Шпаргалка по "Эконометрике"

1. Эконометрика

Эконометрика — наука, изучающая количественные и качественные экономические взаимосвязи с помощью математических и статистических методов и моделей. 

Объект- экономика и её эк. Объекты. Предмет- оценка и описание связей мд эк показателями, которые характеризуют произв процессы и явления.

Этапы эк. Моделирования:

1.Постановочный- формулир цель исследования(анализ, прогноз, имитация развития, управленческое решение и тд), определяем эк переменные модели.

2.Априорный – анал-ем изуч-е эк явление:формируем и форм-уем инфу, известную до начала моделир.

3.Параметризация- определ вид эк модели, выраж-ем в мат форме взаимосв мд её переменными, формулир исходные предпосылки и ограничения модели

4.Информационный – собираем необх стат инфу

5.Идентификация модели – проводим стат анализ модели, оцениваем кач-во её парам

6. Верификация модели- проверяем истинность модели, опред, насколько соотв построенная модель реальному эк явлению.

 

2.Базовые понятия теории  вероятностей

Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.

Формальное математическое определение  следующее: пусть   — вероятностное пространство, тогда случайной величиной называется функция  ,измеримая относительно   и борелевской σ-алгебры на  . Вероятностное поведение отдельной (независимо от других) случайной величины полностью описывается её распределением.(ПРИМЕР: Если бросается игральная кость, то в результате верхней гранью может оказаться одна из шести граней с количеством точек от одной до шести. Выпадение какой-либо грани в данном случае в теории вероятностей называется элементарным событием  ^[1], то есть в1-гр с одн точкой.

 

 

Математи́ческое ожида́ние — среднее значение случайной величины, распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей.

Пусть задано вероятностное пространство   и определённая на нём случайная величина  . То есть, по определению,   — измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от   по пространству  , то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается   или  .       .Если   — функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся интегралом Лебега — Стилтьеса: .

 

 

Среднеквадрати́ческое отклоне́ние— в теории вероятностей и статистике наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания.

Измеряется в единицах измерения  самой случайной величины. Равно корню квадратному из дисперсии случайной величины. Среднеквадратическое отклонение используют при расчёте стандартной ошибки среднего арифметического, при построении доверительных интервалов, при статистической проверке гипотез, при измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами.

Среднеквадратическое отклонение:   (На практике среднеквадратическое отклонение позволяет определить, на сколько значения в множестве могут отличаться от среднего значения.: климат, спорт, тех анализ)

 

 

 

 

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается 

Пусть   — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда ,где символ   обозначает математическое ожидание

ПРИМЕР(Пусть случайная величина   имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на   то есть её плотность вероятности задана равенством Тогда математическое ожидание квадрата случайной величины ,и математическое ожидание случайной величины ,Тогда дисперсия случайной величины

 

 

Законы распределений  случайных величин

Большинство СВ подчиняется определенному закону распределения, зная который можно предвидеть вероятности попадания исследуемой СВ в определенные интервалы. Такое предсказание весьма желательно при анализе экономических показателей, ведь в этом случае появляется возможность осуществлять продуманную политику с учетом возможности возникновения той или иной ситуации.

Законов распределений достаточно много. Мы ограничимся рассмотрением  лишь тех, которые наиболее активно  используются в эконометрическом анализе. К их числу относятся нормальное распределение, распределения хи-квадрат , Стьюдента, Фишера. Для удобства использования данных законов были разработаны таблицы так называемых критических точек, которые позволяют быстро и эффективно оценивать соответствующие вероятности.

 

 

Распределение Стьюдента

Пусть СВ U ~ N{О, 1), СВ V — независимая от U величина, распределенная по закону х² с п степенями свободы. Тогда величина T=U/КОРЕНЬ V/n, имеет распределение Стьюдента (t-распределение) с п степенями свободы ( Т ~ Т_л).

Из формулы (1.18) видно, что распределение  Стьюдента определяется только одним параметром п — числом степеней свободы. График функции плотности вероятности СВ, имеющей распределение Стьюдента, является симметричной кривой (линия симметрии — ось ординат)

При этом с увеличением числа  степеней свободы распределение Стьюдента приближается к стандартизированному нормальному, причем при п > 30 распределение Стьюдента практически можно заменить нормальным распределением.

Распределение Стьюдента применяется  для нахождения интервальных оценок, а также при проверке статистических гипотез. При этом активно используется таблица критических точек распределения  Стьюдента. Распределение Стьюдента используется в статистике для точечного оценивания, построения доверительных интервалов и тестирования гипотез, касающихся неизвестного среднего статистической выборки из нормального распределения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Распределение Фишера

Пусть V и W — независимые СВ, распределенные по закону со степенями свободы vi = m и V2 = п соответственно. Тогда

Величина F=V/m/  W/m имеет распределение Фишера со степенями свободы v\=m и v₂ = п (F ~ F_mtn). Таким образом, распределение Фишера F определяется двумя параметрами — числами степеней свободы тип. При больших тип это распределение приближается к

29

Нормальному/Нетрудно заметить, что Т_п² = F₁,n_пу где Т_п - СВ, имеющая распределение Стьюдента с числом степеней свободы v = п_, F₁,n — СВ, имеющая распределение Фишера с числами степеней свободы v¹ = 1 и V₂ = п. Распределение Фишера используется при проверке статистических гипотез, в дисперсионном и регрессионном анализах. При этом активно используется таблица критических точек распределения Стьюдента.

 

Распределение хи-квадрат

Пусть Xi , i= 1,2….n-независ норм-но распр СВ  с мат ожид и сред квадр откл σi соотв-но, те Xi≈N(mi.σi)/

Тогда СВ Ui = (Xi-mi)/σi,i=1,2….n, явл независСВ, имеющ. Стандартиз норм распр, Ui≈N(0,1)

СВ Р имеет хи-квадрат распределение с n степенями свободы (х²~хn²), ^если   х²⁼

Отметим, что число степеней свободы  v) исследуемой СВ определяется числом СВ, ее составляющих, уменьшенным на число линейных связей между ними. Например, число степеней свободы СВ, являющейся композицией п случайных величин, которые в свою очередь связаны т линейными уравнениями, определяется числом v = п — т. Таким образом, U² ~ х₁²   

График плотности вероятности  СВ, имеющей х²-распределение, лежит только в первой четверти декартовой системы координат и имеет асимметричный вид с вытянутым правым «хвостом». Однако с увеличением числа степеней свободы распределение х² постепенно приближается к нормальному.

Распределение % применяется для  нахождения интервальных оценок и проверки статистических гипотез.

 

Распределение Пуассона — вероятностное распределение дискретного типа, моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга. Распределение Пуассона играет ключевую роль в теории массового обслуживания. Выберем фиксированное число   и определим дискретное распределение, задаваемое следующейфункцией вероятности: ,где   обозначает факториал числа  ,  — основание натурального логарифма. Тот факт, что случайная величина   имеет распределение Пуассона с параметром  , записывается:  . Производящая функция моментов распределения Пуассона имеет вид: , откуда , . Для факториальных моментов распределения справедлива общая формула: , где    .А так как моменты и факториальные моменты линейным образом связаны, то часто для пуассоновского распределения исследуются именно факториальные моменты, из которых при необходимости можно вывести и обычные моменты.

 

Генеральная совокупность- мн-во всех возможн значений или реализаций исслед-ой СБ X при данном реальном комплексе условий.

выборка(выб. совок) — часть генеральн совок, отобранную для изучения.

Генеральная совокупность состоит  из всех объектов, которые подлежат изучению. Состав генеральной совокупности зависит от целей исследования. Изучения ген совок во многих случ невозможно, либо нецелесообразно в силу больших затрат, уничтожения или порчи исследуемых объектов.(например, анализ среднего дохода населения минска формально предполагает наличие достов инфы о кадом жителе города в конкр момент времени.получение такой инфы невозможно)

Различают повторую и бесповторную выборку. В первом оттобранный объект возв в генер совок, а второй отобр объект не возвр в генер совокупность.

Случайный отбор может проводится с помощью датчика таблицы  случацных чисел либо обычной жеребьёвкой.однако строгое соблюдение правил случайного отбора не всегда осуществимо.поэтому прибегают к различным методам неслучайного отбора, стремясь прибизится к условиям случайного.Это: механический(отбир по заранее устан правилу,), серийный(из генер совок отбир не по одному, а сериями), типичный(выбир не из все генер совок, а из её типичной части.)

 

 

Для оценки связи между эмпирическими  показателями используют регрессионный и корреляционный анализ. 
Регрессионный анализ позволяет дать оценку коэф-там уравнения в регрессии. Корреляционный анализ показывает связь между переменными.

Парная регрессия–уравнение связи 2ух переменных Yи Х  у=f(x), где у-зависимая переменная, х- независимая переменная.

Множественная регрессия – уравнение связи с несколькими независимыми переменными

Различают линейную и нелинейную регрессии:

Парная линейная регрессия:  y= a + bx + e

Множественная линейная регрессия: у=a + b₁x₁+b₂x₂+…+ b_nx_n +e

Парная нелинейная регрессия: 1.степенная y = ax^be 2. Показательная y = ab^xe3.и др

Множественная нелинейная регрессия: 1.степенная y=aX₁^b1X₂^b2… и другие

Построение уравнений регрессии  сводится к оценке её параметров. Для  оценки параметров  парной и множественной  линейной регрессии используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного У от теоритических У_х минимальна, т.е∑(у-у_х)→min

 

Ковариа́ция - мера линейной зависимости двух случайных величин. Пусть   — две случайные величины, определённые на одном и том же вероятностном пространстве. Тогда их ковариация определяется следующим образом: ,где   — оператор математического ожидания.Предполагается, что все математические ожидания   в правой части данного выражения определены.Если ковариация положительна, то с ростом значений одной случайной величины, значения второй имеют тенденцию возрастать, а если знак отрицательный — то убывать.

Однако только по абсолютному значению ковариации нельзя судить о том, насколько  сильно величины взаимосвязаны, так  как её масштаб зависит от их дисперсий. В принципе ковариадия может служить индикатором наличия положительной (переменные изменяются в одном направлении) либо отрицательной (переменные изменяются в разных направлениях) связи между СВ — ковариадия в этом случае положительна либо отрицательна. Однако существенным недостатком ковариации является ее зависимость от размерностей рассматриваемых СВ. Поэтому при различных единицах измерения СВ одна и та же зависимость может выражаться различными значениями ковариаций. Кроме того, ковариация не позволяет определить силы (строгости) зависимости между рассматриваемыми СВ. Для устранения данных недостатков вводится относительная мера взаимосвязи (безразмерная величина) — коэффициент корреляции.Свойства ковариации: σху ~ σуя  , σxу= D(X) = σ_х².  ,Если X и У независимые СВ, то σ_ху = 0.   , \σху\ ^ О_хОу.   ,cov(a + bХ, с + dY) = bdcov(X, Y), где а, Ъ, с, d — константы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Коэффициентом корреляции СВ X и У называют величину:   формула

Зависимость между СВ X и У, характеризуемая коэффициентом корреляции, называется корреляцией. СВ X и У называются некоррелированными у если р_ху = 0, что равносильно равенству с_ху = 0. Если же р_ху * 0, то СВ X и У называют коррелированными. Свойства коэффициента корреляции: Рхх =1, Рху = ру_{Х, -1≤pxy≤1,} если CB X независимы. То pxy=0

Пример 1.3. На основе многолетних наблюдений за результатами инвестиций в две компании был построен закон распределения СВ X и у _ размеров годовых дивидендов (в процентах) от вложений в данные отрасли. Закон представлен таблицей 1.6. Необходимо определить маргинальные законы распределений каждой из СВ, установить наличие зависимости между ними. Вычислить ковариацию и коэффициент корреляции, а также решить, что менее рискованно: вкладывать деньги в одну из этих отраслей либо одновременно в обе в равных пропорциях.

х\	-10	5	10	Рх
-10	0,05	0,25	0,3	0,6
20	0,15	0,20	0,05	0,4
Ру	0,2	0,45	0,35