Модели управления запасами

 

2. СТАТИЧЕСКИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ

 

1.  Классическая задача экономичного размера заказа

 

Модель управления запасами простейшего типа характеризуется  постоянным во времени спросом, мгновенным пополнением запаса и отсутствием  дефицита. Такую модель можно применять  в следующих типичных ситуациях:

1. использование осветительных ламп в здании;
2. использование канцелярских товаров (бумага, блокноты, карандаши) крупной фирмы;
3. использование некоторых промышленных изделий, таких как гайки и болты;
4. потребление основных продуктов питания (например, хлеба и молока).

На рисунке 2.1.1 показано изменение уровня запаса во времени.

 

Уровень запаса                Моменты поставки заказов

  

 

 

 

                                                                                         

  

 Средний уровень запаса

 

   t₀ = у /  Время

 

Рисунок 2.1.1 – Изменение уровня запаса во времени

 

Предполагается, что интенсивность  спроса (в единицу времени) равна b. Наивысшего уровня запас достигает в момент поставки заказа размером y (предполагается, что запаздывание поставки является заданной константой). Уровень запаса достигает нуля спустя  единиц времени после получения заказа размером у. Чем меньше размер заказа у, тем чаще нужно размещать заказы. Однако при этом средний уровень запаса будет уменьшаться. С другой стороны, с увеличением размера заказов уровень запаса повышается, но заказы размещаются реже.

 

 

Уровень запаса Низкая частота размещения заказов

 

 

 

Высокая частота

размещения заказов

 

 

Время

 

Рисунок 2.1.2 – Частота размещения заказов

 

Так как затраты зависят  от частоты размещения заказа и объема хранимого запаса, то величина у выбирается из условия обеспечения сбалансированности между двумя видами затрат. Это лежит в основе построения соответствующей модели управления запасами.

Пусть К – затраты на оформление заказа, имеющие место всякий раз при его размещении, h – затраты на хранение единицы заказа в единицу времени. Следовательно, суммарные затраты в единицу времени можно представить в виде:

                                      (1)                                       
Продолжительность цикла движения заказа составляет t₀ = у / .

Средний уровень запаса равен  .

Оптимальное значение у получается в результате минимизации C(у) по у. Таким образом, в предположении, что у – непрерывная переменная, имеем:  

                                        (2)

откуда оптимальное выражение  заказа определяется выражением:     

                                               (3)

Можно доказать, что у* доставляет минимум С(у), показав, что вторая производная в точке у* строго положительна.

Выражение (3) называют формулой экономичного размера заказа Уилсона.

Оптимальная стратегия модели предусматривает заказ у* единиц продукции через каждые  единиц времени.

Оптимальные затраты (получены путем непосредственной подстановки):

                                             ₍₄₎

Для большинства реальных ситуаций существует (положительный) срок выполнения заказа (временное запаздывание) L от момента размещения заказа до его действительной поставки. Стратегия размещения заказов в приведенной модели должна определять точку возобновления заказа.

Следующий рисунок 2.1.3 показывает случай, когда точка возобновления заказа должна опережать на L единиц времени ожидаемую поставку. В практических целях эту информацию можно просто преобразовать, определив точку возобновления заказа через уровень запаса, соответствующий моменту возобновлению.

Уровень запаса Точки возобновления заказов 

.y* 

 

 

 

 

 

 

                                                       L.                 L Время 

                        

Рисунок 2.1.3 – Случай, когда точка возобновления заказа должна опережать ожидаемую поставку

 

На практике это реализуется  путем непрерывного контроля уровня запаса до момента достижения очередной  точки возобновления заказа. По этой причине эту модель еще называют моделью непрерывного контроля состояния заказа. Следует заметить, что срок выполнения заказа L можно всегда принять меньше продолжительности цикла t₀^*.

Пример. Ежедневный спрос на некоторый товар (b) составляет 100 ед. Затраты на размещение каждого запаса (К) постоянны и равны 100 долл. Ежедневные затраты на хранение единицы запаса (h) составляют 0,02 долл. Определить экономичный размер партии и точку заказа при сроке выполнения заказа, равном 12 дням [4].

Решение. Из формулы (3) Уилсона получаем

ед.

Оптимальная продолжительность  цикла составляет:

дней.

Т.к. срок выполнения заказа равен 12 дням и продолжительность  цикла составляет 10 дней, возобновление  заказа происходит, когда уровень  запаса достаточен для удовлетворения спроса на дня. Таким образом, заказ размером у* = 1000 размещается, когда уровень запаса достигает ед.

Можно считать, что эффективный  срок выполнения заказа равен

L – t₀^* при L > t₀^*, при этом величина (L – t₀^*) меньше t₀^*

и равен L в противном,

здесь L – заданный срок выполнения заказа.

Для рассматриваемого примера  определить точку заказа в следующих  случаях: а) срок выполнения заказа L = 15 дней. (Ответ: 500 ед.) б) L = 23 дня. (Ответ: 300 ед.) в) L = 8 дней. (Ответ: 800 ед.) г) L = 10 дней. (Ответ: 0 ед.)

 

2.  Задача экономичного размера заказа с разрывами цен

 

В предыдущей модели не учитывались  удельные затраты на приобретение товаров, т.к. они постоянны и не влияют на уровень запаса. Однако нередко  цена единицы продукции зависит  от размеров закупаемой партии. В таких  случаях цена меняется скачкообразно  или предоставляются оптовые  скидки. При этом в модели управления запасами необходимо учитывать затраты  на приобретение.

Рассмотрим модель управления запасами с мгновенным пополнением  запаса при отсутствии дефицита. Предположим, что цена единицы продукции равна с₁ при и равна с₂ при , где и q – размер заказа, при превышении которого предоставляется скидка. Тогда суммарные затраты на цикл помимо издержек оформления заказа и хранения запаса должен включать издержки приобретения.

Суммарные затраты на единицу  времени при :    

                                       (5)

 

 

При эти затраты составляют:        

                                      (6)

 

 

Графики этих двух функций  приведены на рисунке 2.2.1. Пренебрегая влиянием снижения цен, обозначим через y_m размер заказа, при котором достигается минимум U₁(y) и U₂(y). Тогда     

                                               (3)

 

Затраты

U₁

 

 

   U₂

 

 

 

I II III

 

y_m q₁  y

 

Рисунок 2.2.1 – Графики функций U₁(y) и U₂(y)

 

Из вида функций затрат U₁(y) и U₂(y) следует, что оптимальный размер заказа у* зависит от того, где по отношению к трем показанным на рисунке зонам I, II, III находится точка разрыва цены q. Эти зоны находятся в результате определения q₁ (>y_m) из уравнения U₁(y_m) = U₂(q₁).

Так как значение y_m известно (3), то решение уравнения дает значение величины q₁. Тогда зоны определяются следующим образом:

Зона I: ,

Зона II:  ,

Зона III:  .

На рисунках 2.2.2, 2.2.3 и 2.2.4 приведено графическое решение уравнения для рассматриваемого случая, зависящее от того, где находится q по отношению к зонам I, II, III. В результате оптимальный размер заказа у* определяется следующим образом:

, если  , (зона I),

, если  , (зона II),

, если  , (зона III).

Алгоритм определения у* можно представить в следующем виде:

1. Определить y_m по формуле (3). Если  , (зона I), то   и алгоритм закончен. В противном случае перейти к шагу 2.

 

 

2. Определить q₁ из уравнения U₁(y_m) = U₂(q₁) и установить, где по отношению к зонам II и III находится значение q.

а) если  , (зона II), то  .

б) если  , (зона III), то  .

 

Затраты

 

 

U₁

 

   U₂

 

 

 

 Min

 

 

q  y_m q₁ y

 

Рисунок 2.2.2 – q попадает в зону I

 

 

Затраты

 

 

U₁

 

   U₂

 

Min

 

 

          y_m         q q₁ y

 

Рисунок 2.2.3 – q попадает в зону II 

 

 

 

 

Затраты

 

 

U₁

          U₂

  

 

Min

 

 

          Gy_m            q₁ q y

 

Рисунок 2.2.4 – q попадает в зону III 

Пример. Рассмотрим модель управления запасами при следующих исходных данных: K = 10 долл., h = 1 долл., b = 5 ед., с₁ = 2 долл., с₂ =1 долл., q = 15 ед.

Решение. Вычислим сначала  значение

ед.

Так как  , необходимо определить, где находится q: в зоне II или III.

Значение q₁ вычисляется из уравнения U₁(y_m) = U₂(q₁) или 

Подстановка дает:

или

.

Отсюда получаем q₁ = 26,18 или q₁ = 3,82.

По определению в качестве q₁ выбирается большее значение. Так как 

, величина q находится в зоне II. Таким образом, ед.

Суммарные затраты в единицу  времени определяются следующим образом:

долл/день.

 

 

 

3.  Многопродуктовая модель с ограниченной вместимостью склада

 

Эта модель предназначена  для системы управления запасами, включающей n > 1 видов продукции, которая хранится на одном складе ограниченной площади.

Пусть:

А – максимально допустимая площадь складского помещения для n видов продукции;

a_i – площадь, необходимая для хранения единицы продукции i-го вида;

y_i – размер заказа на продукцию i-го вида.

Ограничения на потребность  в складском помещении принимают  вид

                                                            (7)

Допустим, что запас продукции  каждого вида пополняется мгновенно  и скидки цен отсутствуют. Предположим  далее, что дефицит не допускается.

Пусть:

_i – интенсивность спроса i-го вида продукции,

K _i – затраты на оформление заказа i-го вида продукции,

h _i – затраты на хранение единицы продукции в единицу времени для i-го вида продукции.

Общие затраты будут теми же, что и в случае однопродуктовой  модели. Таким образом, рассматриваемая  задача имеет вид:

Минимизировать  

                                 (8)

при

, для всех i.                                 (9) 
Общее решение этой задачи находится методом Лагранжа.

Прежде чем применять  этот метод, необходимо установить, действует  ли указанное ограничение, проверив выполнимость ограничения на площадь  склада для решения [5].

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Для обеспечения непрерывного и эффективного функционирования практически  любой организации необходимо создание запасов. Запасы различного рода играют важнейшую роль при функционировании любой экономической системы и возникают практически во всех звеньях народного хозяйства.

Ни одно производственное предприятие не может существовать без материально-производственных запасов. От их объема и уровня в  значительной мере зависят результаты коммерческой деятельности предприятия. Они чутко реагируют на любые  изменения рыночной конъюнктуры, и, в первую очередь, на отношение спроса и предложения. Сам факт их существования  не приносит их владельцам ничего, кроме  затрат и убытков.

Управление запасами направленно  на повышение рентабельности и скорости обращения вложенного капитала.