Апории Зенона

Движенья нет!

... Кто из читавших гомеровскую «Илиаду» не помнит сцену погони грозного Ахилла за “шлемоблещущим”, но порядком струхнувшим Гектором? Сильный бежал впереди, но преследовал много сильнейший... Правда, гонка вокруг Трои все-таки закончилась поражением Гектора. Но не в беге! В смертельной схватке. А перед поединком Ахиллу пришлось остановиться, так и не догнав врага. Что ж, супостат был ловок и быстроног. А если бы он был неуклюж и тихоходен?

Да, грациозен и быстроног могучий Ахилл, сын Пелея, герой Троянской войны, воспетый Гомером. И как неуклюжа, как тихоходна черепаха, повсюду слывущая эталоном медлительности и нерасторопности! Ей ли тягаться в скорости с легендарным бегуном? А вот античный мудрец Зенон считал, что Ахиллу ни за что не догнать черепаху. Убеждение философа основывалось на том, что когда преследующий достигнет места, где находился преследуемый в момент старта, догоняемый бегун продвинется, хотя и немного, дальше. Значит, на новом небольшом участочке пути Ахиллу снова придется догонять черепаху. Но пока преследователь добежит до этого второго пункта, беглянка снова переместится вперед. И так далее до бесконечности. Если же это будет длиться без конца и края, то как Ахиллу удастся обогнать черепаху?

С другой стороны, из собственного повседневного опыта каждый школьник знает, что он, отнюдь не будучи Ахиллом, способен запросто обогнать не только черепаху, но, чего доброго, и самого учителя — стоит только прозвучать звонку, возвещающему конец урока.

А нет ли “ахиллесовой пяты” у самих рассуждении Зенона?

В классическом курсе логики, написанном Минто, прославленный бегун легко опережает свою недостойную соперницу, хотя дает ей фору не только в расстоянии — 100 саженей (здесь употреблены старинные русские, а не древнегреческие меры длины, однако это не имеет значения), но и в скорости: он двигается не в полную силу — всего в десять раз резвее черепахи. То есть, по существу, шагает себе не торопясь, уверенный в победе. Правда, добравшись до места, откуда тронулась в путь-дорогу нерасторопная ставленница Зенона, Пелеев сын увидит, что та успела переползти еще на 10 саженей вперед. Пока Ахилл преодолеет эти 10 саженей, черепаха уйдет еще на сажень. Что ж, быстроногому ничего не стоит покрыть какую-то там сажень. А неуклюжая тем временем переместится — пусть на одну десятую сажени, но все-таки вперед, прочь от преследователя! С каждым шагом расстояние сокращается. Таких шагов будет, очевидно, бесчисленное множество. Не беда: современная математика научилась суммировать бесконечные последовательности. И Минто строит бесконечный ряд: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ... Перед нами убывающая геометрическая прогрессия. Ее сумму запросто подсчитает любой теперешний школьник, если, конечно, он уже прошел алгебру по учебнику, кажется, для восьмого класса; эта сумма равна 111 1/9. Проделав нехитрый подсчет, Минто заключает: “Софист хочет доказать, что Ахилл никогда не догонит черепаху, а на самом деле доказывает лишь то, что Ахилл перегоняет ее между 111-й и 112-й саженями на их пути”.

Вроде бы правильно. Вроде бы логично. Увы, торжествующий опровергатель не ответил посрамленному софисту, ибо вопрос ставился иначе: не когда, а как возможна подобная встреча...

Пусть читатель сам рассудит античного мудреца и его оппонента. Чтобы получить в ответе 111 1/9 сажени, вовсе не обязательно прибегать к суммированию бесконечного ряда. Можно решить задачу обычным алгебраическим путем, приняв за неизвестное путь, который проползет до момента “рандеву” пресмыкающаяся красавица, кокетливо убегающая от своего самоуверенного преследователя.

Уж коли у нас объявилось неизвестное, быть ему иксом — х. Тогда путь, промаршированный Ахиллом, окажется больше дистанции, разделявшей бегунов во время старта, на отрезок, покрытый черепахой до встречи с Ахиллом: 100 + x. Теперь вникните: время движения от старта до встречи у обоих бегунов одно и то же. А скорость у Ахилла в десять раз выше. Значит, путь, проделанный Ахиллом, будет тоже в десять раз больше, чем черепаший (х). Составляем уравнение: (100 + х) : х = 10. Подсчитайте: х = 11 1/9. Столько саженей проползла черепаха? А Ахилл? 100 + x = 111 1/9.

Трудно поверить, чтобы Зенон не сумел найти искомый отрезок пути подобными элементарными средствами. Еще труднее представить, что Зенон никогда никого не перегонял или не видел, как это делают другие. Нет, не зря античный мыслитель формулирует задачу так, что в ней появляется понятие о бесконечном ряде! Его не мучает сомнение: может ли тело проделать путь, составленный из кусочков? Мыслитель смущен другим: как возможен последовательный синтез бесчисленного множества отрезков, если он будет длиться вечно, так и не достигнув предела?

Не достигнув? А точка, отстоящая от старта на 111 1/9 сажени, — не есть ли это тот самый предел? Есть. Тот самый! Но разве вопрос сводился к тому, каков он? Нет! К тому, как переменная (в данном случае сумма ряда) достигает своего предела. И достигает ли вообще? Мы назвали сумму переменной величиной. Так оно и есть. Вспомните ряд, составленный Минто: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001. Покуда он содержит шесть членов. Их сумма равна 111,111. Это число меньше, чем 111 1/9. Правда, чуть-чуть, но все-таки меньше! Разница станет еще меньше, если мы присовокупим к последовательности еще один член, седьмой: 100 + 10 + 1 + 0,01 + 0,01 + 0,001 + 0,0001. Сумма изменилась, теперь она равна 111,1111. Семь членов — семь знаков в числе — единичек, заметили? Если членов будет восемь, сумма опять удлинится на единичку: 111,11111. И так далее. Но возьмете ли вы сто, тысячу, миллиард миллиардов членов, все равно ваше число с колоссальным по длине хвостом из единиц будет меньше 111 1/9. Сумма изменяется, растет, но не достигает предела. И все-таки мы умеем подсчитать предел, к которому она стремится. Делается это так. Берется формула для суммы конечного (подчеркиваем: не бесконечного!) количества членов. Она легко выводится — загляните в школьный учебник алгебры. Давайте подставим в нее характеристики нашей геометрической прогрессии. Первый член у нас 100. А знаменатель прогрессии — одна десятая (0,1) — ведь у нас каждый следующий член меньше предыдущего в десять раз. Предположим, мы хотим подсчитать сумму для 777 членов. Получим: 100/(1 — 0,1)*[1 — (0,1)777+1]. Нетрудно видеть, что число перед квадратными скобками равно 111 1/9. А содержимое квадратных скобок? Чуть меньше единицы. И оно будет тем ближе к единице, чем больше показатель степени у дроби 0,1, заключенной в круглые скобки. Но приглядитесь к показателю степени — это же число членов ряда плюс единичка! А теперь начинается самое интересное. Мы переходим от конечного числа членов к бесконечному. Показатель степени при (0,1) неограниченно возрастает. Что же происходит с самой степенью — с одной десятой, умноженной на себя столь многократно, что и вообразить невозможно? Она становится бесконечно малой величиной, стремящейся к нулю. А раз так, то, как написано в вашем учебнике, мы вправе ее попросту отбросить, приравняв к нулю. В квадратных скобках остается единица. Стало быть, искомый предел равен 111 1/9. Но послушаем, что говорит по этому поводу математика (устами академика А. А. Маркова): “Важно заметить, что к совокупности значений бесконечно малой мы не причисляем ее предела 0”. А французский математик Мансион выражается еще недвусмысленней: “Пределом переменной мы называем постоянную величину, к которой переменная неопределенно приближается, никогда ее не достигая”. Но то же самое говорил и Зенон, облекая разве что абстрактные математические символы в яркие образы, навеянные прекрасными античными мифами! Как бы далеко мы ни шли в последовательной интеграции укорачивающихся “движеньиц” Ахилла, мы никогда не получим целиком его пути до встречи с черепахой! Как сказано у Гомера («Иллиада» в переводе Гнедича):

Сей убежать, а другой уловить пытается тщетно, 
Так и герои: не тот не догонит, ни сей не уходит...

Подмеченные Зеноном трудности в строгости истолкования понятий “предел” и “непрерывность” можно проиллюстрировать на более простом примере. Представьте: у вас в комнате по полу ползет черепаха. И вдруг — Стоп! — животное уперлось носом в стенку. Путь черепахи — переменная величина, растущая до какого-то предела. Предел — стена. Вернее, точка, ограничивающая траекторию черепахи. Но эта точка не принадлежит к бесконечному множеству точек территории! Мало того: у черепашьего пути вообще невозможно определить последнюю точку — ту, где обретается черепаший нос в момент удара, ту, что предшествует предельной — точке стены. Здесь мы ненароком коснулись другой апории Зенона. Если первая в истории математики фигурирует под названием «Ахилл», то второй присвоено имя «Дихотомия». Это древнегреческое слово переводится так: “бесконечное деление пополам”. Прежде чем завершить весь путь, черепаха должна пройти его половину, говорил Зенон. Но прежде чем она достигнет середины пути, ей предстоит добраться до метки, рассекающей ладное эту половину. Однако прежде чем оставить за собой четверть пути, нужно пройти его “осьмушку”... Уф! Так можно продолжать до бесконечности. Короче, Зенон делал вывод: движение никогда не начнется!

Геометрически парадокс можно истолковать так. Мы берем отрезок и делим его напополам. Левую половину опять рассекаем надвое. Левую четвертушку — тоже надвое. Затем левую осьмушку, шестнадцатую долю, одну тридцать вторую и так далее — без конца. Не напоминает ли это погоню Ахилла за черепахой или путешествие черепахи по комнатному тупику? Только сейчас роль стены выполняет черепаший нос. Его кончик — точка покоя. А где начинается первая по счету точка движения? Ведь мы не в силах найти точку, непосредственно следующую за границей отрезка, — точно так же, как и могли определить точку, непосредственно предшествовавшую предельной в примере с черепахой, натолкнувшейся на препятствие!

Ошибка Зенона, по словам профессора С. А. Богомолова, заключается в том, что из невозможности вообразить начало движения древний философ заключил о невозможности самого движения и достоверного знания о нем. Она вполне объясняется уровнем математических знаний его эпохи и не уменьшает его заслуг. В «Дихотомии» Зенон указал на трудности постигнуть понятия “континуум” (непрерывная последовательность всех точек линии) и “движение”. Но математики давно уже привыкли к тому, что рассудок справляется с вопросами, перед которыми бессильна интуиция. И тем не менее мы должны все-таки признать, что в «Дихотомии» есть некоторый неразрешимый остаток. Речь идет о бесконечном ряде, не имеющем начала. Это все та же диалектика бесконечности, которая обретает особую остроту применительно к последовательности моментов времени.

Следующий наш перевал — «Стрела», третья апория. Третья по счету, но не по важности. Нас ждет парадокс, который слывет, по выражению профессора А. А. Богомолова, “апофеозом зеноновской диалектики”.

Движенья нет, сказал мудрец брадатый...

Это Пушкин цитирует Зенона. И продолжает:

... Другой смолчал и стал пред ним ходить. 
Сильнее бы не мог он возразить. 
Хвалили все ответ замысловатый. 
Но, господа, забавный случай сей 
Другой пример на память мне приводит: 
Ведь каждый день пред нами солнце ходит, 
Однако ж прав упрямый Галилей!

Пушкина цитирует писатель Даниил Данин в своей книге «Неизбежность странного мира». И продолжает: “Зенон вопрошал: — Вот летит стрела, в каждый момент ее можно где-то застигнуть, там она в это мгновенье покоится, откуда же берется движение? Значит, движение — череда состояний покоя? Не абсурд ли это?

Рассуждение было безупречно. Но и доказательство Диогена, который начал ходить, тоже было неопровержимо. Мог ли отыскаться выход из этого очевидного противоречия — движение слагается из моментов покоя? Выход должен был отыскаться и отыскался.

Для этого математика и механика должны были научиться оперировать с бесконечно малыми величинами. Они должны были научиться рассматривать состояние покоя как нулевой предел исчезающе малого перемещения. Это делает дифференциальное исчисление. И должны были научиться складывать такие нули, не удивляясь, что бесконечное — прибавление бесконечно малых движеньиц может дать вполне реальный конечный отрезок пути. Это делает исчисление интегральное. В рассуждении Зенона была заметная логическая погрешность. Он разлагал перемещение стрелы на бесконечное множество состояний покоя, а складывал их по арифметической логике конечных сумм: если взять столько-то нулей, все равно получится нуль. И потому сказал: “Движения нет”. А все дело в том, что как ни велико арифметическое “сколько-то”, оно еще не бесконечность. Диоген только молча и мог опровергнуть Зенона — словами у него ничего бы не вышло, потому что не было тогда нужных для этого слов”.

Что ж, это, пожалуй, верно, что у Диогена не нашлось бы нужных слов, дабы возразить — правда, не самому Зенону, а одному из его последователей (Зенон умер за сто с лишним лет до появления Диогена на свет). Ну, а сегодня? Что это за магические слова, каковыми-де можно парировать выпады Зенона? Очевидно, дифференциальное и интегральное исчисления, не так ли? Что ж, давайте попробуем урезонить античного смутьяна самыми могущественными аргументами математического анализа.

Лук звенит, стрела трепещет, 
И, клубясь, издох Пифон... 
И твой лик победой блещет, 
Бельведерский Аполлон!

Сценка убийства, нарисованная Пушкиным, графически изображается баллистической кривой, а в идеале (если не учитывать сопротивления воздуха) — параболой, по которой перемещается стрела от тетивы до мишени. Координаты такие: высота подъема (вертикальная ось) и время полета (ось горизонтальная). Сейчас мы займемся дифференцированием. Как подсчитать скорость? Ясное дело как: списал километраж со спидометра и поделил на время, за которое машина проделала путь. Верно. Только так мы найдем среднюю скорость. А она наверняка менялась! Сперва автомобиль стоял — скорость была равна нулю. Потом тронулся — скорость стала нарастать, превысила дозволенный рубеж; тут раздался свисток милиционера, пришлось дать тормоз — скорость резко пошла на убыль, пока машина снова не стала как вкопанная. Если же посчитать среднюю скорость, то выяснится, что вас и штрафовать-то не за что! Однако постового не проведешь. Он, может, и не знает дифференциального исчисления, но уж в нарушениях кое-что смыслит. Как же все-таки нам определить точное значение скорости в любой момент времени?

Давайте вернемся к стреле: ее скорость описывается более простым математическим выражением. Только тут все наоборот: в момент старта с тетивы скорость стрелы (речь идет о скорости ее подъема) максимальна. В наивысшей точке трассы она равна нулю. В момент убийства Пифона снова достигает наибольшего значения. В любой момент она иная, чем раньше. Тем не менее мы можем уловить закономерность, с какой она изменяется от точки к точке.

Представьте, что полет стрелы, пущенной лучезарным богом в отвратительное чудище, отснят на кинопленку. И мы останови-ли демонстрацию фильма где-то посредине, выхватив любой кадр. К этому моменту стрела (лучше говорить об одной из ее точек, скажем, центре тяжести) поднялась на определенную высоту. Включим лентопротяжный механизм снова, но ровно настолько, чтобы перед нашими глазами застыл следующий кадр. Центр тяжести продлив свою трассу на крохотный кусочек, окажется в новой точке где высота подъема увеличилась. Обозначим это приращение высоты так “дельта эс”. А заодно символом “дельта тэ” обозначим временной интервал между соседними , кадрами. Тогда средняя скорость подъема на этом участочке пути выразится нехитрой дробью дельта s/дельта t. Обратили внимание — скорость-то у нас опять средняя! Да, но чем меньше “дельта тэ”, тем ближе значение нашей дроби к истинной скорости в первой точке. Если бы затвор киноаппарата при съемке щелкал бы в тысячу раз чаще то промежуток времени между двумя соседними кадрами сократился бы тоже ровно в тысячу раз. Значение “моментальной” скорости стало бы точнее. И все же до тех пор, покуда наша долька временной оси будет конечной (не бесконечно малой) величиной, отношение “дельта эс” к “дельта тэ” дает лишь среднюю скорость между двумя моментами. А что, если сделать “дельта тэ” бесконечно малым? Иными словами, представив вторую точку трассы подвижной, теснить и теснить ее к жестко сидящей первой точке? Тогда “дельта тэ” устремится к нулю. “Дельта эс” тоже. А их отношение? Оно станет все точнее и точнее передавать значение скорости стрелы в момент времени, запечатленный на первом кадре. Но лишь в пределе она окажется мгновенной скоростью в тот самый момент. Этот предел отношения при дельта t, стремящемся к нулю, изображается двухэтажным знаком “дэ эс по дэ тэ” и называется производной функцией (в нашем случае производной от пути по времени). (ds и dt называются дифференциалами (от латинского слова “разница”).)