Основные этапы и проблемы эконометрического моделирования

С математической точки зрения регрессионные модели оказываются существенно более простым объектом, чем эконометрическая модель общего типа. Отметим здесь некоторые свойства регрессионной модели.

Рассмотрим равенство Y = Мх (Y) + ɛ и возьмем от обеих частей математическое ожидание при заданном наборе значений объясняющих переменных X. В этом случае Мх (Y) есть числовая величина, равная своему математическому ожиданию, и мы получаем равенство

                                   Мх (ɛ) = 0                                                        (1.3)

(а значит, и Мх (ɛ) = 0), т.е. в регрессионной модели ожидаемое значение случайной ошибки равно нулю. Можно показать, что отсюда следует (если объясняющие переменные рассматриваются как случайные величины) некоррелированность случайных ошибок и объясняющих переменных X. Это обстоятельство оказывается наиболее существенным условием состоятельности получаемых количественных результатов анализа эконометрической модели.

 

 

 

8

3. Эконометрическая  модель и экспериментальные данные

 

Чтобы получить достаточно достоверные и информативные данные о распределении какой-либо случайной величины, необходимо иметь выборку ее наблюдений достаточно большого объема. Выборка наблюдений зависимой переменной Y и объясняющих переменных Xj (j = 1,…, р) является отправной точкой любого эконометрического исследования.

Такие выборки представляют собой наборы значений (xi1,…,xiр; yi), где i = 1,…,n; р — количество объясняющих переменных, n — число наблюдений.

Как правило, число наблюдений n достаточно велико (десятки, сотни) и значительно превышает число р объясняющих переменных. Проблема, однако, заключается в том, что наблюдения yi, рассматриваемые в разных выборках как случайные величины Yi и получаемые при различных наборах значений объясняющих переменных Xj, имеют, вообще говоря, различное распределение. А это означает, что для каждой случайной величины Yi мы имеем всего лишь одно наблюдение. Разумеется, на основании одного наблюдения никакого адекватного вывода о распределении случайной величины сделать нельзя, и нужны дополнительные предположения.

В классическом курсе эконометрики рассматривается три типа выборочных данных.

Пространственная выборка или пространственные данные (crоss-sectional data). В экономике под пространственной выборкой понимают набор показателей экономических переменных, полученный в данный момент времени. Для эконометриста, однако, такое определение не очень удобно — из-за неоднозначности понятия «момент времени». Это может быть и день, и неделя, и год. Очевидно, о пространственной выборке имеет смысл говорить в том случае, если все наблюдения получены примерно в неизменных условиях, т. е. представляют собой набор независимых выборочных данных из некоторой генеральной совокупности.

Таким образом, мы будем называть пространственной выборкой

9

серию из n независимых наблюдений (р+1)-мерной случайной величины (X1,…,Xp; Y). (При этом в дальнейшем можно не рассматривать Xj как случайные величины.) В этом случае различные случайные величины Yi оказываются между собой независимыми, что влечет за собой некоррелированность их возмущений, т. е.

                              r (ɛi, ɛj) = 0 при i = j,                                          (1.4)

где r (ɛi, ɛj) — коэффициент корреляции между возмущениями ɛi и ɛj.

Условие (1.4) существенно упрощает модель и ее статистический анализ.

Как определить, является ли выборка серией независимых наблюдений? — На этот вопрос нет однозначного ответа. Формальное определение независимости случайных величин, как правило, оказывается реально непроверяемым. Обычно за независимые принимаются величины, не связанные причинно.

Однако на практике далеко не всегда вопрос о независимости оказывается бесспорным.

Вернемся к примеру о продаже машины.

Пусть Y — цена машины, Х — год выпуска, а (x1, y1),…, (xn, yn) — серия данных, полученная из газеты «Из рук в руки». Можно ли считать эти наблюдения независимыми?

Различные продавцы не знакомы между собой, они дают свои объявления независимо друг от друга, так что предположение о независимости наблюдений выглядит вполне разумно. С другой стороны, человек, назначающий цену за свой автомобиль, руководствуется ценами предыдущих объявлений, так что и возражение против независимости наблюдений также имеет право на существование.

Из этого можно сделать вывод, что решение о пространственном характере выборки в известной степени субъективно и связано с условиями используемой модели. Впрочем, то же самое можно сказать о многих предположениях, которые делаются в математической статистике и особенно ее приложениях.                                                                                                      10

Итак, эконометрическая модель, построенная на основе пространственной выборки экспериментальных данных (xi, yi), имеет вид:

                                  yi = f (xi) + ɛi  i = 1,…, n,                                 (1.5)

где ошибки регрессии удовлетворяют условиям

                                         M(ɛi ) = 0                                                       (1.6)

                                        r( ɛi, ɛj)=0                                                   (1.7)

                                        D(ɛi )=σi2                                                                (1.8)

Что касается условия (1.8), то здесь возможны два случая:

а) σi2  = σj2  при всех i и j. Свойство постоянства дисперсий ошибок регрессии называется гомоскедастичностъю. В этом случае распределения случайных величин Yi отличаются только значением математического ожидания (объясненной части);

б) σi2  ≠σj2  при всех i и j. В этом случае имеет место гетероскедастичностъ модели. Гетероскедастичность «портит» многие результаты статистического анализа и, как правило, требует устранения.

Как определить, является ли изучаемая модель гомо- или гетероскедастичной? — В некоторых случаях это достаточно очевидно. Например, цена автомобиля, которому пятнадцать лет, вряд ли может подняться выше 2000 у.е., так что стандартная ошибка цены в этом случае вряд ли может быть больше, чем 300—400 у.е. Между тем автомобиль, которому два года, может стоить и 7000, и 17 000 у.е., т.е. стандартная ошибка заведомо не меньше 1500—2000 у.е.

Однако во многих случаях гетероскедастичность модели далеко не столь очевидна, и требуется применение методов математической статистики для принятия решения о том, какой тип модели будет рассматриваться.

Временной (динамический) ряд (time-series data). Временным

(динамическим) рядом называется  выборка наблюдений, в которой  важны не только сами наблюдаемые  значения случайных величин, но и порядок их следования друг за другом. Чаще всего упорядоченность обусловлена тем, что экспериментальные данные представляют собой серию

11

наблюдений одной и той же случайной величины в последовательные моменты времени. В этом случае динамический ряд называется временным рядом. При этом предполагается, что тип распределения наблюдаемой случайной величины остается одним и тем же (например, нормальным), но параметры его меняются в зависимости от времени.

Модели временных рядов, как правило, оказываются сложнее моделей пространственной выборки, так как наблюдения в случае временного ряда вообще говоря не являются независимыми, а это значит, что ошибки регрессии могут коррелировать друг с другом, т. е. условие (1.4) вообще говоря не выполняется.

Следует особенно отметить, что имея только ряд наблюдений без понимания их природы, невозможно определить, имеем мы дело с пространственной выборкой или временным рядом. Пусть, например, имеется 500 пар чисел (x1, y1),…, (x500, y500), где Y — цена автомобиля, а Х — год выпуска. Данные взяты из газеты «Из рук в руки». Возможны следующие варианты:

1) n газет было упорядочено по дате их выпуска, и из каждой газеты было выбрано (случайным образом) по одному объявлению. — В этом случае мы, очевидно, можем считать, что имеем дело с временным рядом;

2) газеты были произвольным  образом перемешаны, и невзирая  на дату выпуска случайным  образом было отобрано п объявлений. — В этом случае мы, скорее всего, можем считать, что наша выборка — пространственная.

При этом, вообще говоря, возможно, что в обоих случаях мы получим один и тот же набор числовых данных. Более того, теоретически возможно даже и то, что они окажутся в той же последовательности! Однако во втором случае мы должны постулировать некоррелированность ошибок регрессии (выполнение условия (1.4)), между тем как в первом случае подобная предпосылка может оказаться неправомерной.

 

12

4. Линейная регрессионная  модель

 

Пусть определен характер экспериментальных данных и выделен определенный набор объясняющих переменных.

Для того, чтобы найти объясненную часть, т. е. величину Mx (Y), требуется знание условных распределений случайной величины Y. На практике это почти никогда не имеет места, поэтому точное нахождение объясненной части невозможно.

В таких случаях применяется стандартная процедура сглаживания экспериментальных данных.Эта процедура состоит из двух этапов:

1) определяется параметрическое  семейство, к которому принадлежит искомая функция Mx (Y) (рассматриваемая как функция от значений объясняющих переменных X). Это может быть множество линейных функций, показательных функций и т.д.;

2) находятся оценки параметров  этой функции с помощью одного из методов математической статистики.

Формально никаких способов выбора параметрического семейства не существует. Однако в подавляющем большинстве случаев эконометрические модели выбираются линейными.

Кроме вполне очевидного преимущества линейной модели —ее относительной простоты, — для такого выбора имеются, по крайней мере, две существенные причины.

Первая причина: если случайная величина (X, Y) имеет совместное нормальное распределение, то, как известно, уравнения регрессии линейные. Предположение о нормальном распределении является вполне естественным и в ряде случаев может быть обосновано с помощью предельных теорем теории вероятностей.

В других случаях сами величины Y или Х могут не иметь нормального распределения, но некоторые функции от них распределены нормально. Например, известно, что логарифм доходов населения — нормально

13

распределенная случайная величина. Вполне естественно считать нормально распределенной случайной величиной пробег автомобиля. Часто гипотеза о нормальном распределении принимается во многих случаях, когда

нет явного ей противоречия, и, как показывает практика, подобная предпосылка оказывается вполне разумной.

Вторая причина, по которой линейная регрессионная модель оказывается предпочтительнее других, — это меньший риск значительной ошибки прогноза.

у

                                                                                     

0                                                                                      x

                                                       

Рис. 1.1

 

Рис. 1.1 иллюстрирует два выбора функции регрессии — линейной и квадратичной. Как видно, имеющееся множество экспериментальных данных (точек) парабола сглаживает, пожалуй, даже лучше, чем прямая. Однако парабола быстро удаляется от корреляционного поля и для добавленного наблюдения (обозначенного крестиком) теоретическое значение может очень значительно отличаться от эмпирического.

Можно придать точный математический смысл этому утверждению: ожидаемое значение ошибки прогноза, т.е. математическое ожидание квадрата отклонения наблюдаемых значений от сглаженных (или теоретических) M (Yнабл – Yтеор)2 оказывается меньше в том случае, если уравнение регрессии выбрано линейным.

14

Наиболее хорошо изучены линейные регрессионные модели, удовлетворяющие условиям (1.6), (1.7) и свойству постоянства дисперсии ошибок регрессии, — они называются классическими моделями.

Заметим, что условиям классической регрессионной модели удовлетворяют и гомоскедастичная модель пространственной выборки, и модель временного ряда, наблюдения которого не коррелируют, а дисперсии постоянны. С математической точки зрения они действительно неразличимы (хотя могут значительно различаться экономические интерпретации полученных математических результатов).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

5. Система одновременных  уравнений

 

До сих пор мы рассматривали эконометрические модели, задаваемые уравнениями, выражающими зависимую (объясняемую) переменную через объясняющие переменные. Однако реальные экономические объекты, исследуемые с помощью эконометрических методов, приводят к расширению понятия эконометрической модели, описываемой системой регрессионных уравнений и тождеств.