Шпаргалка по "Математическому моделированию"

1.В чем заключается  процесс построения математической  модели?

построение математической модели − т.е. описание наиболее  существенных свойств реального объекта и их взаимосвязь с помощью математических соотношений (это может быть уравнение, система линейных уравнений, система дифференциальных уравнений и т.п.)

2. По какой причине  для решения некоторых задач  используют численные методы?

Часто бывает, что даже для достаточно простых моделей не  удается получить результат в аналитическом виде, (т.е. в виде формулы).В таких случаях весь арсенал методов “точной” математики оказывается беспомощен. И тогда используют приближенные математические методы, которые позволяют получить вполне удовлетворительные результаты.Основными приближенными методами являются численные методы, при использовании которых результат получается путем многократных вычислений. Совершенно очевидно, что наиболее естественный путь реализации численных методов это использование компьютера.

3. Что такое погрешность  модели, погрешность метода и  вычислительная погрешность?

Если выбранная модель достаточно груба, то какие бы изощренные методы решения вслед за этим не применялись,результат вряд ли будет удовлетворительным. Этот шаг дает, так называемую, погрешность модели. Кроме этого, определенные трудности вызывает этап 2 – разработка алгоритма − когда ищется метод решения задачи в рамках созданной математической модели. Здесь возникает, так называемая, погрешность метода. Использование компьютера влечет за собой (из-за резкого возрастания количества выполняемых операций) увеличение погрешности результата. Появляется так называемая вычислительная погрешность.

4. Что значит решить  уравнение?

1) Имеет ли оно корни? 2) Если имеет, то сколько их? 3) Каковы значения всех корней с заданной точностью?

5. Что значит отделить  корни уравнения?

Этап отделения корней, т.е. установления некоторых промежутков в области определения функции F(х), содержащих по одному корню.

6. Дайте определение  функции, непрерывной в точке?

Функция у = f (х) называется непрерывной в точке х0, если при стремлении абсциссы х к значению х0 ордината у = f (х) графика функции стремится к значению f (х0) .

7. Какая функция называется  непрерывной на некотором интервале?

Функция называется непрерывной на данном промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

8. Сформулируйте теорему  о существовании корней уравнения.

 Если функция f(х) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка [a,b]существует, по крайней мере, один корень уравнения.

 

 

9. Какая функция называется  возрастающей (убывающей) на некотором  промежутке?

Функция f(х) называется возрастающей (убывающей) на промежутке [a,b], если для двух любых точек х1 и х2 из этого промежутка, таких, что х1 < х2 , выполняется неравенство

f (х 1) < f (х 2 ) ( f (х1) > f (х2 ) ).

10. Какая функция называется  монотонной?

Любая возрастающая или убывающая функция называется монотонной.

11. Сформулируйте теорему  о существовании единственного  корня уравнения.

1.Пусть функция f (х) непрерывна и монотонна на отрезке [a,b] и принимает на его концах значения разных знаков. Тогда внутри отрезка содержится корень уравнения f(х) = 0, и этот корень единственный

2. Если функция f(х) непрерывна на отрезке [a,b], принимает на концах отрезка значения разных знаков и производная f(х) внутри отрезка сохраняет постоянный знак, то внутри отрезка существует корень уравнения f(х) = 0, и притом единственный.

12. Опишите процесс отделения  корней графическим методом.

Т.к. действительные корни уравнения (1) − это точки пересечения графика функции y = F(х) с осью абсцисс, достаточно построить график функции F(х) и отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню. Построение графика часто удается упростить, заменив уравнение (1) равносильным уравнением f1 (х) = f2 (х) . (2)Построим графики функции f1(х) и f2 (х) , а потом на оси Ох отметим отрезок, на котором содержится абсцисса точки пересечения этих графиков.

13. В чем заключается  суть аналитического метода отделения  корней.

Найти производную функции .Найти критические точки функции .Составить таблицу знаков функции  на границах отрезка и в критических точках. Определить отрезки, на концах которых функция принимает значения противоположных знаков. Выбрать в качестве начальных приближенных значений корней по одному произвольному (если метод уточнения корней, который планируется использовать не налагает каких-либо дополнительных условий) значению х внутри каждого отрезка

14. Опишите суть численного  алгоритма отделения корней уравнения.

Будем считать, что все его корни  содержатся на отрезке [А,В], на котором функция определена, непрерывна и F(А) ·F(В) < 0. Требуется отделить все корни уравнения, принадлежащие интервалу [А, В ], т. е. указать все отрезки [ a,b ] ∈ [ А, В ], содержащие по одному корню. Будем вычислять значения F(x), начиная от (·) х = А, двигаясь вправо с некоторым шагом h. Как только обнаружится пара соседних значений F(x), имеющих разные знаки, соответствующие значения аргумента х образуют отрезок, содержащий корень.

15. Как можно потерять  некоторые корни уравнения в  процессе их отделения?

Надежность рассмотренного алгоритма  отделения корней существенно зависит  от характера функции F(х) и выбранной величины шага h. На практике могут возникнуть такие ситуации.

1. На концах интервала [ х, х + h ] функция имеет одинаковые знаки. Естественно ожидать, что на этом интервале корней нет. Так можно потерять корни, если не проверять функцию на монотонность.

2. Можно пропустить корни на  отрезке [х, х+h] даже если соблюдается условие F (x) ·F(x + h) < 0. Чтобы избежать такой ситуации, следует h брать достаточно малое.

16. В чем суть процесса отделения корней уравнения и процесса уточнения корней уравнения ?

Отделить корни – задать такие  отрезки, на которых корень существует и он единственный. Основная проблема задачи отделения – возможность  наличия нескольких (в принципе бесконечного количества) корней.

Методы уточнения корней делятся  на конечные и итерационные. Конечные методы основаны на идее уменьшения интервала неопределенности на каждом шаге с помощью какого-либо процесса. 
Суть итерационного метода в построении итерационной формулы и вычисления итерационной последовательности такой, чтобы эта последовательность сходилась к заданному корню.Конечный метод построен таким образом, что можно заранее оценить количество итераций, которое потребуется для уточнения корня с заданной погрешностью.

17. Для чего служит метод половинного деления? Опишите суть метода половинного деления.

С помощью метода половинного деления  всегда можно получить приближённые значения  максимума и ли минимума функции или корень уравнения  вида f(x)=0 на отрезке [A;B]. Метод используется для расчета корней уравнения вида f(x)=0.

Пусть уравнение (1) имеет на отрезке [a,b] единственный корень. Причем функция F(x) на этом отрезке непрерывна. Разделим отрезок [ a,b ]пополам точкой с = (а + b) / 2. Если F(c) ≠ 0 (что очень вероятно), то возможно 2 случая: а) либо F (x) меняет знак на отрезке [а, с],б) либо F (x) меняет знак на отрезке [с, b] .Выбираем тот из отрезков, на котором функция меняет знак, а значит, на нем содержится корень функции. Этот отрезок снова делим пополам, снова проверяем знаки функции на концах полученных отрезков и так дойдем до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения (1). Этот метод можно использовать как метод решения уравнения с заданной точностью. Действительно, если на каком-то этапе получен отрезок αβ, содержащий корень, то за значение корня можно принять х = (α+β) / 2. Ошибка при этом не будет превышать ∆х = (β − α) / 2.

 

18. Опишите суть метода хорд. Почему для расчетов в методе хорд используют две различные формулы?

Пусть f(a)f(b)<0. Сущность метода (его еще называют методом ложного положения) состоит в замене кривой y=f(x)  хордами, проходящими через концы отрезков, в которых f(x)  имеет противоположные знаки. Метод хорд требует, чтобы один конец отрезка, на котором ищется корень, был неподвижен. В качестве неподвижного конца х0 выбирают тот конец отрезка, для которого знак f(x)  совпадает со знаком второй производной .Формула: х= а –(f (a )/f(b )- f(a ))(b-a). х=  b–(f (b )/f(b )- f(a ))(b-a).

Обе эти формулы должны давать один и тот же результат, но с точки  зрения реализации итераций метода они  отличаются кардинально.Проблемой такого метода является тот факт, что как правило работает только одна из формул. Это значит, что один из концов отрезка всегда остается неподвижным. 

 

19. Что значит найти корень уравнения с заданной точностью?

Уточнение корней до заданной точности заключается в сужении интервала  изоляции корня.

20.Что позволяет найти  объединенный алгоритм?

Создадим объединенный алгоритм отделения корней и, например, алгоритм метода половинного деления для уточнения корней. Он позволит находить все корни трансцендентного уравнения.

21.Каким способом уточняются  значения изолированных корней  в объединенном алгоритме? Какие  способы уточнения корней вы  знаете?

Значения изолированных корней уточняется методом дихотомии. Метод половинного деления(дихотомии) и метод хорд.

22. Как узнать, сменила  ли функция знак?

Вычисляем значения функции в точках и проверяем знак их произведения. Если знак произведения отрицательный, значит, на этом отрезке функция сменила знак.

23. Что является признаком  окончания цикла в методе половинного  деления?

Проверяем, не стала ли длина отрезка х1, х2 меньше наперед заданного ε, т.е. если абсолютная величина разности между х1 и х2 остается больше ε, то переходим на шаг 1.

24. На чем основан метод  касательных?

Этот метод основан на замене функции F(х) в точке начального приближения х=х0 касательной, пересечение которой с осью х дает первое приближение к корню х1.

25.Сформулируйте уравнение  касательной, проведенной к графику  функции y=f(x) в точке х0.

В качестве х0 выбирают тот конец  отрезка [ a,b ], на котором знаки F(x0) и F´´ (x0) совпадают. Уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке х0 выглядит так:

X_n+1= x_n –(f(x_n)/f ^‘(x_n )).

26.Каким образом определяют  точку начального приближения  в методе касательных?

 Для этого определяем, совпадают ли знаки функции и ее второй производной на концах отрезка. Другими словами, если F1 · F3 > 0, то х0= а , иначе проверяем, если F2 · F4 > 0, то х0 = b.

27.Что является признаком  окончания вычислительного процесса  в методе касательных?

Проверяем, насколько близки два  соседних приближения, т.е. если |х1 – х0| ≥ ε, то х0= х1 и переходим на ШАГ 7 , иначе выводим на печать найденное значение корня х1.

28. Каким образом должно  быть представлено уравнение,  для которого требуется найти  корень методом простых итераций?

Метод простых итераций (МПИ) основан на представлении уравнения F(x) = 0 (1)  в виде х = f (x). (2). Уравнение (2) равносильно уравнению (1).

 

 

29. Cформулируйте достаточные условия сходимости итерационного процесса для метода простых итераций.

Достаточные условия сходимости итерационного процесса выясняются следующей теоремой -Пусть уравнение х = f (x) имеет единственный корень на отрезке[ а, b ] и выполняются следующие условия:

1) f(x) − определена и дифференцируема на отрезке [ a,b ];   

2) для всех х ∈ [ а, b ], f ( x ) ∈ [ а, b ];

3) существует такая правильная  дробь q, что для всех х из отрезка [ а, b] | f ‘(x) | ≤ q < 1. Тогда итерационная последовательность х n = f (x n-1) ( n = 1,2, ...) сходится при любом начальном члене х 0∈ [ а, b ].

30. Сформулируйте пошаговый  алгоритм нахождения изолированного  корня трансцендентного уравнения  методом простых итераций.

Для определения интервала, содержащего  корень, используем граф. или аналит.метод. . Уточним значение корня, находящегося в этом интервале с точностью ε = 0, 0001. Для уточнения его значения приведем уравнение к виду х = f (x). мы можем для поиска приближенного значения корня применить метод итераций. За начальное приближение к корню возьмем левый конец отрезка, содержащего корень, т.е. х0= 0. Все остальные приближения будем находить по рекуррентной формуле .Вычисления следует продолжать до тех пор, пока | F(x) – x|> ε .

31.Что является признаком окончания вычислительного процесса в методе простых итераций?

Сравниваем абсолютную величину разности между «у» и «х» с ε, т.е. если | у – x| < ε,то выводим на печать найденное значение корня х.

32. В чем состоит главная идея метода последовательного исключения неизвестных?

Метод Гаусса или метод последовательного исключения неизвестных основан на приведении исходной матрицы коэффициентов аij к треугольному виду.

33. Что такое невязка уравнения?

Разность между левой частью уравнения системы и его свободным членом называют невязкой этого уравнения.

34. Сформулируйте пошаговый алгоритм метода Гаусса.

Пусть число уравнений  m равно числу неизвестных n, т.е. m = n. Для удобства записи алгоритма введем некоторые переменные, которые будем использовать для краткости записи алгоритма.А (n ,n) − массив коэффициентов исходной системы линейных уравнений.В (n) − массив свободных членов.Х (n) − массив значений неизвестных.Поскольку все преобразования с коэффициентами системы мы будем производить на месте, то следует для сохранения “не испорченных” значений исходных данных завести 2 рабочих массива А1(n , n) и В1(n), в которые переписать первоначальные исходные данные. В конце алгоритма они нам понадобятся для подсчета невязок уравнений исходной системы.ШАГ 1. Начало цикла по количеству строк i, i = 1 , 2 , ... , n.49ШАГ 2. Начало цикла по количеству столбцов j, j = 1 , 2 , ..., n.ШАГ 3. Вводим коэффициенты исходной системы уравнений а i , j по строкам и свободные члены вiв массивы А(I,J) и В (I) соответственно.ШАГ 4. Проводим прямой ход исключения неизвестных с использованием следующих формул: aij = − ai j / ai i  aj k = aj k + aj i · ai k вj = вj + aj i · вi, где i = 1,2, ..., n − 1; j = i +1, i + 2, ... , n; k = i +1, i + 2, ... i + n.В конце прямого хода, за пределами цикла получаем хn = вn / an n .ШАГ 5. Организовываем обратный ход для последовательного нахождения хn - 1 , х n - 2 , ... , х2 , х 1 , используя следующие формулы: h = вi и h = h – xj aj j, гдеi = n − 1, n − 2, ... , 2, 1, j = i + 1, i + 2 , ... , n и x i = h / a i i . В результате формируем массив Х(I) неизвестных х n , х n - 1 ,... , х 2 , х 1 .ШАГ 6. Выводим на печать массив Х (I) .ШАГ 7. Делаем проверку найденных значений неизвестных. Для этого подставляем их в левые части уравнений, входящих в систему, вычисляем невязки каждого уравнения и выводим их на печать.ШАГ 8. Конец задачи.