Задача по "Эконометрике"

Вариант 4

Задача 1.

 

Построить однофакторную модель регрессии.

Оценить качество построенной модели

Проанализировать  влияние факторов на зависимую переменную по модели с помощью коэффициентов детерминации, эластичности и установить степень линейной связи между переменными.

 

Решение

 

Предположим, что между x и y существует линейная взаимосвязь, т.е.

.

Для того, чтобы найти  уравнение регрессии, прежде всего  нужно исследовать тесноту связи  между случайными величинами x и y , т.е. корреляционную зависимость.

Пусть

x ₁ , x ₂ , ..., x _n   совокупность значений независимого, факторного признака;

y ₁ , y ₂ , ..., y _n   совокупность соответствующих значений зависимого, результативного признака;

n   количество наблюдений.

Для нахождения уравнения  регрессии вычисляются следующие  величины:

 

1. Средние значения

  для экзогенной переменной;

Хср = 256/9 = 28,44

  для эндогенной переменной.

Уср = 734/9 = 82,56

 

Значения Х	Значения Y	х*х	x*y	y*y
41	94	1681	3854	8836
38	90	1444	3420	8100
34	88	1156	2992	7744
29	87	841	2523	7569
25	85	625	2125	7225
26	81	676	2106	6561
24	80	576	1920	6400
21	67	441	1407	4489
18	62	324	1116	3844
256,00	734,00	7764,00	21463,00	60768,00
28,44	81,56	970,50	2682,88	7596,00

 

 

2. Отклонения от средних величин

, .

 

3. Величины дисперсии и среднего квадратичного отклонения

 

х*х	x*y	y*y	уп	у-уп=е	е*е	∆х*2	∆y*2	∆х*∆y
1681	3731	8281	93,72442	-2,724423963	7,422486	157,642	109,0864	131,1358
1444	3344	7744	90,57788	-2,577880184	6,645466	91,30864	55,41975	71,1358
1156	2856	7056	86,38249	-2,382488479	5,676251	30,8642	11,8642	19,1358
841	2523	7569	81,13825	5,861751152	34,36013	0,308642	41,53086	3,580247
625	2125	7225	76,94286	8,057142857	64,91755	11,8642	19,75309	-15,3086
676	2106	6561	77,99171	3,008294931	9,049838	5,975309	0,197531	-1,08642
576	1920	6400	75,89401	4,105990783	16,85916	19,75309	0,308642	2,469136
441	1407	4489	72,74747	-5,747465438	33,03336	55,41975	183,7531	100,9136
324	1116	3844	69,60092	-7,600921659	57,77401	109,0864	344,3086	193,8025
7764,00	21128,00	59169,00	725	-7,10543E-14	235,7382	482,2222	766,2222	505,7778
862,67	2347,56	6574,33	80,55556	0,00	26,19	60,28	95,78	63,22

, ;

, .

Ду = 766/8 = 96

Дх = 482/8 = 60

σу = = 9.8

σх = = 7,75

 

Величины дисперсии и  среднего квадратичного отклонения характеризуют разброс наблюдаемых  значений вокруг среднего значения. Чем  больше дисперсия, тем больше разброс. В нашем случае разброс по у больше чем разброс по х.

 

4. Вычисление корреляционного момента (коэффициента ковариации):

.

Корреляционный момент отражает характер взаимосвязи между x и y . Если K _x, y  > 0, то взаимосвязь прямая. Если K _x, y  < 0, то взаимосвязь обратная.

Кх,у = 506/8 = 63,22 > 0.

Следовательно, взаимосвязь прямая.

 

5. Коэффициент корреляции вычисляется по формуле

 

.

Rх,у =  63.22/(9.8*7,75)  = 0,832

= 0,693

Доказано, что коэффициент  корреляции находится в интервале  от минус единицы до плюс единицы (- 1    1). Коэффициент корреляции в квадрате называется коэффициентом детерминации. Связь недостаточно сильная.

 

6. Вычисления параметров регрессионного уравнения.

 

Коэффициент b находится по формуле

.

b = 63,22/60 = 1,05

После чего можно легко  найти параметр a :

.

а = 80,56 – 1,05*28,44 = 50,72

В итоге наше уравнение  будет иметь вид 

У = 50,72 + 1,05*х

Используя это уравнение, можно найти расчетные значения y и построить график (рис. 1).

b1	b0	уп	у-уп=е	е*е	R*R	rxy
1,048848	50,72166	96,78134	-2,781336406	7,735832	0,782528	0,884606
		93,14332	-3,143317972	9,880448
		88,29263	-0,292626728	0,08563
		82,22926	4,770737327	22,75993
		77,37857	7,621428571	58,08617
		78,59124	2,40875576	5,802104
		76,1659	3,834101382	14,70033
		72,52788	-5,527880184	30,55746
		68,88986	-6,889861751	47,47019
		734	0	197,0781
		81,55556	0,00	21,90

 

Рис. 2. Фактические  и расчетные  значения y

 

Ломаная линия на графике  отражает фактические значения y , а прямая линия построена с помощью уравнения регрессии и отражает тенденцию изменения спроса в зависимости от дохода.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2.

 

 По исходным табличным  данным 

1. Построить линейную двухфактрную модель регрессии, описывающую зависимость у от х1 и х2.
2. Оценить качество построенной модели
3. Проанализировать влияние факторов на зависимую переменную по модели с помощью коэффициента множественной корреляции, частных коэффициентов эластичности и установить степень линейной связи между переменными.

 

Таблица Исходные данные

	У	Х1	Х2
1	14	32	32
2	20	34	28
3	22	41	26
4	14	38	24
5	25	42	25
6	28	48	23
7	25	50	19
8	28	52	27
9	30	54	22
10	31	51	20
Итого	239	442	246

 

Линейное двухфакторное уравнение  регрессии имеет вид 

где a , b ₁ , b ₂   параметры; x ₁ , x ₂   экзогенные переменные; y   эндогенная переменная.

Для нахождения уравнения  регрессии вычисляются следующие  величины:

 

1. Средние значения

  для экзогенной переменной;

Х1ср = 442/10 = 44

Х2ср = 246/10 = 25

  для эндогенной переменной.

Уср = 239/10 = 24

 

2. Отклонения от средних величин

, .

3. Величины дисперсии и среднего квадратичного отклонения

, ;

, .

Таблица рассчитанные данные

	У	∆		Х1	∆		Х2	∆
1	14	-10	100	32	-12	144	32	7	49
2	20	-4	16	34	-10	100	28	3	9
3	22	-2	4	41	-3	9	26	1	1
4	14	-10	100	38	-6	36	24	-1	1
5	25	1	1	42	-2	4	25	1	1
6	28	4	16	48	4	16	23	-2	4
7	25	1	1	50	6	36	19	-5	25
8	28	4	16	52	8	64	27	3	9
9	30	6	36	54	10	100	22	-2	4
10	31	7	49	51	7	49	20	-4	16
Итого	239		339	442		558	246		120