Линейная балансовая модель

 
0.8х1 - 0.4х2 = 0 
-0.55х1 + 0.9х2 = 1

Решив эту систему, получим х1=0.8 и х2=1.5. Следовательно, для того чтобы изготовить единицу конечного продукта 2-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить продукции х1=0.8. Эту величину называют коэффициентом полных затрат и обозначают ее через S12. Таким образом, если а12=0.4 характеризует затраты продукции 1-й отрасли на производство единицы продукции 2-й отрасли, используемые непосредственно во 2-й отрасли ( почему они и были названы прямые затраты ), то S12 учитывают совокупные затраты продукции 1-й отрасли как прямые ( а12 ), так и косвенные затраты, реализуемые через другие ( в данном случае через 1-ю же ) отрасли, но в конечном счете необходимые для обеспечения выпуска единицы конечного продукта 2-й отрасли. Эти косвенные затраты составляют S12-a12=0.8-0.4=0.4

Если коэффициент  прямых затрат исчисляется на единицу  валового выпуска, например а12=0.4 при  х2=1, то коэффициент полных затрат рассчитывается на единицу конечного продукта.

Итак, величина Sik характеризует полные затраты продукции i-й отрасли для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, включающие как прямые ( aik ), так и косвенные ( Sik - aik ) затраты.

Очевидно, что всегда Sik > aik. 
Если необходимо выпустить уk единиц k-го конечного продукта, то соответствующий валовый выпуск каждой отрасли составит на основании системы ( 8 ):

 
x1 = S1k·yk, x2 = S2k·yk, …, xn = Snk·yk , 
 
что можно записать короче в виде:

 
_ _ 
x = Sk·yk ( 10 )

 
Наконец, если требуется выпустить  набор конечного продукта, заданный ассортиментным вектором 
 
_ у1 
У = : , то валовый выпуск k-й отрасли xk, необходимый для его

уn 
 
обеспечения, определится на основании равенств ( 10 ) как скалярное произведение столбца Sk на вектор У, т.е.

 
_ _ 
xk = Sk1y1 + Sk2y2 + … + Sknyn = Sk·y , ( 11 )

а весь вектор-план х найдется из формулы ( 7 ) как произведение матрицы S на вектор У.

Таким образом, подсчитав  матрицу полных затрат S, можно по формулам ( 7 ) – ( 11 ) рассчитать валовый выпуск каждой отрасли и совокупный валовый выпуск всех отраслей при любом заданном ассортиментном векторе У.

Можно также определить, какое изменение в вектор-плане Dх = ( Dх1, Dх2, …, Dхn ) вызовет заданное изменение ассортиментного продукта DУ = ( Dу1, Dу2, …, Dуn ) по формуле:

 
_ _  
Dх = S·DУ , ( 12 )

Приведем пример расчета коэффициентов полных затрат для балансовой табл.2. Мы имеем матрицу коэффициентов прямых затрат:

 
0.2 0.4 
А =  
0.55 0.1

 
Следовательно,

 
1 -0.2 -0.4 0.8 -0.4  
Е - А = = 
-0.55 1 -0.1 -0.55 0.9

Определитель этой матрицы

 
0.8 -0.4 
D [ E - A ] = = 0.5 
-0.55 0.9

Построим присоединенную матрицу ( Е - А )*. Имеем:

 
0.9 0.4 
( Е - А )* = ,  
0.55 0.8

откуда обратная матрица, представляющая собой таблицу  коэффициентов полных затрат, будет  следующей:

 
1 0.9 0.4 1.8 0.8  
S = ( Е - А )-1 = ––– = 
0.5 0.55 0.8 1.1 1.6

Из этой матрицы  заключаем, что полные затраты продукции 1-й и 2-й отрасли, идущие на производство единицы конечного продукта 1-й  отрасли, составляет S11=0.8 и S21=1.5. Сравнивая  с прямыми затратами а11=0.2 и  а21=0.55, устанавливаем, косвенные затраты  в этом случае составят 1.8-0.2=1.6 и 1.1-0.55=0.55.

Аналогично, полные затраты 1-й и 2-й отрасли на производство единицы конечного продукта 2-й  отрасли равны S12=0.8 и S22=1.5, откуда косвенные  затраты составят 0.8-0.4=0.4 и 1.6-0.1=1.5.

Пусть требуется  изготовить 480 единиц продукции 1-й и 170 единиц 2-й отраслей.

 
Тогда необходимый валовый выпуск х = х1 найдется из равенства ( 7 ):

 
х2 
 
_ _ 1.8 0.8 480 1000 
х = S·У = · = 
1 1.6 170 800 . 
 

ПОЛНЫЕ ЗАТРАТЫ ТРУДА КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ И Т.Д.

 
Расширим табл.1, включив в нее, кроме производительных затрат xik, затраты труда, капиталовложений и т.д. по каждой отрасли. Эти новые источники затрат впишутся в таблицу как новые n+1-я, n+2-я и т.д. дополнительные строки.

Обозначим затраты  труда в k-ю отрасль через xn+1,k, и затраты капиталовложений – через xn+2,k ( где k = 1, 2, …, n ). Подобно тому как вводились прямые затраты aik,

xn+1,k

введем в рассмотрение коэффициенты прямых затрат труда an+1,k = ––––– , и

xk

xn+2,k

капиталовложений an+2,k = ––––– , представляющих собой  расход соответствующего

xk

ресурса на единицу  продукции, выпускаемую k-й отраслью. Включив эти коэффициенты в структурную матрицу ( т.е. дописав их в виде дополнительных строк ), получим прямоугольную матрицу коэффициентов прямых затрат:

 
a11 a12 … a1k … a1n 
a21 a22 … a2k … a2n основная часть матрицы 
………………………………… 
А' = ai1 ai2 … aik … ain  
………………………………… 
an1 an2 … ank … ann 
an+1,1 an+1,2 … an+1,k … an+1,n  
an+2,1 an+2,2 … an+2,k … an+2,n дополнительные строки

При решении балансовых уравнений по-прежнему используется лишь основная часть матрицы ( структурная матрица А ). Однако при расчете на планируемый период затрат труда или капиталовложений, необходимых для выпуска данного конечного продукта, принимают участие дополнительные строки.

Так, пусть, например, производится единица продукта 1-й  отрасли, т.е.

 
_ 1 
У = 0  
: 
0 .

Для этого требуется  валовый выпуск продукции

 
 
 
S11 
_ _ S21 
x = S1 = : 
Sn1

Подсчитаем необходимые  при этом затраты труда Sn+1,1. Очевидно, исходя из смысла коэффициентов an+1,k прямых затрат труда как затрат на единицу продукции k-й отрасли и величин S11, S12, …, S1n, характеризующих сколько единиц продукции необходимо выпустить в каждой отрасли, получим затраты труда непосредственно в 1-ю отрасль как an+1,1S11, во 2-ю – an+1,2S21 и т.д., наконец в n-ю отрасль an+1,nSn1. Суммарные затраты труда, связанные с производством единицы конечного продукта 1-й отрасли, составят:

 
_ _  
Sn+1,1 = an+1,1S11 + an+1,2S21 + … + an+1,nSn1 = an+1S1 ,

т.е. равны скалярному произведению ( n+1 )-й строки расширенной матрицы А', которую обозначим an+1, на 1-й столбец матрицы S.

Суммарные затраты  труда, необходимые для производства конечного продукта k-й отрасли, составят:

 
_ _  
Sn+1,k = an+1Sk ( 13 )

Назовем эти величины коэффициентами полных затрат труда. Повторив все приведенные рассуждения  при расчете необходимых капиталовложений, придем аналогично предыдущему к  коэффициентам полных затрат капиталовложений:

 
_ _  
Sn+2,k = an+2Sk ( 14 )

Теперь можно  дополнить матриц S строками, состоящими из элементов Sn+1,k и Sn+2,k, образовать расширенную матрицу коэффициентов полных затрат:

 
 
S11 S12 … S1k … S1n матрица коэффициентов 
S21 S22 … S2k … S2n полных внутрипроизводст. 
………………………………… затрат  
S' = Si1 Si2 … Sik … Sin 
………………………………… ( 15 ) 
Sn1 Sn2 … Snk … Snn 
Sn+1,1 Sn+1,2 … Sn+1,k … Sn+1,n дополнительные строки 
Sn+2,1 Sn+2,2 … Sn+2,k … Sn+2,n

Пользуясь этой матрицей можно рассчитать при любом заданном ассортиментном векторе У не только необходимый валовый выпуск продукции х ( для чего используется матрица S ), но и необходимые суммарные затраты труда xn+1, капиталовложений xn+2 и т.д., обеспечивающих выпуск данной конечной продукции У.

 
Очевидно,

 
 
xn+1 = Sn+1,1y1 + Sn+1,2y2 + … + Sn+1,nyn , ( 16 ) 
xn+2 = Sn+2,1y1 + Sn+2,2y2 + … + Sn+2,nyn ,

т.е. суммарное количество труда и капиталовложений, необходимых  для обеспечения ассортиментного  вектора конечной продукции У, равны скалярным произведениям соответствующих дополнительных строк матрицы S' вектор У.

 
Наконец, объединяя формулу ( 7 ) с формулами ( 16 ), приходим к следующей компактной форме:

 
 
x1 
x2 
_ : _  
x = xn = S'У ( 17 ) 
xn+1 
xn+2

Пусть дополнительно  к данным, помещенным в табл.2, известны по итогам исполнения баланса фактические  затраты труда xn+1,k ( в тыс. человеко-часов ) и капиталовложений xn+2,k ( в тыс. руб. ), которые записаны в табл.3 
Переходя к коэффициентам прямых затрат aik, получим расширенную матрицу:

 
 
0.2 0.4  
А' = 0.55 0.1 
0.5 0.2 
1.5 2.0

абл. 2

№ отрас № отрас	Потребление 1 2	Итого затрат	Конечный продукт	Валовый продукт
1	100   160	260	240	500
2	275   40	315	85	400
Труд	250 80	330
Капиталовложения	750 800	1850

 

 

Обратная матрица S = ( E - A )-1 была уже подсчитана в предыдущем пункте. 
На основании ( 13 ) рассчитаем коэффициенты полных затрат труда ( Sn+1,k=S3,k ):

 
_ _ 
S31 = a3·S1 = 0.5 · 1.8 + 0.2 · 1.1 = 1.12 ; 
_ _ 
S32 = a3·S2 = 0.5 · 0.8 + 0.2 · 1.6 = 0.72

и капиталовложений Sn+2,k = S4,k:

 
_ _ 
S41 = a4·S1 = 1.5 · 1.8 + 2.0 · 1.1 = 4.9 ; 
_ _ 
S42 = a4·S2 = 1.5 · 0.8 + 2.0 · 1.6 = 4.4 .

Таким образом, расширенная  матрица S' коэффициентов полных затрат примет вид:

 
 
1.8 0.8 
S' = 1.1 1.6  
1.12 0.72 
4.9 4.4

Если задаться на планируемый  период прежним ассортиментным вектором У = 240 , то рассчитав по формулам ( 16 ) суммарные затраты труда xn+1 и  
85 
капиталовложений xn+2, получили бы

xn+1 = x3 = 1,12 · 240 + 0.72 · 85 = 268.8 + 61.2 = 330 тыс. чел.-ч. и xn+2 = xn = 4.9 · 240 + 4.4 · 85 = 1176 + 374 = 1550 тыс.руб.,

что совпадает с исходными  данными табл.3. 
Однако в отличие от табл.3, где эти суммарные затраты группируются по отраслям  
( 250 и 80 или 750 и 800 ), здесь они распределены по видам конечной продукции: на продукцию 1-й отрасли 268.8 и на продукцию 2-й отрасли 61.2; соответственно затраты капиталовложений составляют 1176 и 374.

При любом новом значении ассортиментного вектора У все показатели плана, такие, как валовая продукция каждой отрасли и суммарные расходы трудовых ресурсов и капиталовложений найдем из формулы ( 17 ).

Так, пусть задан ассортиментный вектор У = 480 . Тогда

 
170

 
_ х1 1.8 0.8 1000 
х = х2 = 1.1 1.6 480 = 800  
х3 1.12 0.72 170 600  
х4 4.9 4.4 3100

Отсюда заключаем, что  запланированный выпуск конечного  продукта У может быть достигнут при валовом выпуске 1-й и 2-й отраслей: х1=1000 и х2=800, при суммарных затратах труда х3=660 тыс. чел.-ч. и при затратах капиталовложений х4=3100 тыс.руб.

 
 
 
Рассмотренные теоретические вопросы  и примеры расчета, конечно, далеко не исчерпывают важную для практики область балансовых исследований. Здесь  проиллюстрировано только одно направление  приложения линейной алгебры в экономических  исследованиях.  
 
 
 
 

 

 

Задача

В таблице указаны расходные  нормы двух видов сырья и топлива  на единицу продукции соответствующего цеха, трудоемкость продукции в человеко-часах  на единицу продукции, стоимость  единицы соответствующего материала  и оплата за 1 чел.-ч.

 
Таблица

	Нормы расхода			Обозначения	Стоимость
	I	II	III
Сырье I	1.4	2.4	0.8	a 4	5
Сырье II	-	0.6	1.6	a 5	12
12 Сырье III	2.0	1.8	2.2	a 6	2
Трудоемкость	10	20	20	a 7	12

 

Определить:

а) суммарный расход сырья, топлива и трудовых ресурсов на выполнение производственной программы;

б) коэффициенты прямых затрат сырья, топлива и труда на единицу  конечной продукции каждого цеха;

в) расход сырья, топлива  и трудовых ресурсов по цехам;

г) производственные затраты  по цехам ( в руб. ) и на всю производственную программу завода;

д) производственные затраты на единицу конечной продукции.

 
Решение:

а) Суммарный расход сырья I можно получить, умножив соответствующую 1-ю строку второй таблицы на вектор х, т.е.

 
 
_ _ 235 
а4х = ( 1.4; 2.4; 0.8 ) 186 = 1088  
397

Аналогично можно получить расход сырья II и т.д. 
Все это удобно записать в виде произведения:

 
 
1.4 2.4 0.8 235 1088 Сырье I  
0 0.6 1.6 186 = 746 Сырье II 
2.0 1.8 2.2 397 1678 Топливо 
0.1 0.2 0.2 1409 Человеко-часов.

б) Расход сырья I на единицу  конечной продукции 1-го цеха ( у1=1 ) найдем из выражения 1.4S11 + 2.4S21 + 0.8S31. Следовательно, соответствующие коэффициенты полных затрат сырья, топлива и труда на каждую единицу конечного продукта получим из произведения матрицы:

 
I II III  
1.4 2.4 0.8 1.04 0.21 0.02 1.97 2.92 1.36 Сырье I  
0 0.6 1.6 0.21 1.05 0.13 = 0.17 0.84 2.09 Сырье II  
2.0 1.8 2.2 0.03 0.13 1.26 2.53 2.60 5.23 Топливо 
10 20 20 15.2 24.8 28.0 Труд

Таким образом, например, для  изготовления у1=1 необходимо затратить 1.97 единиц сырья I, 0.17 единиц сырья II, 2.53 единиц топлива и 15.2 чел.-ч.

в) Расход сырья, топлива  и т.д. по каждому из цехов получим  из умножения их расходных норм на соответствующие валовые выпуски  по цехам. В результате получим матрицу  полных расходов:

 
I II III 
Сырье I 330 440 318  
Сырье II 0 111 635  
Топливо 470 335 873 
Труд 2350 3720 7940

г) Производственные расходы  по цехам можем получить путем  умножения слева строки стоимостей ( 5; 12; 2; 1.2 ) на последнюю матрицу:

 
330 440 318 
0 111 635 I II III 
( 5; 12; 2; 1.2 ) 470 335 873 = ( 5410; 8666; 20484 )  
2350 3720 7940

д) Наконец, производственные затраты на единицу конечной продукции, необходимые для определения себестоимости продукции, можем найти путем умножения слева матрицы полных затрат, найденной в п.б., на строку цен:

 
 
1.97 2.92 1.36 
0.17 0.84 2.09 I II III 
( 5; 12; 2; 1.2 ) 2.53 2.60 5.23 = ( 35.3; 59.6; 75.7 ) 
15.2 24.8 28.0 
 
Таким образом, внутрипроизводственные затраты на единицу товарной продукции I, II и III цехов соответственно составляют: 35.3 руб., 59.6 руб., 75.7 руб.