Шпаргалка по "Математическому моделированию"

35. Какая матрица называется  единичной? 

Квадратная матрица размерности  n, на главной диагонали которой стоят 1, а остальные элементы 0, называется единичной матрицей размерности n.

36. Какая матрица называется  обратной к данной матрице?

Для любого действительного числа а ≠ 0 существует число, называемое обратным для «а», такое, что а^-1· а = а · а ^-1= 1.Аналогичным свойством обладают и матрицы. Пусть А - произвольная квадратная матрица размерности n. Тогда справедлива следующая записьЕ · А = А · Е = А.Матрица В называется обратной для матрицы А, если А · В = В · А = Е, где Е − единичная матрица.

37. Почему метод Гаусса  для решения систем линейных уравнений можно использовать для нахождения обратной матрицы к данной?

?????

38. Какой вид системы  линейных уравнений называется  нормальным?

х1 − в первом уравнении, х 2 − во втором и т.д.(перенеся это неизвестное в левую часть уравнения и поделив все коэффициенты при неизвестных на коэффициент при нем). Тогда получим следующее представление исходной системы, которое называется нормальным :

Х 1= β 1+ α 12 x 2+ α 13 x 3+... + α 1 n x n

Х 2= β 2+ α 2 1 x 1+ α 2 3 x 3+ ... + α 2 n x n

... ... ... ... ... ...

Х n= β n+ α n 1 x 1+ αn 2 x 2+ ... + α n n-1 x n-1

39. Как свести заданную  систему линейных уравнений к  нормальному

виду?

перенеся это неизвестное в левую часть уравнения и поделив все коэффициенты при неизвестных на коэффициент при нем

6 х 1−2 х 2+ 3 х 3= 12 : 6              x 1= 2 + 1/3 x 2− 1/2 x 3

x 1−3 x 2+ 2 x 3= 9 : − 3                                       x 2= − 3+ 1/3 x 1+ 2/3 x 3

 

x 1−2 x 2+ 4 x 3= 8 : 4                                         x 3= 2 ¼ x 1+ 1/2 x 2

 

 

40. Сформулируйте суть  метода последовательных итераций  для решения систем линейных  уравнений.

Суть решения системы линейных уравнений методом итераций, приведенной к нормальному виду, подобна решению нелинейного уравнения этим же методом. Берем начальное приближение неизвестных. Это может быть любая произвольная совокупность значений. Обычно за нее берут совокупность свободных членов.

41. Как решается проблема  медленного схождения итерационного  процесса?

Для того чтобы избежать зацикливания программы в случае, если итерационный процесс расходится или сходится слишком медленно, вводят ограничение на количество итераций.

42. Сформулируйте шаги  алгоритма метода последовательных  итераций для решения систем  линейных уравнений.

Для удобства записи пошагового алгоритма введем некоторые обозначения. Будем считать: n − число уравнений исходной системы, линейных уравнений,А (N,N+1 ) − матрица коэффициентов системы линейных уравнений в обычном виде, N+1 −ый столбец − это столбец свободных членов. Преобразование исходной системы линейных уравнений в нормальный вид будет происходить в алгоритме.Х(N) − одномерный массив значений неизвестных нулевого приближения,Y(N) – одномерный массив значений неизвестных первого приближения.R – предел на количество итераций,ε – точность вычислений .ШАГ 1. Вводим исходные значения n, ε , R. ШАГ 2. Начало цикла по количеству уравнений в исходной системе , i = 1,2,...n ШАГ 3. Начало цикла по количеству неизвестных в исходной системе + 1, j= 1,2,... n+1.ШАГ 4. Ввод aij коэффициентов при неизвестных и свободных членов по строкам.ШАГ 5. Конец цикла по j.ШАГ 6. Конец цикла по i. ШАГ 7. Задаем нулевое приближение неизвестных. Для этого организовываем цикл по количеству уравнений в системе , i = 1,2, ... n.66 ШАГ 8. Заполняем массив значений неизвестных Х значениями свободных членов, т.е. Х(i) = a i, n+1 . Это будет нулевое приближение.ШАГ 9. Конец цикла по i.ШАГ 10. Счетчик итераций S = 0.ШАГ 11. Вычисляем первое приближения, а именно, подставляем нулевое приближение неизвестных в правую часть данной системы, для этого организовываем цикл по количеству уравнений i = 1,2,... n ШАГ 12. Переписываем поочередно свободный член в новую переменную с противоположным знаком Т = − а i,n+1.ШАГ 13. Начало цикла по количеству неизвестных j = 1,2,... n ШАГ 14. К переменной Т добавляем произведение коэффициента на нулевое приближение, т.е. Т = Т + а ij · x j ШАГ 15. Конец цикла по j.ШАГ 16. Вычисляем i −ый элемент первого приближения неизвестных , т.е. Yi = (− T + a i i · xi ) / a i i .ШАГ 17. Конец цикла по i.ШАГ 18. Увеличиваем счетчик итераций на 1, т.е. S = S + 1.ШАГ 19. Проверяем близость найденного приближения к решению системы и одновременно проверяем, не исчерпан ли предел на количество итераций. Для этого организовываем цикл по «к» = 1, 2, ... n.ШАГ 20. Если абсолютная величина разности двух соседних приближений остается больше ε, т.е. если хк – yk  > ε, то проверяем условие S > R? Если ответ на этот вопрос положительный, то выдаем сообщение “Сходимость медленная”. Переход на шаг 25.Если ответ на этот вопрос отрицательный, следует переприсвоить значения приближений. То, что было первым приближением, становится нулевым, и возвращаемся на вычисление нового первого приближения, т.е. организовываем цикл перезаписи по i = 1, 2, ... n. В этом цикле производим перезапись xi =yi.Конец цикла перезаписи по i. Переход на шаг 11.67Если абсолютная величина разности двух соседних приближений оказывается меньше ε, т.е. если хк – yk  < ε, то конец цикла по «к».ШАГ 21. Вывод на печать решения системы. Вывод сообщения “Решение “. Начало цикла печати по i от 1 до n.ШАГ 22. Выводим на печать Х (i) с соответствующим комментарием.ШАГ 23. Конец цикла по i.ШАГ 24. Вывод сообщения “получено на “. Печать S. Вывод сообщения “ шаге”.ШАГ 25. Конец задачи.

43. Когда возникает необходимость построения интерполяционного многочлена?

Очевидное решение этой задачи −  вычислить значение функции в точке х, т.е. f (x). Но для этого необходимо знать аналитическое выражение функции f. Но очень часто аналитическое выражение функции бывает неизвестно. Тогда по исходной информации, содержащейся в таблице , строят некоторую приближающую функцию F, которую с определенной степенью точности можно использовать для вычислений, считая, что f(x) ≈ F ( x ).При этом необходимо, чтобы в точках х i , (i = 0,1,...,n) значения f(xi) строго совпадали со значениями F(xi), т.е. необходимо выполнение следующих равенств:F ( x 0 ) = f ( x 0 ), F ( x 1 ) = f ( x 1 ), ... , F(x 0) = f (x 0), (2)

44. Что такое узлы интерполяции?

точки х0 , х 1, .... , х n называются узлами интерполяции.

45. Что такое полином Лагранжа?  

многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек:

L 2 ( x ) = 2 x2– 12 x + 22

46. Какой может быть степень интерполяционного полинома?

Приближающую функцию будем  искать в виде многочлена, который называют интерполяционным многочленом. Обозначим его Ln(x). Степень этого многочлена не выше n и необходимо выполнение условий . Запишем общий вид многочлена L n (x):

L n (x) = l₀ (x) + l₁ (x) + ... + l_n (x)

47. Сформулируйте постановку задачи интерполирования функции.\

В вычислительной практике часто приходится заменять одну функциюдругой, близкой к ней в некотором смысле функцией. Чаще всего функцию f(x) приближают полиномом Pn(x)=a0+a1x+…+anxn или обобщенным полиномом Qn(x)=a0φ0(x)+a1φ1(x)+…+anφn(x) порядка n (система {φi(x)}линейно независимая). Очень часто приходится иметь дело с функциями f(x), заданнымитаблицами их значений для некоторого множества значений x: x0, x1, … , xn. В процессе же решения задачи необходимо использовать значения f(x) дляпромежуточных значений аргумента. В этом случае строят функцию φ(х),достаточно простую для вычислений, которая в заданных точка хx0, x1, … , xn принимает значения f(x0), f(x1), … , f(xn), а в остальных точкахотрезка [a, b], принадлежащего области определения f(x), приближенно представляет функцию f(x) с той или иной степенью точности, и прирешении задачи вместо функции f(x) оперируют с функцией φ(x). Задачапостроения такой функции φ(x) называется задачей интерполирования. Чаще всего интерполирующую функцию φ(х) отыскивают в видеалгебраического многочлена.

48. Почему для интегрирования функций нельзя всегда использовать известные формулы Ньютона –Лейбница?

Если же учесть, что иногда подынтегральная функция задана таблицей или графиком, то становится понятно, что интегрирование по формуле Ньютона-Лейбница становится довольно затруднительным, а иногда просто невозможным. В этих случаях используют методы приближенного (или часто говорят численного) интегрирования.

 

49.На чем основано построение квадратурных формул?

Построение квадратурных формул состоит в том, что подынтегральная функция f(x) на отрезке [а,b] заменяется интерполяционным многочленом.

50. В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла?

определенный интеграл функции f(x) на отрезке [а,b] равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), осью ОХ и прямыми х = а и х = b.

51. Опишите суть метода прямоугольников.

Рассмотрим _a ∫^bf(x)dx. Заменим функцию у = f(x) функцией у = у0. Геометрически это означает, что на отрезке [а,b] кривую у = f (x) мы заменили прямой, параллельной оси ОХ и проходящей через точку М0 (х 0, у0 ). Формула:…..Для увеличения точности формулы (1) разделим отрезок [а,b] на n равных частей длиной h = ( b – a ) / n …………………..

52. В чем отличие формул левых, правых и средних прямоугольников?

Это и есть формула прямоугольников (или левая формула прямоугольников, когда в вычислениях используются левые ординаты в частичных криволинейных трапециях).

_a∫^b f(x)dx= (b−a)/n*(y0 + y 1 + …. + yn - 1) .

Если в вычислениях используют правые ординаты в частичных криволинейных трапециях, то формулу называют правой формулой прямоугольников,_a∫^b f(x)dx= (b−a)/n*(y1 + y 2 + …. + yn ) .

 Если в вычислениях используют среднее арифметическое левых и правых ординат частичных криволинейных трапеций, то формулу называют формулой средних прямоугольников, и она имеет такой вид: _a∫^b f(x)dx= (b−a)/n*(y0/2 + y n/2 +y1 …. + yn-1 ).

 

53. От чего существенно зависит точность вычислений определенного интеграла численным методом?

число разбиений интервала интегрирования [а,b] – n.

54. Что лежит в основе применения формулы трапеций для численного интегрирования?

Использование для интерполяции полинома первой степени (прямая линия, проведенная  через две точки) приводит к формуле трапеций. В качестве узлов интерполирования берутся концы отрезка интегрирования. Таким образом, криволинейная трапеция заменяется на обычную трапецию, площадь которой может быть найдена как произведение полусуммы оснований на высоту.

 

55. Напишите уравнение хорды, проходящей через две точки.

x0 x1 y0 y1

56. Чему равна площадь трапеции?

Полусумма оснований умноженных на высоту ((a+b)/2 )*h

57. Опишите пошаговый алгоритм применения формулы трапеций для вычисления определенного интеграла численным методом.

ШАГ 1. Вводим пределы интегрирования а и b , а также число разбиений интервала интегрирования [а,b] − n .ШАГ 2. . h = n/b−a .ШАГ 3. S = f (a) / 2.ШАГ 4. Начало цикла по I от 1 до n–1.ШАГ 5. x = a + I·h89.ШАГ 6. Вычисляем значение подынтегральной функции в точке х, а именно y= f(x).ШАГ 7. S = S + y.ШАГ 8. Конец цикла по i.ШАГ 9. Вычисляем S = S + f(a+n ·h) / 2. ШАГ 10. I = h · S .ШАГ 11. Печатаем h, I.ШАГ 12. Конец задачи.