Решение задач по финансовой математике

Решение задач по финансовой математике.

Задание 1.15

Заем D =20 000 д.е. взят на n = 8 лет под i = 8% годовых. Погашаться будет ежегодными равными выплатами. Найдите размер это выплаты. Расчеты провести для простой и сложной процентных ставок.

Решение.

Величину ренты при сложной процентной ставке определим по формуле:

Размер ежегодной выплаты  составит 3480 д. е.

Величина ренты при простой процентной ставке:

  

Размер ежегодной выплаты  составит 2700 д. е.

 

 

 

Задание 2.15

Для ренты с параметрами: годовая ставка процента r = 12%, годовой платеж R = 400 д.е., длительность ренты п = 6 лет, получить следующие ее характеристики: коэффициенты приведения и наращения, современную и наращенную величины. Расчеты провести для простой и сложной процентных ставок.

Решение.

Для сложных  процентов.

Современная величина ренты при сложной процентной ставке:

 , где r – процентная ставка, - коэффициент приведения.

Наращенная величина ренты при  сложной процентной ставке:

, где - коэффициент наращения.

Находим коэффициент приведения:

Современная величина ренты: 400·4,111 = 1644,4 д. е.

Коэффициент наращения:

Наращенная величина:  8,115·400 = 3246 д. е.

Для простых  процентов.

Современная величина ренты при простой процентной ставке:

   _{, где i – ставка простых процентов,}

_{- коэффициент приведения.}

Наращенная  величина ренты при простой процентной ставке:

_{, где}  - коэффициент наращения.

Найдем коэффициент приведения:

Современная величина ренты: 400·5,357 = 2142,8 д. е.

Коэффициент наращения:

Наращенная величина:  7,8·400 = 3120 д. е.

 

 

Задача 3.15

Первый инвестор осуществил покупку одного ГКО по цене 85% от номинала, а затем продажу по цене 86% от номинала. Второй инвестор купил одну корпоративную облигацию по цепе 85% от номинала. По какой цене (в процентах от поминала) он должен продать корпоративную облигацию, чтобы получить прибыль в два раза большую, чем первый инвестор от операции с ГКО (учесть налог на прибыль)? Помощь на экзамене онлайн.

Решение.

Определим доходность операции, совершенной первым инвестором:

0,86/0,85 = 1,0118, прибыль составляет 1,2%, с учетом налога на прибыль в размере 10%, получим значение чистой прибыли: 1,2%·0,9 = 1,08%.

Тогда чистая прибыль  второго инвестора должна составлять 1,08·2 = 2,16%.

Прибыль без учета  налога: 2,16/0,9 = 2,4%. Доходность сделки должна составлять 1,024.

Находим цену продажи  акции: 85%·1,024 = 87%.

Второй инвестор должен продать акцию по цене 87% от номинала.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема «Оптимальный портфель ценных бумаг»

 

16. С помощью компьютера найден оптимальный портфель максимальной эффективности для трех ценных бумаг с доходностью и риском: (10, 21); (20, 34); (43, 47) (те же ценные бумаги, что и в примере 1); верхняя граница риска задана равной 27. Доли бумаг оказались равными 6, 49 и 45%. Проверить компьютерные расчеты.

 

Решение.

Найдем ожидаемую доходность:

=R₁X₁ + R₂X₂ + R₃X₃ =10·0,06 + 20·0,49 + 43·0,45 = 29,75.

Расчеты по ожидаемой доходности оказались верными.

Найдем риск полученного  портфеля.

Дисперсия: V_p = s₁²∙X₁² + s₂²∙X₂² + s₃²∙X₃² = 0,21² ·0,06² + 0,34²·0,49² + 0,47²·0,45² = 0,0726

Тогда риск будет: r = 26,9%

 

 

 

Тема  «Оценка стоимости вторичных  ценных бумаг»

 

Задача 2.10.

Продавец реализует  опцион колл на акцию компании «В» с ценой исполнения 30 руб. Цена за опцион (премия), полученная продавцом, составляет 4 руб. На момент исполнения опциона курс акции составил 32 руб. Определите, прибыль или убыток получил покупатель опциона.

Решение.

Так как рыночная цена на момент исполнения выше цены опциона S>K, то прибыль опциона составит 32 – 30 = 2 руб., с учетом прими заплаченной продавцу, доход покупателя составит 2 – 4 = -2 руб. Следовательно, покупатель окажется в убытке, что бы оказаться в точке безубыточности, рыночная цена акции должна составлять 34 руб.

 

 

Задача 2.13.

Инвестор приобрел опцион стрэнгл на акции компании «А»  со стеллажными точками (цены исполнения)140 и 180 руб. Премия, уплаченная при этом продавцу опциона, составила 50 руб. Рассчитайте итоги сделки для инвестора, если рыночная цена акции в момент исполнения двойного опциона составила:

в) 260 руб.

Решение.

Так как рыночная цена поднялась, то эффективным будет опцион колл. Доход, по которому составит 260 – 140 = 120 руб., с учетом премии уплаченной продавцу прибыль инвестора составит 120 – 50 = 70 руб.

В) Тесты

1. Покупка колл-опциона  используется для:

А. Игры на повышение.

 

2. Продажа пут-опциона  используется для:

Б. Игры на понижение.

 

3. Опцион на покупку  — это опцион, дающий право:

А. Держателю опциона купить ценные бумаги.

 

4. Опцион на продажу  — это опцион, дающий право:

А. Держателю опциона  продать ценные бумаги.

 

5. Надписатель опциона  — это:

Б. Продавец оциона.

 

6. При покупке опциона  на продажу:

Г. Держатель опциона  играет на понижение, надписатель – на повышение.

 

7. При покупке опциона  на покупку:

Б. Держатель опциона  играет на повышение, надписатель – на понижение.

 

8. Фиксированная цена, по которой покупатель опциона  может реализовать свое право  на продажу или покупку базисного  актива, называется:

Г. Цена исполнения.

9. Опцион будет называться  опционом «в деньгах», если:

 

А. Цена исполнения превышает текущую цену.

 

10. Опцион будет называться  опционом «без денег», если:

В. Цена исполнения ниже текущей цены.

 

11. Доход держателя  опциона, который он получил  бы в случае немедленной реализации контракта, представляет собой:

^{Б. Премию.}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.15  Задача на расчет справедливой цены опционы

б) по Формуле Блэка-Шоуэлса  рассчитать цену опциона –колл и  фьючерса, а затем найти цену опциона  –пут

вариант	15
Т	10
r	0,1
σ	0,1
S	100
K	70

Решение.

Опцион-колл.

В этом случае , так что

.

Найдём  из условия

.

Логарифмируя, получим:

.

Теперь

.

Вычислим входящие сюда интегралы через функцию Лапласа

Имеем

Далее,

Сводя всё вместе, получаем окончательно

Здесь K – цена исполнения, S – рыночная цена акции, Т – период времени.

Находим:

≈1

≈1

С₀(S) = 100 - 70∙e^-0,1∙10 = 74,248 руб.

Фьючерс.

Для фьючерса и поэтому

.

Так как 

то для цены фьючерса получаем

= 100 - 70∙e^-0,1∙10 = 74,248 руб.

Опцион-пут.

Воспользоваться соотношением паритета

,

откуда легко находится  = 74,248 – 74,248 = 0 руб.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Статистика  фондового рынка и элементы технического анализа

 

Из таблицы  приложения (результаты торгов акциями ЛУКойл НК) в соответствии с последней цифрой Вашей зачетной книжки( для студентов дневной формы по последней цифре номера в журнале) выберите необходимые исходные данные (25 строк) для выполнения контрольной работы:

Дата	Цена открытия	MAX	MIN	Цена закрытия
01.06.1998	60	60	51,9	53
02.06.1998	56,5	65,5	54,5	64,69
03.06.1998	66,5	70,7	64,35	68,4
04.06.1998	70,6	72,15	66,5	67,5
05.06.1998	69	69,68	66,5	67,4
08.06.1998	65,02	67,7	65	66,9
09.06.1998	66	66,45	61,2	63,3
10.06.1998	58	61	57,5	58,49
11.06.1998	55,6	60	55,1	60
15.06.1998	52,6	56,01	52,6	53,8
16.06.1998	51,4	56,7	50,65	53
17.06.1998	56	60,68	53,7	59,5
18.06.1998	63	64,1	56	56
19.06.1998	53,55	58,2	52,55	56,7
22.06.1998	56,5	57,8	56,2	56,7
23.06.1998	58,5	59,88	57,8	59,7
24.06.1998	60,8	64,6	59,45	64
25.06.1998	64	64,19	59,8	59,8
26.06.1998	56	57,9	55,3	55,85
29.06.1998	53,5	54,2	51,8	53,2
30.06.1998	53,2	53,5	51,27	52,42
01.07.1998	53,3	54,5	50,75	51
02.07.1998	50,2	52,3	48,9	52,3
03.07.1998	52,94	55	51,27	55
06.07.1998	53,1	53,9	50,72	51,3

 

Выполнить следующие задания:

1. Постройте график - гистограмму.

2. Постройте график японских свечей.
3. Рассчитайте по ценам закрытия:

а) нормированный 5-уровневые инерционный осциллятор;

б)       осциллятор нормы изменения.

4. Рассчитайте по ценам закрытия:

а)  5-уровневую невзвешенную скользящую среднюю (МА5);

б) 5-уровневую экспоненциальную скользящую среднюю (ЕМА5);

в)       9-уровневую экспоненциальную скользящую среднюю (ЕМА9).

5. На основе полученных экспоненциальных средних рассчитайте значения уровней и постройте на графиках:

а)  сигнальную линию (применив осреднение по 7 уровням);

б)        линию MACD;

в)        MACD-гистограмму.     

Решение.

1. Построим график гистограмму.

2. Построим график японских свечей. 
   
3. Рассчитаем по ценам закрытия:

А) нормированный 5-уровневые инерционный осциллятор.

Инерционный осциллятор или момент представляет собой разность текущего значения цены и ее значения, зафиксированного несколько дней назад:

M_x = p_i – p_i-x

где  p_i - цена закрытия или средневзвешенная цена i-гo дня;

  p_i-x - цена закрытия или средневзвешенная цена х дней назад.

Данный осциллятор оценивает  скорость роста или падения уровней цены. При этом с уменьшением временного интервала х он становится более чувствительным к изменениям исследуемой динамики.

Для повышения  аналитичности инерционный осциллятор нормируется. Для этого за определенный временной интервал выбирается его максимальное по модулю значение и все другие значения делятся на этот максимумом. На графике нормированный инерционный осциллятор будет изменяться в интервале от -1 до +1.

Расчет инерционного осциллятора, нормированного инерционного осциллятора, а так же осциллятора нормы изменения представлен в таблице 5.1.

Таблица 5.1.

Дата	Цена закрытия	Mx	Нормированный осцилятор	ROC
01.06.1998	53
02.06.1998	64,69
03.06.1998	68,4
04.06.1998	67,5
05.06.1998	67,4
08.06.1998	66,9	13,9	1,000	126,2%
09.06.1998	63,3	-1,39	-0,100	97,9%
10.06.1998	58,49	-9,91	-0,713	85,5%
11.06.1998	60	-7,5	-0,540	88,9%
15.06.1998	53,8	-13,6	-0,978	79,8%
16.06.1998	53	-13,9	-1,000	79,2%
17.06.1998	59,5	-3,8	-0,273	94,0%
18.06.1998	56	-2,49	-0,179	95,7%
19.06.1998	56,7	-3,3	-0,237	94,5%
22.06.1998	56,7	2,9	0,209	105,4%
23.06.1998	59,7	6,7	0,482	112,6%
24.06.1998	64	4,5	0,324	107,6%
25.06.1998	59,8	3,8	0,273	106,8%
26.06.1998	55,85	-0,85	-0,061	98,5%
29.06.1998	53,2	-3,5	-0,252	93,8%
30.06.1998	52,42	-7,28	-0,524	87,8%
01.07.1998	51	-13	-0,935	79,7%
02.07.1998	52,3	-7,5	-0,540	87,5%
03.07.1998	55	-0,85	-0,061	98,5%
06.07.1998	51,3	-1,9	-0,137	96,4%