее значительный период времени. Сумма, наращенная по сложной процентной ставке, уже через небольшое (в зависимости от разницы в величине процентных ставок) количество интервалов начисления превысит сумму, наращенную по простой ставке (см. рис. 1). Подробно этот вопрос рассматривается в разделе 2.5.

 

Рис. 1. Наращение  вложенной суммы по простои и  сложной процентным ставкам (i = i_с = 30%)

 

Если срок ссуды п в годах не является целым числом, множитель наращения определяют по выражению:

 

93

 

k_н.с.=(1+i_c)^na(1+_nbi_c),

(3.3)

где  n = n_а + n_b

n_а — целое число лет;

n_b — оставшаяся дробная часть года.

На практике в данном случае часто предпочитают пользоваться формулой (3.1) с соответствующим нецелым  показателем степени. Но нужно иметь  в виду, что с точки зрения сущности начисления процентов этот способ является приблизительным, и погрешность  при вычислениях будет тем  больше, чем больше значения входящих в формулу величин. Наибольшее расхождение мы получим при n_b = 1/2, как раз в том случае, когда очень удобно применить формулу (3.1), ведь на всех калькуляторах есть операция извлечения квадратного корня (т. е. возведения в степень 1/2). Следует учитывать, что приблизительный метод дает меньший, чем в действительности, результат.

Таким образом, в современной  ситуации, когда номиналы денежных сумм достаточно велики, от этого метода лучше отказаться вовсе. В конце раздела будет приведен пример, позволяющий оценить разницу в результатах при двух способах вычисления множителя наращения по формулам (3.2) и (3.3).