Решение задач по "Эконометрике "

Отсюда = · 637,55=70,84

· 21,689=2,41

= =227,15

 По статистическим таблицам распределения Фишера на -ном уровне значимости при числе степеней свободы и находим критическую точку

Так как делаем вывод о значимости полученного уравнения регрессии.

Для оценки надёжности парного коэффициента корреляции применим формулу

По таблице распределения Стьюдента на -ном уровне значимости при числе степеней свободы находим критическую точку

Так как делаем вывод о значимости т. е., отклоняем гипотезу об отсутствии линейной корреляционной связи в генеральной совокупности, рискуя ошибиться при этом лишь в 5%-х случаях.

4. Для линейного парного уравнения регрессий стандартная ошибка коэффициента вычисляется по формуле:

= =0,07

= =0,734

Стандартную ошибку вычисляем по приближенной формуле: 0,378.

5. Построим регрессионную модель Y=bX+u в матричной форме

 

 

Задача №3

 

Для прогноза возможного объема экспорта на основе ВНП предложено использовать линейную регрессионную модель. При этом используются данные за 1995 – 2004 годы.

Годы	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004
ВНП	1000	1090	1150	1230	1300	1360	1400	1470	1500	1580
Экспорт	190	220	240	240	260	250	280	290	310	350

 

1. Сформулируйте соответствующую регрессионную модель, дав интерпретацию ее параметров.
2. Рассчитайте на основе имеющихся данных оценки параметров модели.
3. Вычислите стандартную ошибку регрессии.
4. Рассчитайте стандартные ошибки коэффициентов.
5. Определите 90 и 95%-е доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии.
6. Проанализируйте статистическую значимость коэффициентов при уровнях значимости a=0,1 и a=0,05.
7. Оцените коэффициент корреляции между ВНП и экспортом.
8. Дайте прогнозы по объему экспорта на 2006 и 2009 годы.
9. Определите 95%-е доверительные интервалы для этих прогнозов.
10. Рассчитайте коэффициент детерминации и сравните его с коэффициентом корреляции.
11. Какие предпосылки относительно случайного отклонения модели необходимы для обоснованности выводов по предыдущим пунктам?
12. Сделайте выводы по предыдущим пунктам.

 

Решение:

1. Корреляционное поле, построенное по статистическим данным, приведено на рисунке 3

Рис.3 Корреляционное поле

По виду корреляционного поля можно сделать предположение, что связь между ВНП и экспортом линейная и прямая..

2. Оценим по МНК параметры уравнения линейной регрессии

Для наглядности построим таблицу 3:

Таблица 3

 

Года i	xi	yi	xi2	xiyi	yi2		ei	ei2
1995	1000	190	1000000	190000	36100	190,93	-0,93	0,86
1996	1090	220	1188100	239800	48400	211,99	8,01	64,19
1997	1150	240	1322500	276000	57600	226,03	13,97	195,22
1998	1230	240	1512900	295200	57600	244,75	-4,75	22,54
1999	1300	260	1690000	338000	67600	261,13	-1,13	1,27
2000	1360	250	1849600	340000	62500	275,17	-25,17	633,43
2001	1400	280	1960000	392000	78400	284,53	-4,53	20,50
2002	1470	290	2160900	426300	84100	300,91	-10,91	118,98
2003	1500	310	2250000	465000	96100	307,93	2,07	4,29
2004	1580	350	2496400	553000	122500	326,65	23,35	545,32
Итого	13080	2630	17430400	3515300	710900	2630	0,00	1606,61
Среднее	1308	263	1743040	351530	71090	263

= = 0,234

=263-0,234·1308= – 43,072

Получили уравнение линейной регрессии, выражающее взаимосвязь между признаком y (экспорт) и признаком х (ВНП):

Параметр показывает усредненное влияние на результативный признак (экспорт) неучтенных факторов, а - показывает, во сколько изменяется в среднем значение результативного признака (ВНП) при изменении факторного на единицу его собственного измерения.

То есть при увеличении ВНП на один рубль, размер экспорта увеличивается на 0,234.

Отсюда рассчитаем и e1.

Для расчета теоретического коэффициента детерминации определим значение линейного парного коэффициента корреляции через МНК-оценку коэффициента регрессии:

= =0,957

Коэффициент корреляции , т.е. связь между фактором и результатом очень сильная. Так как значение 0,953 положительное, то связь прямая.

 Теоретический коэффициент  детерминации будет равен: . Следовательно 91,6% вариации экспорта Y объясняется уравнением линейной регрессии, а значит и ВНП X. А 100 – 91,6 = 8,4 % вариации экспорта Y обусловлено влиянием не учтенных в модели факторов.

3. Стандартную ошибку вычисляем по приближенной формуле: 0,378

4. Для линейного парного уравнения регрессий стандартная ошибка коэффициента вычисляется по формуле:

= =0,07

= =0,734

5. Доверительный интервал для параметров регрессии bi записываемся в виде следующей формулы: .

Определим доверительные границы для параметра регрессии b1, b0 обычно не рассматривается, т. к. лишен экономического смысла.

Вычислим стандартную ошибку оценки параметра регрессии, а для этого сначала вычислим стандартные отклонения. Построим ещё одну таблицу 3.1

Таблица 3.1

Xi	1000	1090	1150	1230	1300	1360	1400	1470	1500	1580	13080	1308
(Xi – ̅̅X)2	94864	47524	24964	6084	64	2704	8464	26244	36864	73984	321760

SX= = =189,08

Sξ= = =13,36

Зададимся уровнем значимости . Число степеней свободы для нашего примера . По таблице Стьюдента находим, что . В соответствии получаем следующие доверительные границы для b1

или 0,234±0,0578

Итак, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что неизвестное знамение параметра регрессии b1 содержится в интервале

При построении доверительного интервала для коэффициента корреляции генеральной совокупности прибегают к преобразованию Фишера по формуле:

Подставляя выборочный коэффициент корреляции получаем значение Z:

Стандартная ошибка вычислена выше.

Доверительные границы для величины на заданном уровне значимости определяются по формуле : .

При уровне значимости . Таким образом, доверительные границы для величины при p = 0,95 будут следующими:

 или

и доверительный интервал для

Доверительные границы для коэффициента корреляции находят путем обратного пересчета величины по формуле:

Произведем обратный пересчет в r

Итак, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что коэффициент корреляции в генеральной совокупности содержится в интервале

Теперь определим 90%-е доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии.

Зададимся уровнем значимости . Число степеней свободы для нашего примера . По таблице Стьюдента находим, что . В соответствии получаем следующие доверительные границы для b1

или 0,234±0,0465

Итак, с вероятностью 0,9 можно утверждать, что неизвестное знамение параметра регрессии b1 содержится в интервале

При построении доверительного интервала для коэффициента корреляции генеральной совокупности прибегают к преобразованию Фишера по формуле:

Подставляя выборочный коэффициент корреляции получаем значение Z:

Стандартная ошибка вычислена выше.

Доверительные границы для величины на заданном уровне значимости определяются по формуле : .

При уровне значимости . Таким образом, доверительные границы для величины при p = 0,9 будут следующими:

 или

и доверительный интервал для

Доверительные границы для коэффициента корреляции находят путем обратного пересчета величины по формуле:

Произведем обратный пересчет в r

Итак, с вероятностью 0,90 можно утверждать, что коэффициент корреляции в генеральной совокупности содержится в интервале

 

 

Задача №4

Предполагается, что объем Q предложения некоторого блага для функционирующей в условиях конкуренции фирмы зависит линейно от цены P данного блага и заработной платы W сотрудников фирмы, производящих данное благо: .

Статистические данные, собранные за 16 месяцев, занесены в следующую таблицу:

Q	20	35	30	45	60	69	75	90	105	110	120	130	130	130	135	140
P	10	15	20	25	40	37	43	35	38	55	50	35	40	55	45	65
W	12	10	9	9	8	8	6	4	4	5	3	1	2	3	1	2

1. Оцените по МНК коэффициенты уравнения регрессии.
2. Проверьте гипотезы о том, что при прочих равных условиях рост цены товара увеличивает предложение; рост заработной платы снижает предложение.
3. Определите интервальные оценки коэффициентов при уровне значимости a=0,1. Как с их помощью проверить гипотезу о статистической значимости коэффициентов регрессии?
4. Оцените общее качество уравнения регрессии.
5. Является ли статистически значимым  коэффициент детерминации R2?
6. Проверьте гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков.
7. Сделайте выводы по построенной модели.