Непрерывные проценты

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Сочинский государственный университет

Экономический факультет

Кафедра финансы и кредит

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине «Финансовая актуарная математика»

Вариант 22

На тему: Непрерывные проценты

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: Глушенкова Елена Валерьевна

группа 12 ЗБЭ-НН

 

 

Проверил:

к.э.н. Белоножкин Ю.Н.

 

 

 

Сочи 2014 год

 

Содержание

 

1. Постоянная сила роста
2. Переменная сила роста
3. Эквивалентность процентных ставок
4. Средние величины в финансовых расчетах
5. Финансовая эквивалентность обязательств и конверсия платежей
6. Список литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Постоянная сила роста

 

Непрерывные проценты - в теоретических финансовых расчетах - проценты, начисляемые за бесконечно малые промежутки времени.

 

При использовании дискретной номинальной ставки наращенная сумма определяется по формуле:

 

 

При переходе к непрерывным процентам получим:

 

 

– множитель наращения при непрерывной капитализации процентов.

Обозначая силу роста через , получим:

 

 

т.к. дискретные и непрерывные ставки функционально связаны друг с другом, то можно записать равенство множителей наращения

 

 

Пример

На первоначальный капитал 500 тыс. руб. начислили сложные проценты – 8% годовых в течении 4 лет. Определить наращенную сумму, если начисление процентов производится непрерывно.

 

 

Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок

В формуле (4.21) можно определить современную величину

 

 

Непрерывная процентная ставка, используемая при дисконтировании называется силой дисконта. Она равна силе роста, т.е. используется для дисконтирования силы дисконта или силы роста приводят к одному и тому же результату.

Пример

Определить современную стоимость платежа при условии, что дисконтирование производится по силе роста 12% и по дискретной сложной учетной ставке такого же размера.

 

 

2. Переменная сила роста

 

С помощью этой характеристики моделируются процессы наращения денежных сумм с изменяющейся процентной ставкой. Если сила роста описывается некоторой непрерывной функцией времени, то справедливы формулы.

Для наращенной суммы:

 

 

Современная стоимость:

1. Пусть сила роста изменяется дискретно и принимает значения: в интервалы времени , тогда по истечению срока ссуды наращенная сумма составит:

 

Если срок наращения равен n, а средняя величина роста: , то

 

 

Пример

Определить множитель наращения при непрерывном начислении процентов в течение 5 лет. Если сила роста изменяется дискретно и соответствует: 1 год –7%, 2 и 3 – 8%, последние 2 года – 10%.

 

 

2. Сила роста непрерывно изменяется во времени и описывается уравнением:

 

 

где – начальная сила роста (при )

а – годовой прирост или снижение.

Вычислим степень множителя наращения:

 

 

Пример

Начальное значение силы роста 8%, процентная ставка непрерывная и линейно изменяется.

Прирост за год –2%, срок наращения – 5 лет. Найти множитель наращения.

 

 

3) Сила роста изменяется в геометрической прогрессии, тогда

 

Множитель наращения:

 

Пример

Определить множитель наращения при непрерывном начислении процентов в течении 5 лет, если начальная сила роста –10%, а процентная ставка ежегодно увеличивается на3%.

 

 

Срок ссуды определяется по формулам:

– при наращении по постоянной ставке

 

 

– при наращении по изменяющейся ставке, когда изменяется в геометрической прогрессии

 

 

Пример

Определить срок, необходимый для увеличения первоначальной в 3 раза при начислении по изменяющейся с постоянным темпом роста ставки непрерывных процентов, если начальная ставка – 15%, а годовой темп её роста –1,05

 

 

3. Эквивалентность процентных ставок

 

Ставки, обеспечивающие равноценность финансовых последствий называются эквивалентными или релятивными.

Равноценность финансовых последствий может быть обеспечена, если наблюдается равенство множителей наращения.

Если в выражениях

1. простая процентная ставка

 

;

 

2. наращенная сумма по учетной ставке

 

 

Если , то множители наращения равны

 

, тогда

 

Если срок ссуды меньше года, то и эквивалентность определяется для двух случаев равных временных баз и разных временных баз.

Если временные базы одинаковы ( ), то формулы имеют вид:

 

 

Если начисление процентов по ставке i производится при базе 365, а по ставке d при базе 360, то справедливо:

 

Пример

Вексель учтен в банке по учетной ставкой 8% в день окончания срока его обращения = 200 (k=360). Определить доходность этой операции по ставке простых процентов (k=365).

 

 

Эквивалентность простых и сложных процентных ставок

При начислении процентов один раз в год определяется по формулам:

 

– простая ставка:

– сложная ставка:

 

Пример

Какой сложной годовой ставкой можно заменить простую ставку 18% (k=365) не изменяя финансовых последствий . Срок операции – 580 дней.

 

 

Эквивалентность простой процентной ставки и сложной ставки.

При начислении m раз в году определяется по формуле:

 

 

Пример

При разработке условий контракта стороны договорились, что доходность кредита должна составлять 24%. Каков должен быть размер номинальной ставки при начислении процентов ежемесячно, поквартально.

 

 

Эквивалентность простой учетной ставки и ставки сложных процентов определяется по формуле:

 

 

Эквивалентность номинальной ставки сложных процентов при начислении процентов m раз в год и простой учетной ставки определяется по формулам:

 

 

Эквивалентность сложных ставок определяется по формулам:

 

Эквивалентность сложной учетной ставки и номинальной сложной процентной ставки при начислении процентов m раз в году определяется по формулам:

 

 

Эквивалентность непрерывных и дискретных ставок:

 

 

Эквивалентность силы роста и номинальной ставки:

 

 

При дискретном и линейном изменении силы рост, а так же если она изменяется с постоянным темпом эквивалентную зависимость со ставками сложных процентов можно выразить формулами:

 

 

Эквивалентность силы роста и учетных ставок для постой учетной ставки определяется по формулам:

 

Для сложной учетной ставки:

 

;

Замечание. Используя формулы эквивалентности дискретных и непрерывных ставок можно представить результаты применения непрерывных процентов в виде общепринятых характеристик.

 

4. Средние величины в финансовых расчетах

 

Для нескольких процентных ставок их среднее значение является эквивалентной величиной. В случае если суммы получаемых кредитов равны между собой, то средняя процентная ставка для простых процентов рассчитывается по формуле средней взвешенной с весами равными временным периодам, в течение которых действовала данная ставка.

Замечание. Замена всех усредняемых значений ставок на среднюю процентную ставку не изменяет результатов наращения или дисконтирования:

 

 

Пример

Предприятие в течении года получило 2 равных по величине кредита 500 тыс. руб. каждый. 1 кредит на 3 месяца под 10% годовых. 2 кредит – на 9 месяцев под 16 % годовых. Определить среднюю процентную ставку, проверить полученный результат вычислив наращенные суммы.

 

 

При получении различных по величине кредитов выданных под различные процентные ставки средняя ставка так же вычисляется по формуле средней взвешенной с весами равными произведениям сумм полученных кредитов на сроки, которые они выданы.

 

 

Расчет средней простой учетной ставки учетной ставки производится по формуле:

 

 

Средняя ставка по сложным процентам определяется по формуле:

 

 

При анализе работы кредитных учреждений рассчитываются показатели: средний размер ссуды, её средняя продолжительность, среднее число оборотов ссуды и другие показатели.

Средний размер одной ссуды без учета количества оборотов за год вычисляется по формуле:

 

 

С учетом количества оборотов за год по формуле:

 

 

где – количество оборотов,

– продолжительность периода

К – число клиентов, получивших ссуд.

Средний размер всех ссуд с учетом количества оборотов за год показывает остаток задолженности по всем ссудам за год. Он равен среднему размеру одной ссуды с учетом оборачиваемости за год помноженного на число клиентов, получивших ссуду:

 

где – это общий оборот, т.е. сумма погашенных кредитов, погашенных за период.

Средний остаток всех ссуд с учетом количества оборотов за год определяется по формуле средней хронологической моментного ряда по данным месячных бухгалтерских балансов кредитного учреждения выдавшего ссуду по формуле:

 

 

где – ежемесячные остатки выданных ссуд.

Число оборотов отдельных ссуд при условии их непрерывной оборачиваемости за изучаемый период определяется как частное от деления продолжительности периода на срок выдачи ссуды.

 

 

Среднее число оборотов всех ссуд за период при условии, что происходит непрерывная их оборачиваемость рассчитывается по формуле, исходя из наличия данных.

 

 

Средний срок кредита отдельных ссуд или всех ссуд в целом рассчитывается по различным формулам

эквивалентность конверсия дисконтирование ставка

 

 

5. Финансовая эквивалентность обязательств  и конверсия платежей

 

Замена одного денежного обязательства на другое или объединение нескольких платежей в один базируется на принципе финансовой эквивалентности обязательств.

Эквивалентными считаются платежи, которые, будучи приведены к одному моменту времени оказываются равными. Он следует из формул наращения и дисконтирования. Две суммы и считаются равными, если их современные величины на один момент времени одинаковы, с ростом процентной ставки размеры современных стоимостей уменьшаются. Ставка , при которой называется критической или барьерной. Она выводится из равенства .