Контрольная работа по "Финансовой математике"

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО

Финансовый университет  при Правительстве Российской Федерации

Уфимский филиал

Кафедра Математика и  информатика

 

 

 

Контрольная работа

Вариант № 8

 

 

 

Выполнил студент:

 

 

 

 

 

 

 

 

Уфа 2012

 

Задание 1

В табл. 1.1 представлены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство за 4 года (16 кварталов).

Таблица 1.1

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Y(t)	39	50	59	38	42	54	66	40	45	58	69	42	50	62	74	46

 

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, применив параметры сглаживания α₁ = 0,3;     α₂ = 0,6; α₃ = 0,3.
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней ошибки аппроксимации;
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
• случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
• независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических использовать уровни d₁ = 1,10 и d₂ = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом уровне значения      r₁ = 0,32;

• нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
5. Отобразить на графиках фактические, расчетные и прогнозные данные.

 

Решение

Для оценки начальных  значений а(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t). Линейная модель имеет вид:

 

_{Метод наименьших квадратов  дает возможность  определить коэффициенты линейного уравнения   по формулам:∑}

Таблица 1.2

t	Y(t)	t-t	(t-t )	Y-Y	(Y-Y ) (t-t )
1	39	-3,5	12,25	-9,5	33,25
2	50	-2,5	6,25	1,5	-3,75
3	59	-1,5	2,25	10,5	-15,75
4	38	-0,5	0,25	10,5	5,25
5	42	0,5	0,25	-6,5	-3,25
6	54	1,5	2,25	5,5	8,25
7	66	2,5	6,25	17,5	43,75
8	40	3,5	12,25	-8,5	-29,75
36	388	0	42	0	38

 

Произведем расчет:

Уравнение с  учетом полученных коэффициентов имеет вид:

Для сопоставления фактических  данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений Y_p(t) составим таблицу (табл. 1.3).

Таблица 1.3

t	1	2	3	4	5	6	7	8
Y(t)	39	50	59	38	42	54	66	40
Yp(t)	45,23	46,24	47,14	48,05	48,95	49,86	50,76	51,67

 

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) I квартала первого года, равное , и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5) . Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.

_{Аналогично  находим оценки коэффициентов  сезонности для  II, III и IV кварталов:}

Построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса (табл. 1.4) используя следующие формулы:

Таблица 1.4

Модель Хольта-Уинтерса

 

t	Y(t)	a(t)	b(t)	F(t)	Y (t)	Абс. погр., E(t)	Отн. погр., в %
1	2	3	4	5	6	7	8
0	-	44,43	0,90	0,7825	-		-
1	39	45,35	0,91	0,8596	38,94	0,06	0,14
2	50	46,24	0,90	1,0817	50,06	-0,06	0,12
3	59	46,87	0,82	1,2656	60,14	-1,14	1,94
4	38	47,95	0,90	0,7885	37,32	0,68	1,79
5	42	48,85	0,90	0,8597	41,99	0,01	0,01
6	54	49,80	0,91	1,0832	53,82	0,18	0,34
7	66	51,15	1,04	1,2805	64,19	1,81	2,75
8	40	51,75	0,91	0,7791	41,15	-1,15	2,88
9	45	52,57	0,88	0,8575	45,27	-0,27	0,61
10	58	53,48	0,89	1,0840	57,90	0,10	0,17
11	69	54,22	0,85	1,2757	69,62	-0,62	0,90
12	42	54,72	0,74	0,7722	42,91	-0,91	2,17
13	50	53,32	1,00	0,8757	47,56	2,44	4,88
14	52	57,28	0,99	1,0831	62,13	-0,13	0,21
15	74	58,19	0,96	1,2733	74,33	-0,33	0,45
16	46	59,28	1,00	0,7745	45,68	0,32	0,70
							20,07

 

Проверка качества модели.

Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного  ряда E(t) (разности между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 1.5.

Таблица 1.5

Промежуточные расчеты  для оценки адекватности модели

 

t	E(t)	Точка поворота	E(t)2	[E(t)-E(t-1)]2	E(t)xE(t-1)
1	0,06	ххх	0,00	-	-
2	-0,06	0	0,00	0,01	0,00
3	-1,15	1	1,33	1,19	0,07
4	0,67	1	0,45	3,32	-0,77
5	-0,02	1	0,00	0,48	-0,01
6	0,16	0	0,03	0,03	0,00
7	1,80	1	3,24	2,68	0,30
8	-1,15	1	1,33	8,73	-2,08
9	-0,29	0	0,08	0,76	0,33
10	0,09	1	0,01	0,14	-0,03
11	-0,62	0	0,39	0,51	-0,06
12	-0,91	1	0,83	0,08	0,57
13	2,44	1	5,93	11,18	-2,21
14	-0,14	0	0,02	6,61	-0,33
15	-0,33	1	0,11	0,04	0,04
16	0,32	ххх	0,11	0,43	-0,11
Сумма	0,88	9,00	13,85	36,20	-4,30

 

Проверка  точности модели.

Будем считать, что условие  точности выполнено, если относительная  погрешность (абсолютное значение отклонения abs{E(t)}, поделенное на фактическое значение Y(t) и выраженное в процентах 100%* abs{E(t)}/ Y(t) в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей (см. гр. 8 табл. 1.4) составляет 20,07, что дает среднюю величину 20,07/16 = 1,25%, что не превышает 5%.

Следовательно, условие точности выполнено.

 

Проверка  условия адекватности.

Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

Проверка  случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты (гр. 2 табл. 1.5) проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда Е сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в гр. 3 табл. 1.5 для этой строки ставится 1, в противном случае в гр. 3 ставится 0. В первой и в последней строке гр. 3 табл. 1.5 ставится прочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двух соседних уровней.

Общее число поворотных точек в  нашем примере равно р=9.

Рассчитаем значение :

_{Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть. При N = 16.}

Так как количество поворотных точек р=9 больше q=6, то условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции). Проверку проводим двумя методами:

1) по d-критерию критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни d₁=1,10 и d₂=1,37):

_{Так как полученное значение больше 2, то величину d уточним:}

_{1,37<1,39<12 – следовательно, уровни ряда E(t) независимы.}

_{2) по  первому коэффициенту  автокорреляции  r(1):}

Если модуль рассчитанного  значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения < r_табл., то уровни ряда остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень r_табл. = 0,32. Имеем: =0,31 < r_табл. = 0,32 – значит уровни независимы.

Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS-критерию. Рассчитаем значение RS: