Контрольная работа по "Экономико-математическим методам и прикладным моделям"

Финансовый  университет при Правительстве  РФ

Кафедра статистики

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Экономико-математические методы и прикладные модели»

                                                       Вариант 10.

                                                                   Исполнитель Шитякова Дарья Витальевна

                                                                              Факультет  ФК

                                                                              Специальность Финансы и кредит

                                                                              Группа     311.

                                                                             № Зачетной книжки 10ффд12500

                                                                             Преподаватель Граф Анастасия Андреевна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                          Челябинск-2012

 

                                     Содержание 
 
1. Задание 1………………………………………………………………………..3 
2. Задание 2……………………………………………………………………..…5 
3. Задание 3………………………………………………………………………..7 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 
                                                                                                          Задание 1

 

Фирма производит два широко популярных безалкогольных напитка - «Лимонад»  и «Тоник». Фирма может продать  всю продукцию, которая будет  произведена. Однако объем производства ограничен количеством основного  ингредиента и производственной мощностью имеющегося оборудования. Для производства 1 л «Лимонада» требуется 0,02 ч работы оборудования, а для производства 1 л «Тоника» - 0,04 ч. Расход специального ингредиента составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1 л «Лимонада» и «Тоника» соответственно. Ежедневно в распоряжении фирмы имеется 24 ч времени работы оборудования и 16 кг специального ингредиента. Прибыль фирмы составляет 0,10 ден. ед. за 1 л «Лимонада» и 0,30 ден. ед. за 1 л «Тоника». Сколько продукции каждого вида следует производить ежедневно, если цель фирмы состоит в максимизации ежедневной прибыли?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии  к ее элементам и получить решение  графическим методом. 
Решение. 
Введем следующие обозначения:

х₁ – количество первого напитка («Лимонад»)

х₂ – количество второго напитка («Тоник»)

Цена 1 л «Лимонада» таким образом  составляет 0,1 х₁ (ден. ед.), а цена 1 л «Тоника» составляет 0,3 х₂ (ден. ед.). Т.к. нам необходимо максимизировать прибыль, получаем целевую функцию:

max f(х_1,х₂) = 0,1 х₁ + 0,3 х₂.

Ограничения задачи имеют вид:

0,02х₁ + 0,04 х₂ 24;

0,01х₁ + 0,04 х₂ 16;

х_1,2 0.

 

Построим прямые, соответствующие  ограничениям задачи: первая прямая имеет  вид 0,02х₁ + 0,04 х₂ = 24, решением ее служат точки (1200;0)  
и (0;400); вторая прямая имеет вид 0,01х₁ + 0,04 х₂ = 16, решением ее служат точки (1600;0) и (0;600).

Решением каждого неравенства  системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную  прямую и расположенная по одну сторону  от нее. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим  неравенством системы, называется областью допустимых решений.¹

 

рис. 1 Область допустимых решений

 

На рисунке 1 заштрихована область  допустимых значений. Для определения  движения к оптимуму построим вектор-градиент. При максимизации функции движемся вдоль вектора-градиента.

Решая систему уравнений

0,02х₁ + 0,04 х₂ = 24;

0,01х₁ + 0,04 х₂ = 16.

 

Находим, что х₁ = 800, х₂ = 200.

max f(х_1,х₂) = 0,1 800 + 0,3 200 = 140 (ден. ед.)

 

Ответ: Прибыль будет максимальной, если производить 800 л. «Лимонада» и 200 л. «Тоника» ежедневно (х₁ = 800, х₂ = 200). При решении задачи на минимум решения не будет, так как целевая функция не ограничена снизу (особый случай ЗЛП).

                                                                                                           

 

 

 

 

 

                                                                                                             Задание 2

 
Цех мебельного комбината выпускает  трельяжи, трюмо и тумбочки под  телевизоры. Норма расхода материалов в расчете на одно изделие, плановая себестоимость, оптовая цена предприятия, плановый ассортимент и трудоемкость продукции приведены в таблице. При этом запас древесно-стружечных плит, досок еловых и березовых 90, 30 и 14 м3 соответственно. Плановый фонд рабочего времени 16800 чел./час. 
 
Исходные данные.                                                                                                         Таблица 1

Показатели	Изделия
	трельяж	трюмо	тумбочка
Норма расхода материала, м3: древесно стружечные плиты	0,032	0,031	0,038
доски еловые	0,02	0,02	0,008
доски березовые	0,005	0,005	0,006
Трудоемкость, чел./ час	10,2	7,5	5,8
Плановая себестоимость, у.е.	88,81	63,98	29,6
Оптовая цена предприятия, у.е.	93	67	30
Плановый ассортимент, шт.	350	290	1200

 
 
Исходя из необходимости выполнить  план по ассортименту и возможности  его перевыполнения по отдельным (и  даже всем) показателям построить  модель, на основе которой можно  найти план производства, максимизирующий  прибыль. 
 
Решение. 
Х1 – количество трельяжей, Х2 – количество трюмо, Х3 – количество тумбочек.(рис. 1) 
Ограничения: (рис. 2)

 

0,032Х1+0,031Х2+0,038Х3≤90

 

0,020Х1+0,020Х2+0,008Х3≤30

 

0,005Х1+0,05Х2+0,006Х3≤14

 

10,2Х1+7,5Х2+5,8Х3≤16800

 

Х1≥350

 

Х2≥290

 

Х3≥1200 
Целевая функция:

 

4,19*Х1+3,02*Х2+0,4*Х3→max 
 
 
рис. 1 Исходные данные задачи. 
 
 
 
рис. 2  Ограничения. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
рис. 3 Поиск решения. 
 
Решение найдено. (рис. 3) 
Таким образом, необходимо выпустить 730 трельяжей, 290 трюмо и 1200 тумбочек. Прибыль составит 4414,5 у.е. 
 
 
                                                                                                           Задание 3 
 
Требуется провести следующие исследования при помощи аналитического пакета Vstat или стандартного пакета анализа MS Excel:

1. Определить наличие аномальных уровней
2. Используя метод автоматического расчета (для Vstat) построить все возможные модели;
3. На основании одной лучшей модели исследовать:

-  адекватность (RS_н=3,18 RS_в=4,5; d_н=0,82 d_в=1,32);

- точность;

- построить прогноз на два шага вперед с доверительной вероятностью 95% ( t_табл=1,383);

- Результаты отобразить на графике

Вычисления  провести с четырьмя знаками в  дробной части.

 
 
1.В соответствии с проведенными исследованиями статистических программ VSTAT аномальных явлений не обнаружено.

 

Модели построенных кривых роста представлены в таблице 1.

 

2. Таблица 1

Таблица кривых роста
Функция	Критерий	Эластичность
Y(t)=+9.315+0.614*t	1,39	0,35
Y(t)=+9.968+0.383*t +0.014*t*t	1,44	0,35
Y(t)=+16.044-8.222/t	5,10	-0,07
Y(t)=1./(+0.099-0.003*t)	1,35	-0,35
Y(t)=1./(+0.069+0.104*exp(-t))	6,44	0,00
Y(t)= +9.842*exp(+0.043*t)	1,32	0,35
Y(t)= +8.183+3.249*ln(t)	2,56	0,22
Y(t)= (+9.832)*(+1.045)**t*(+1.000)**(t*t)	1,43	0,00
Y(t)= (+9.842)*(+1.044)**t	1,32	0,35
Y(t)=0+0/ln(t)	-1,00	0,00
Y(t)= (+8.963)*t**(+0.237)	2,16	0,24
Y(t)= +10.517+0.817*t-1.049*sqr(t)	1,48	0,36
Y(t)= t/(+0.134+0.049*t)	4,16	0,25
Y(t)= +15.990*exp(-0.621/t)	4,71	-0,08
Y(t)= +11.162+0.037*t**2	1,50	0,35
Y(t)= +9.968+0.383*t**1+0.014*t**2	1,44	0,35
В качестве базы модели ответ  предлагает таблицу 2.                                                                                                                                    Таблица 2  Модель  Адекватность  Точность Качество  Y(t)= +9.842*exp(+0.043*t) 57,80 71,35 67,96

 

 

3.Лучшая модель имеет следующие параметры в таблице 3:  

 

                                                                                                                        Таблица 3

Характеристики  базы моделей
Модель	Адекватность	Точность	Качество
Y(t)= +9.842*exp(+0.043*t)	57,80	71,35	67,96
Метод Брауна(+0.819)	79,60	60,66	65,40
Метод Хольта(+0.205, +0.531)	85,25	61,20	67,21
Гармонических весов	51,61	75,22	69,32
Метод эволюции (модель Хольта)	51,41	53,98	53,34
АР(1, 1)	80,77	54,32	60,94
АРИСС(1, 1,1)	89,85	70,69	75,48
ОЛИМП(1, 1)	67,92	68,25	68,17
Лучшая модель АРИСС(1, 1,1)

 

 

Докажем адекватность модели. Все необходимые основные расчеты были получены с помощью пакета статистических программ VSTAT и представлены в таблицах 4 и 5 .

 

Характеристика остатков представлена в таблице 4.

Таблица 4

 

Характеристики  остатков
Характеристика	Значение
Среднее значение	0.00
Дисперсия	596.00
Среднеквадратическое отклонение	24.41
Приведенная дисперсия	608.41
Средний модуль остатков	21.30
Относительная ошибка	85.45
Критерий Дарбина-Уотсона	0.13
Коэффициент детерминации	0.00
F - значение ( n1 =   0, n2 =  48)	0.00
Критерий адекватности	41.07
Критерий точности	0.00
Критерий качества	10.27
Асимметрия	0.45
Эксцесс	-1.11
Гипотеза о среднем	0.00
Гипотеза о гетероскедастичности	0.00
Гипотеза о случайности	1.00
Гипотеза о нормальности	1.00
Гипотеза о независимости	1.00
Уравнение не значимо