Нахождение собственных значений методом Леверрье

При решении данной задачи использовались и некоторые вспомогательные процедуры, - например процедура возведения в степень.

 

 

4. Численное решение задачи нахождения собственных значений матриц методом Леверрье-Фаддеева.

Используя метод Леверрье-Фаддеева, найти собственные числа матрицы, а так же наибольший собственный вектор.

 

.

 

Решение.

 

Определяем коэффициенты характеристического уравнения посредством построения последовательности матриц.

,

,

Результаты дальнейших вычислений примут вид:

 

Получим характеристическое уравнение: Решая это уравнение методом хорд, предварительно уединив корни на некотором промежутке, получаем следующие значения собственных чисел:

Вычислим собственный вектор при наибольшем собственном числе матрицы методом итераций.

 

Итак, используя метод итераций, определить первое наибольшее собственное значение и первый собственный вектор матрицы

 

.

 

Решение.

Выбираем начально-свободный вектор

Вычисляем

 

 

Дальнейшие вычисления можно свести в Таблицу1.

A	2,6 1,2 -0,1	1,2 2,1 1,6	-0,1 1,6 0,8
Y0	1.00	1.00	1.00
Y1	3.70	4.90	2.30	4.13	3.76	4.05
Y2	15.27	18.41	9.31	3.99	3.90	3.80
Y3	60.86	71.88	35.38	3.96	3.90	3.88
Y4	240.96	280.59	137.22	3.94	3.91	3.90
Y5	949.49	1097.95	534.63	3.93	3.92	3.91
Y6	3732.75	4300.49	2089.48	3.93	3.92	3.91
Y7	14656.79	16853.49	8179.09	3.92	3.92	3.92

Таблица 1.

 

Дальнейшие итерации можно прекратить. Собственное значение (наибольшее) . Нормированный собственный вектор .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Приложение
1. Структурная схема алгоритма метода Леверрье-Фаддеева.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Процедура Trace формирования "следа" матрицы AMatrix.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Процедура VInter формирования последовательности матриц Bmatrix.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Структурная схема процедуры AConsistance.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Структурная схема метода хорд для решения характеристического уравнения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Процедура уединения коренй характристического уравнения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2 Листинг программы на алгоритмическом языке "Pascal".

 

 

{Метод Лаверрье-Фаддеева }

                 {Метод нахождения собственных  чисел матриц}

{$M 1024,0,0}{Освобождение памяти для потомка}

uses Dos,Crt;

const N=10;

      MainTextColor=15;

      DiagonColor=2;

 

      OutPutI=3;

      OutPutJ=7;

      ScaleI=10;

      ScaleJ=3;

 

type TMatrix=array[1..N,1..N] of real;

     TVec=array[1..N] of real;

 

{Процедура  решает задачу ввода порядка  исходной матрицы}

procedure Read_Range(var Range:integer);

begin

    writeln('Блок ввода данных');

    write('Введите порядок исходной матрицы A_Matrix=');

    read(Range);

end;

 

{Процедура  считывания исходной матрицы}

procedure InputMatrix(var AMatrix:TMatrix;Range:integer);

var i,j,cols,rows:integer;

begin

    Rows:=Range;

    Cols:=Range;

    writeln('Введите исходную матрицу');

    for i:=1 to cols do

        for j:=1 to rows do

        begin

            GoToXY(OutPutI+ScaleI*i,OutPutJ+ScaleJ*j);

            read(AMatrix[i,j]);

         end;

end;

 

procedure PlotSameMatrix(var CEquival:TMatrix;AMatrix:TMatrix;Range:integer);

var i,j:integer;

begin

  for i:=1 to Range do

    for j:=1 to Range do

    begin

       CEquival[i,j]:=AMatrix[i,j];

    end;

    ClrScr;

end;

 

{Процедуры  форматированного вывода/печати  матриц AMatrix}

procedure Coord_AMatrix(var AMatrix:TMatrix;Range:integer);

var i,j,k:integer;

begin

     for i:=1 to Range do

        for j:=1 to range do

        begin

            GoToXY(OutPutI+ScaleI*i,OutPutJ+ScaleJ*j);

            if i=j then TextColor(DiagonColor) else TextColor(MainTextColor);

            write(AMatrix[i,j]:4:2);

         end;

end;

{==========================================================================}

procedure Coord_VMatrix(var VMatrix:TMatrix;Range:integer);

var i,j:integer;

begin

   for i:=1 to Range do

     for j:=1 to range do

     begin

       GoToXY(OutPutI+ScaleI*i,OutPutJ+ScaleJ*j);

       write(VMatrix[i,j]:4:2);

     end;

end;

 

{Суммирование  диагональных элементов (след матрицы)}

function Trace(Range:integer;AMatrix:TMatrix):real;

var i,N:integer;

    diag_sum:real;

begin

     Diag_sum:=0;

     Trace:=0;

     N:=Range;

     for i:=1 to N do

     begin

       Diag_sum:=diag_sum+AMatrix[i,i];

       Trace:=Diag_sum;

     end;

end;

 

{Промежуточная матрица V}

procedure VInter(var VMatrix:TMatrix;BMatrix,AMatrix:TMatrix;Range:integer;

                     Pk:real);

var i,j,m,i0:integer;

begin

    ClrScr;

    TextColor(MainTextColor);

    writeln( 'Промежуточная матрица Bn');

    readln;

    for i:=1 to Range do

      for j:=1 to Range do

      begin

          if i=j then BMatrix[i,j]:=AMatrix[i,j]-Pk

          else BMatrix[i,j]:=AMatrix[i,j];

          VMatrix[i,j]:=BMatrix[i,j];

          Coord_VMatrix(VMatrix,Range);

      end;

      readln;

end;

 

{Процедура  формирования матрицы A (последовательности матриц)}

procedure AConsistance(var AMatrix:TMatrix;CEquival,V:TMatrix;Range:integer);

var i,j,k:integer;

begin

  ClrScr;

  for i:=1 to Range do

     for j:=1 to Range do

     begin

        AMatrix[i,j]:=0;

     end;

     for k:=1 to Range do

       for i:=1 to Range do

       begin

         for j:=1 to Range do

         begin

           AMatrix[k,i]:=AMatrix[k,i]+CEquival[k,j]*V[j,i];

         end;

         Coord_AMatrix(AMatrix,Range);

       end;

end;

{==========================================================================}

{Промежуточная  функция возведения в степень}

function pow(x:real;y:integer):real;

begin

    if x=0 then pow:=0;

    if x>0 then pow:=exp(y*ln(x));

    if (x<0) and ((y mod 2)=0) then pow:=exp(y*ln(-x));

    if (x<0) and ((y mod 2)<>0) then pow:=-exp(y*ln(-x));

end;

 

{Окончательная функция}

function f(x:real;i:integer;PVec:TVec;Range:integer):real;

var k:integer;

begin

    k:=1;

    if Range=4 then f:=pow(x,4)-PVec[k]*pow(x,3)-PVec[k+1]*pow(x,2)

                      -PVec[k+2]*x-PVec[k+3];

    if Range=3 then f:=pow(x,3)-PVec[k]*pow(x,2)-PVec[k+1]*x-PVec[k+2];

end;

 

{Derivative -вторая производная}

function F_deriv(x:real;i:integer;PVec:TVec;Range:integer):real;

var k:integer;

begin

    k:=1;

    if Range=4 then F_deriv:=12*pow(x,2)-6*PVec[k]*x-PVec[k+1]*2;

    if Range=3 then F_deriv:=6*x-2*PVec[k];

end;

 

{Реализация  метода хорд для решения характеристического  уравнения}

procedure ChordMethood(var X,Y:real;x1,x2,eps:real;i,Range:integer;PVec:TVec);

var Ya,Yb,Yk:real;

    Xk,Xn:real;

    k:integer;

begin

       Ya:=f(x1,i,PVec,Range);

       Yb:=f(x2,i,PVec,Range);

       Y:=F_deriv(x1,i,PVec,Range);{Вторая производная}

       if Ya*Y>0 then

       begin

            Xk:=x1;Yk:=Ya;X:=x2; Y:=Yb;

       end

         else

       begin

            Xk:=x2;Yk:=Yb; X:=x1;Y:=Ya;

       end;

       repeat

            Xn:=X;X:=Xn-(Y/(Y-Yk))*(Xn-Xk);

            Y:=f(X,i,PVec,Range);

       until abs(X-Xk)>=eps;

       writeln('Lambda = ',X:5:4);

       writeln('root Y= ',Y);

       readln;

end;

 

{Реализация  метода уединения и уточнения  коренй посредством метода хорд}

procedure Root_limit(var alpha,beta:real;var LVec:TVec;var RootNum:integer;

                         i,Range:integer;PVec:TVec);

const step_h=0.09;

var

   x1,x2,y1,y2:real;

   Ya,Yb,Yk,Y:real;

   Xk,Xn,X:real;

   eps:real;

   k:integer;

begin

     k:=0;

     x1:=alpha;

     x2:=x1+step_h;

     y1:=f(x1,i,PVec,Range);

     while x2<beta do

     begin

         y2:=f(x2,i,PVec,Range);

         if y1*y2<0 then

         begin

             TextColor(MainTextColor);

             writeln('Корень лежит в этих пределах:[',x1:5:4,';',x2:5:4,']');

         {Процедура уточнения корней характеристического  уравнения}

             ChordMethood(X,Y,x1,x2,eps,i,Range,PVec);

             k:=k+1;

             LVec[k]:=X;

         end

           else

           x1:=x2;

           x2:=x1+step_h;

           y1:=y2;

     end;

     RootNum:=k;{Число действительных корней характеристического уравнения}

end;

{===================Тело  программы=========================================}

var AMatrix,CEquival,BMatrix,VMatrix:TMatrix;

    X_SelfVec,LVec,U_EMatrix:TVec;

    P_CharacteristicParam,Pk,Pn,Lambda,Max:real;{Параметр p характеристического уравнения матрицы}

    Range,k,k1,i,j,num:integer;

    i0,m:integer;

    Cols,Rows:integer;

    PVec:TVec;

    {Параметры характеристического  уравнения уравнения}

    Ya,Yb,Yk:real;

    Xk,Xn,x1,x2:real;

    X,Y:real;

    alpha,beta,eps:real;

    RootNum:integer;

 

begin

    ClrScr;

    TextColor(MainTextColor);

    Pn:=0;

    Pk:=0;

    Read_Range(Range);{Процедура считывает порядок матрицы}

    InputMatrix(AMatrix,Range);{Считываем исходную матрицу}

{==========================================================================}

    PlotSameMatrix(CEquival,AMatrix,Range);

{Блок  вычисления коэффицентов характеристического уравнения матрицы}

    ClrScr;

    TextColor(MainTextColor);

    writeln('Коэффиценты характеристического уравнения');

    for k:=1 to Range-1 do

    begin

       Pk:=Trace(Range,AMatrix)/k; {Pk - коэффицент характкристич. уравнения}

       PVec[k]:=Pk;

       write('Pk_',k,'=',Pk:9:4);

       readln;

 

       VInter(VMatrix,BMatrix,AMatrix,Range,Pk);

       AConsistance(AMatrix,CEquival,VMatrix,Range);

       GoToXY(39,1);

       writeln('Матрица A',k+1,'.');

       readln;

 

     end;

     Pn:=Trace(Range,AMatrix)/Range;

     PVec[k+1]:=Pn; {Вектор параметров P}

     writeln('P_',Range,'=',Pn:9:2);

     readln;

         ClrScr;

         writeln('Вектор коэффицентов P');

         for k:=1 to Range do

         begin

           GoToXY(OutPutI+ScaleI*k,OutPutJ);

           TextColor(MainTextColor);

           write(PVec[k]:8:3);

         end;

         readln;

{==================Блок  вычисления собственных чисел  матрицы===============}

       ClrScr;

       TextColor(MainTextColor);

       writeln('**********************');

       writeln('Ведите пределы, в которых располагаются корни уравнения.');

           write('Enter alpha= ');

           readln(alpha);

           write('Enter beta= ');

           readln(beta);

           write('Enter eps=');

           readln(eps);

Root_limit(alpha,beta,LVec,RootNum,i,Range,PVec);

      ClrScr;

      TextColor(MainTextColor);

      write('Вектор собственных чисел');

      for k:=1 to RootNum do

      begin

       GoToXY(OutPutI+ScaleI*k,OutPutJ);

       write(LVec[k]:8:4);

      end;

      readln;

end.

 

 

 

 

Литература.

1. Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике: Учеб. Пособие для техникумов. - М.: Высш. Школа, 1990.
2. Гловацкая А.П. Методы и алгоритмы вычислительной математики. Учеб. Пособие для вузов. - М.: Радио и связь, 1999.
3. Численные методы. Учебник для техникумов и вузов. М.: Высшая школа, 1976.