Контрольная работа по "Зконометрике"

Федеральное агентство  по образованию

Новосибирский государственный  университет экономики и управления – «НИНХ»

 

 

Кафедра экономико-математических методов и прогнозирования

 

 

Учебная  дисциплина: Экономико-математические методы и модели

Номер варианта контрольной работы: _1204_

Номер группы: __ФКП02Г__

Наименование специальности: ____Финансы и кредит____

Ф.И.О. студента и  номер  его зачетной книжки: _Аракчина Ирина Валерьевна____  113807_

 

 

 

 

Дата регистрации представительством: “____” _________2012 г.

Дата регистрации институтом: “_____” _______________ 2012 г.

Дата регистрации кафедрой: “_____” _________________ 2012 г.

 

 

 

 

Проверил: ___________________________________________________

                                         (фамилия, имя, отчество преподавателя)

 

Вариант N 1204

Задача 1

Для изготовления продукции двух видов А и Б  предприятие расходует ресурсы, а от реализации этой продукции получает доход. Информация о нормах затрат ресурсов на единицу выпускаемой продукции, запасах расходуемых ресурсов, имеющихся в распоряжении предприятия, и выручки от реализации готовой продукции приведены в таблице.

Наименование ресурсов	Норма затрат на		Объем ресурса
	Продукт А	Продукт В
Сырье (кг)	3	1	219
Оборудование (ст.час.)	1	3	209
Трудоресурсы (чел.час.)	7	1	738
Цена реализации (руб.)	149	199

 

Задача предприятия  заключается в том, чтобы разработать  программу выпуска, обеспечивающую получение максимальной выручки от реализации готовой продукции.

Требуется:

1. Построить  математическую модель оптимизации выпуска продукции в форме задачи линейного программирования.

2. Используя  графический метод решения задачи  линейного программирования, найти  оптимальную программу выпуска продукции и максимум ожидаемой выручки.

3. Составив  задачу, двойственную к задаче оптимизации выпуска продукции, найти ее оптимальное решение, используя условия "дополняющей нежесткости ". Дать экономическую интерпретацию этого решения.

Решение:

1.1 Построить  математическую  модель оптимизации  выпуска   продукции  и записать ее  в форме задачи линейного программирования.

Целевая функция будет  иметь вид:

Z(x)=149*Х1+199*Х2 à max

Система ограничений  имеет вид:

2. Решим данную систему  уравнений:

1.2 Построим многогранник  решений – это фигура ограниченная уравнениями прямых (1), (2) и (3) и координатными прямыми. Фигура образованная таким образом ограничивает область допустимых решений (ОРД).

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему  неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет  являться область, координаты точек  которого удовлетворяют условию  неравенствам системы ограничений  задачи.

Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую  функцию задачи F = 149x₁+199x₂ → max.

Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 149x₁+199x₂ = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Область допустимых решений  представляет собой многоугольник.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (1) и (2), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

3x₁+x₂≤219

x₁+3x₂≤209

Решив систему уравнений, получим: x₁ = 56, x₂ = 51

Откуда найдем максимальное значение целевой функции:

F(X) = 149*56 + 199*51 = 18493

То есть максимальная выручка будет равна 18493 рублей.

 

1.3 Ранее мы рассмотрели  линейную производственную задачу  по выпуску двух видов продукции  с использованием трех видов  ресурсов по заданным технологиям.

Перепишем построенную  выше математическую модель оптимизации производственной программы

Составим двойственную задачу к прямой задаче.

3y₁+y₂+7y₃≥149

y₁+3y₂+y₃≥199

219y₁+209y₂+738y₃ → min

y₁ ≥ 0

y₂ ≥ 0

y₃ ≥ 0

Отметим, что решение  двойственной задачи дает оптимальную  систему оценок ресурсов.

Для решения двойственной задачи используем вторую теорему двойственности.

Подставим оптимальный  план прямой задачи в систему ограниченной математической модели:

3*56 + 1*51 = 219 = 219

1-ое ограничение прямой  задачи выполняется как равенство.  Это означает, что 1-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y₁>0).

1*56 + 3*51 = 209 = 209

2-ое ограничение прямой  задачи выполняется как равенство.  Это означает, что 2-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y₂>0).

7*56 + 1*51 = 443 < 738

3-ое ограничение выполняется  как строгое неравенство, т.е.  ресурс 3-го вида израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y₃ = 0

С учетом найденных оценок, новая система примет вид:

3y₁+y₂≥149

y₁+3y₂≥199

219y₁+209y₂ → min

y₁ ≥ 0

y₂ ≥ 0

y₃ ≥ 0

Решая систему графическим способом, находим оптимальный план двойственной задачи:

 

Область допустимых решений  представляет собой линию.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке B. Так как точка B получена в результате пересечения прямых (1) и (2), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

3x₁+x₂≥149

x₁+3x₂≥199

Решив систему уравнений, получим: x₁ = 31, x₂ = 56

Откуда найдем минимальное  значение целевой функции:

F(X) = 219*31 + 209*56 = 18493

y₁ = 31

y₂ = 56

Z(Y) = 219*31+209*56 = 18493

Таким образом, отличную от нуля двойственные оценки имеют лишь те виды ресурсов, которые полностью используются в оптимальном плане. Поэтому двойственные оценки определяют дефицитность ресурсов.

Для исследуемой задачи оптимизации производственной программы  получим:

и₁ — стоимостная оценка сырья, ее размерность [руб./кг];

и₂ - стоимостная оценка времени работы оборудования, ее размерность [руб./ст. -час];

и₃ — стоимостная оценка трудовых ресурсов, ее размерность [руб./чел.—час];

и₁= 31 означает, что при увеличении месячного размера используемого сырья на единицу с 219 (кг) до 220 (кг) увеличение максимальной суммарной выручки составит и₁=31 (руб.), а при уменьшении сырья на единицу выручка уменьшится на и₁=31 (руб.);

и₂= 56 означает, что при увеличении месячного фонда времени работы оборудования на единицу с209 (ст. - час) до 210 (ст. - час) увеличение максимальной суммарной выручки составит и₂ = 56 (руб.), а при уменьшении фонда времени на единицу выручка уменьшится на и₂ = 56 (руб.);

и₃ = 0 означает, что при увеличении трудовых ресурсов на единицу с 738 чел.—час до 739 чел.—час увеличение максимальной суммарной выручки составит и₃ = 0 (руб.), а при уменьшении на единицу выручка уменьшится на и₃ = 0 (руб.);

 

 

Задача 2

 

Применяя данные таблицы Задачи 1, построить график функции предельной полезности сырья для  данного предприятия.

Решение:

Наименование ресурсов	Норма затрат на		Объем ресурса
	Продукт А	Продукт В
Сырье (кг)	3	1	219
Оборудование (ст.час.)	1	3	209
Трудоресурсы (чел.час.)	7	1	738
Цена реализации (руб.)	149	199

 

Найдем интервал устойчивости сырья (Iс). В точке С затраты сырья:

R(C)=3*56+1*51=219

В точке D затраты сырья равны:

R(D)=3*73+0*1=219

Значит интервал устойчивости сырья до Iс=219.

Следовательно, сырьё  становится недефицитным ресурсом при  объем  ресурса более 219 и его предельная эффективность равна нолю.

 

Чтобы вычислить предельную эффективность ресурсов в найденном  интервале нужно найти значение целевой функции в точках С  и D.

Z(C)=149*56+199*51=18493

Z(D)=149*73+199*0=10877

Так как величина u общего приращения выручки на интервале устойчивости к его длине, то она вычисляется по формуле:

Предельную эффективность  на интервале

Iс=[0; 204]:

R(O)=0, R(D)=219

Z(O)=0 , Z(D)=10877

Таким образом, на интервале [0;219] каждый дополнительный кг сырья приводит к увеличению оптимального размера выручки на 49,7  руб.

После того, как сырьё  становится недефицитным ресурсом, его  предельная эффективность равна  нолю.

 

 

Задача 3

 

Малое предприятие намерено организовать в следующем квартале выпуск новой продукции А и Б, пользующейся высоким спросом на рынке. Предприятие располагает необходимым сырьем и оборудованием и может привлечь квалифицированных рабочих на условиях почасовой оплаты, но не имеет средств на оплату труда рабочих. Для этого оно может получить в банке кредит сроком на три месяца под 40% годовых с погашением кредита и процентов по нему в конце квартала.

Информация о нормах затрат сырья, оборудования и трудовых ресурсов, объемах сырья и оборудования, имеющихся в распоряжении предприятия, размер выручки от реализации продукции А и Б дана в таблице.

Наименование ресурсов	Норма затрат на		Объем ресурса
	Продукт А	Продукт В
Сырье (кг)	3	1	270
Оборудование (ст.час.)	1	2	140
Трудоресурсы (чел.час.)	2	1	?
Цена реализации (руб.)	1216	420

 

Целью организации выпуска  новой продукции является получение  максимальной суммарной прибыли, которая определяется как разность между суммарной выручкой, полученной от реализации произведенной за квартал продукции А и Б, и затратами, связанными с обеспечением кредита (возврат суммы кредита и начисленных процентов).

Требуется:

1. Построить математическую  модель оптимизации выпуска продукции  с использованием кредита для  выплаты зарплаты рабочим с  произвольной почасовой ставкой t (руб./чел.-час) оплаты труда.