Апории Зенона

Приведенное построение можно повторить применительно к любой точке нашей кривой. Впрочем, не обязательно только нашей, а вообще любой кривой. Конечно, вид производной будет неодинаковым для разных кривых, не говоря уже о том, что ее значение меняется от точки к точке у каждой кривой. Но теперь мы знаем закон поведения производной: она меняется так же, как и угол наклона касательной к кривой в данной точке. И геометрический смысл произведений — тангенс этого угла. Ведь что такое наши “дельта эс” и “дельта тэ”, как не катеты прямоугольного треугольника! Треугольник построен на гипотенузе с теми самыми краевыми точками, которые отмечали положение центра тяжести стрелы на обоих кадрах. Когда же мы начали сдвигать эти соседние точки, гипотенуза слилась с касательной.

Так вот: отыскав производную, мы продифференцировали функцию — в нашем случае уравнение параболы. Зная производную, мы можем найти и первоначальную (первообразную) функцию, то есть проделать обратную операцию — интегрирование. Приемы дифференцирования и интегрирования едва ли сложнее алгебраических правил. Но нас сейчас волнует не это. Какой смысл таится в дроби ds/dt ? Здесь и числитель и знаменатель вроде бы... нули! Но ведь отношение нулей — абсурд!

Чтобы разобраться в парадоксе, придется снова совершить экскурс в прошлое и ответить на вопрос: а сумел ли Ньютон отразить “стрелу”, пущенную Зеноном? Не постигла ли его детище — анализ бесконечно малых — злая участь Пифона, убиенного Аполлоном Бельведерским?

... 24 августа 1624 года в Париже должен был состояться публичный диспут. Но перед самым открытием дискуссии один из ее устроителей, де Клав, был арестован. Другому, Виллону, пришлось скрыться. Специально изданный парламентский указ гласил: запретить полемику; в торжественной обстановке перед лицом собравшихся разорвать в клочья заранее объявленные тезисы; всех организаторов выслать в 24 часа за пределы города, лишив их права вообще въезжать в столичный округ; строго-настрого запретить профессорам любое упоминание крамольных тезисов в лекциях.

Всяк, кто устно или печатно нарушит сей рескрипт, подлежит смертной казни... Четырнадцатый тезис разорванной программы диспута провозглашал атомистическую доктрину. В нем черным по белому значилось, что Аристотель, то ли по невежеству, то ли по злому умыслу, высмеял учение, согласно которому мир состоит из атомов. Между тем-де это мировоззрение как нельзя лучше соответствует разумным основам подлинной натурфилософии...

Но при чем тут Зенон? Речь-то шла об идеях Демокрита!

Атомистика Демокрита была реакцией на выпады элейской школы, во главе которой стоял Зенон. Интересно и важно: Демокрит был апостолом атомизма не только в физике, но и в математике. Причем обосновывал необходимость атомистического миросозерцания ссылкой не на физические явления, отнюдь, а на чисто математические затруднения, возникающие в том случае, если считать пространство непрерывным. В дозеноновском естествознании все тела считались беспредельно делимыми. Это с одной стороны. А с другой — допускалось, что каждый предмет состоит из бесчисленного множества непротяженных и далее неделимых “телец”. На эти-то противоречивые принципы и обрушился Зенон.

Если тело делимо беспредельно, говорил он, то оно должно быть бесконечно большим. Как бы далеко ни заходило дробление, всякий раз будут получаться протяженные частицы, размеры коих никогда не обратятся в нуль. Поскольку же деление бесконечно, постольку и геометрических “атомов” будет бесчисленное множество! А если так, то сумма бесконечно большого количества протяженных и далее неделимых элементов окажется неизмеримо огромной. Если же, наоборот, точка как предел деления не имеет размеров, то сложение любого, сколь угодно большого количества таких “нулей” никогда не даст протяженного тела!

Логическая диверсия Зенона произвела ошеломляющее впечатление. Ученые всполошились; всем стало ясно, что теоретические основы геометрии продуманы недостаточно глубоко, внутренне противоречивы и несостоятельны.

Вот тогда-то, среди обломков, оставшихся после разрушительной деятельности элеатов, школа Демокрита и принялась восстанавливать теоретически фундамент геометрии. Приклеив единомышленникам Зенона ярлык “афизиков” (“лжеученых”), она попросту отмахнулась от их дьявольских искушений. Предел делимости материи и пространства был провозглашен сызнова. Так в ответ на сугубо негативную элейскую критику появилась позитивная платформа, на которой можно было — худо ли, бедно ли — дальше возводить храм математики и механики. Но тут Аристотель взял и торпедировал эту конструктивную платформу! Что ж, он был по-своему прав: ведь противоречия, подмеченные Зеноном, делали позиции Демокрита очень и очень шаткими...

Более полутора десятков столетий довлели над наукой аристотелевские идеи.

Лишь в эпоху позднего Возрождения ученые возвысили свой голос против схоластических догм. Даже невзирая на то, что, посулив особо рьяным критиканам смертную казнь, французский парламент тем самым приравнял авторитет Платона и его ученика Аристотеля к авторитету евангелия... Идея непрерывности, противоречившая повседневной интуиции, была отринута мыслителями эпохи Возрождения. В своих «Беседах и математических доказательствах, касающихся двух новых отраслей науки», Галилей рассуждает о бесконечно малых промежутках между отдельными бесконечно малыми участками прямой. Из письма Кавальери к Галилею явствует, что оба они, как, впрочем, и Кеплер, контрабандой вынашивали идею “неделимого”. А взгляды Кеплера и Кавальери, предтеч Ньютона в создании новой математики, — чистейшей воды геометрический атомизм!

“Непосредственная и непрерывающаяся связь между математическим атомизмом древности и нынешним дифференциальным и интегральным исчислением не подлежит сомнению, — говорит профессор С. Я. Лурье в книге «Теория бесконечно малых у древних атомистов». — Историю метода бесконечно малых следует начинать не с Кавальери, а с Демокрита”.

Итак, исчисление бесконечно малых было построено на атомистическом фундаменте. Но тогда, выходит, парадоксы Зенона остались непреодоленными? Вспомните наше недоумение с дифференциалами: что это — нули или не нули? Какой смысл таится в дроби, где и числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю? Этот вопрос глубоко волновал другого создателя анализа — Лейбница, немецкого коллегу Ньютона. Обозначение ds/dt, введенное Лейбницем, рассматривалось как отношение бесконечно малых величин — дифференциалов (ds и dt. Эта символика до сих пор смущает любого из нас, когда мы принимаемся штудировать дифференциальное исчисление. Из выражения: предел дельта s/дельта t = ds/dt, стремящемся к нулю, — невольно напрашивается вывод, будто “дельта тэ” стремится сразу к двум пределам: к dt, отнюдь не равному нулю, и в то же время к нулю, а “дельта эс” к ds и к нулю! А все потому, что перед нами “ископаемые останки” атомистической эпохи в математике. Стоит допустить, что кривая составлена из мельчайших “атомов”, как пределом для приращения “дельта эс” или “дельта тэ” будет уже не нуль, то есть ничто, а высота или ширина этой неделимой геометрической крупицы: ds или соответственно dt. Теперь, с позиций Лейбница, безо всяких ухищрений легко поддается уразумению и равенство: предел дельта s/дельта t = ds/dt. Ибо при атомистичесском подходе предел дельта s равен ds, а предел дельта t равен dt. Вот именно: при атомистическом. При том самом, который в пух и прах был разнесен еще Зеноном. При том самом, от которого давным-давно уже ушла матемачика. Ну, а сегодня, когда математика вновь стоит на позициях непрерывности, тоже кстати зело подорванных Зеноном? Дают ли о себе знать коварные аргументы элеатов?

Откройте прекрасную книгу Р. Куранта и Г. Роббинса «Что такое математика». Там сказано: дифференциалы как бесконечно малые величины из математического обихода изгнаны окончательно и не без позора. И все же сам термин “дифференциал” прокрался обратно через черный ход. Он как ни в чем не бывало по-прежнему фигурирует в обозначениях, сохранившихся до сего времени и сбивающих с толку ds/dt.

Правда, сегодня в dt математики видят не бесконечно малую величину, а конечное приращение “дельта тэ”. Что же касается ds/dt, то эта “дробь” в целом стала просто символом результата, который получается при переходе к пределу: действительно, прежде чем переходить к пределу, можно избавиться от будущего “нуля” в знаменателе. Для этого числитель дроби ds/dt раскрывают; ведь за этим символом стоит обычная алгебраическая разность. Разность между двумя выражениями одного и того же математического закона, но для двух разных точек кривой. В формуле разности появляется сомножитель “дельта тэ”. Тот же самый, что стоит в знаменателе! А раз так, то и числитель и знаменатель можно сократить на “дельта тэ”. Ведь это не возбраняется до тех пор, пока “дельта тэ” не равно нулю. Так “дельта тэ” исчезает из знаменателя. Правда, в формуле для числителя после сокращения остается еще одно “дельта тэ”. Но потом, когда мы переходим к пределу, это второе “дельта тэ” обращается в нуль. Так — сложно ли, просто ли — но для каждой функции удается ловким маневром миновать нелепость: ds/dt = 0/0. Конечно, Ньютон и Лейбниц тоже умели находить интегралы и производные такими способами. Но они не признавали за предельной процедурой исключительного права служить опорой новых методов. Они рассуждали примерно так: да, интеграл и производную можно вычислить как пределы. Но чем же, черт побери, являются эти понятия сами по себе?

Вот, к примеру, наклон кривой. Он существует сам по себе, независимо от хитроумного геометрического построения, сопровождавшегося предельным переходом. То же самое можно сказать и об интеграле, который истолковывается как площадь плоской фигуры, ограниченной осями координат и нашей кривой: мол, такое понятие, как площадь, имеет некий абсолютный “смысл в себе”, и вроде бы нет надобности привлекать вспомогательные операции с пределами.

Иначе рассуждают современные математики.

“Ни Ньютон, ни Лейбниц, — говорится в книге Р. Куранта и Г. Роббинса, — не смогли занять ту отчетливую позицию, которая нам кажется простой и естественной теперь, когда понятие предела полностью выяснено. Их пример господствовал больше столетия, в течение которого сущность дела была затемнена бесплодными рассуждениями о “бесконечно малых величинах”, о “дифференциалах” и т. д. Считалось, что такие понятия доступны лишь немногим избранным, обладающим настоящим математическим чутьем, и что анализ поэтому, по существу, очень труден, так как не всякий обладает этим чутьем или может его развить. Интеграл, аналогичным образом, рассматривался как сумма “бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых”. Существовало представление, будто такая сумма есть интеграл, или площадь, в то время как вычисление ее значения как предела последовательности конечных сумм обыкновенных слагаемых рассматривалось как некий придаток. Теперь мы попросту отбрасываем желание “непосредственно” объяснить интеграл и определяем его как предел последовательности конечных сумм. Этим путем все трудности и устраняются, и все, что ценно в анализе, приобретает твердую основу”.

Твердую основу? Но прежде чем ответить, давайте подведем итог: ни Ньютон, ни Лейбниц не парировали выпадов Зенона. Они просто отмахнулись от них. Не поступи они именно так, быть может, еще больше отсрочилось бы открытие дифференциального и интегрального исчисления, этого мощнейшего инструмента расчетов в современной науке и технике. Так или иначе, сколь бы ни были велики заслуги творцов математического анализа, противоречия, подмеченные Зеноном, остались неразрешенными. Ньютон и Лейбниц считали точки наименьшими из существующих, но все же протяженными “тельцами”. Разлагая кривую на бесконечно большое количество бесконечно малых частей, они приходили к пределу, который считали отношением высоты к ширине геометрического “атома” — точки.

Сегодня атомистические представления отвергнуты математикой. И хотя приведенное геометрическое истолкование широко практикуется в преподавании, уже почти никто не объясняет ds/dt по Лейбницу — как отношение бесконечно умаляющихся “дельта эс” и “дельта тэ”. Ибо можно обойтись вообще без геометрических построений. Можно просто исключить “дельта тэ” из знаменателя путем чисто формальной процедуры. “Чисто формальной” — значит не прибегающей к интуитивным представлениям. В нашем случае к зримым моделям — чертежам. Надо сказать, что все графические построения геометрии опираются именно на интуицию, на чувственный опыт. В том числе и наша картинка с трассой стрелы, с треугольничком, с тангенсом угла наклона касательной, с Аполлоном, Пифоном и прочими образами “живописного искусства” геометрии. (Куда завело Лейбница чрезмерное доверие к подобным геометрическим аналогиям, мы уже знаем.) Но в том-то и дело, что математический анализ вовсе не обязан исходить из графических построений! Оперируя собственным набором правил и символов, он в состоянии формулировать свой выводы совершенно независимо от геометрии, хотя, впрочем, многие утверждают, что без интуитивных представлений математике все равно не обойтись. Как бы там ни было, графики играют лишь вспомогательную роль: они наглядно истолковывают сложные понятия, а это всегда облегчает восприятие. К сожалению, не все понятия доступны нашей интуиции. Формально описывать их мы можем, а вот зримо вообразить себе — увы... Так ведь это-то противоречие и подметил Зенон! Конечно, представить себе Диогена, дефилирующего перед носом искусителя, — дело пустячное. Можно даже нарисовать траекторию этой самоуверенной демонстрации здравого смысла — скорей всего она будет прямолинейной, Увы, чересчур прямолинейной. Ибо нарисовать и обсчитать ее по всем правилам формальных процедур мало. Элеаты ждали ответа на вопрос: как из неуловимых моментов покоя складывается движение?.. А из непротяженных точек протяженный отрезок — трасса той же стрелы? Дискретно или непрерывно пространство? Как представить себе структуру подобных совокупностей точек?

Правда, нельзя отказать опровергателю Зенона в остроумии. Но и в наивности тоже: неужто он всерьез полагал, будто молчаливая апелляция к житейскому опыту обезоружит элейских “нигилистов”? Она еще в древности считалась неубедительной: дело-то шло о математической сущности движения, а не о его физической видимости. Впрочем, только ли в древности?

“Движение есть сущность времени и пространства, — говорил Ленин. — Два основных понятия выражают эту сущность: (бесконечная) непрерывность и “пунктуальность” (= отрицание непрерывности, прерывность). Движение есть единство непрерывности (времени и пространства) и прерывности (времени и пространства). Движение есть противоречие, есть единство противоречий”.

“Еще со времен Зенона и его парадоксов, — продолжают Р. Курант и Г. Роббинс, — все попытки дать точную, математическую формулировку интуитивному физическому или метафизическому понятию непрерывного движения были безуспешными. Нет затруднений в продвижении шаг за шагом по дискретной последовательности значений а1, a2, a3 ... Но когда приходится иметь дело с непрерывной переменной х, пробегающей целый интервал значений на числовой оси, то описание того, как х “приближается” к заданному значению X, затруднено тем, что принимаемые значения из интервала не могут быть указаны последовательно в порядке их возрастания. В самом деле, точки прямой представляют везде плотное множество, и не существует точки, “следующей” за данной. Остается неизбежное расхождение между интуитивной идеей и точным математическим языком, предназначенным для того, чтобы описывать ее основные линии в научных, логических терминах. Парадоксы Зенона ярко обнаруживают это несоответствие”.

Парадоксально, но факт налицо: понятие “дифференциал” и тесно связанное с ним понятие “интеграл”, взращенные на атомистической почве, противоречат всему строю нынешней математики, пронизанной идеей непрерывности! Как же быть? Вот прогноз профессора Лурье: “Несомненно, что в будущем математика, если она будет построена на принципе непрерывного, либо откажется от этой почтенной реликвии и научится обходиться исключительно лишь ясными и отчетливыми понятиями производной, первообразной функции и предела суммы (эту попытку сделал еще Лагранж), либо лучше приспособит отжившие понятия “дифференциал” и “интеграл” к современным математическим взглядам, покончив с последними следами атомистических “представлений”.

Хотелось бы обратить внимание читателя на одну лишь мысль этого интереснейшего пророчества: вместо бяки интеграла, этой “почтенной реликвии атомистической эпохи”, предлагается обойтись понятием предела суммы. Но так ли уж оно отчетливо и ясно? И не Зенон ли первый подметил внутреннее противоречие, присущее этому понятию?